1、1.3.3 导数的实际应用导数的实际应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的 优化问题 知识点 生活中的最优化问题 1最优化问题的概念 在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省 等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略这些都是最优化问题 2解决最优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x) (2)求导函数 f(x)，解方程 f(x)0. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为 最小值 (4)依据实际问题的意义给
2、出答案 1生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题( ) 2解决应用问题的关键是建立数学模型( ) 类型一 平面几何中的最值问题 例1 如图所示， 在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD， 求这个矩形面积的最大值 解 设点 B 的坐标为(x,0)，且 0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为 x2， 点 C 的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为 y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)， 令 y0，解得 x2 2 3 3， 0x2，x22 3 3.
3、 当 0x0，函数为单调增函数； 当 22 3 3x2 时，y00r0，得 2r 4 3 2； 令 y0，得 0r2. 所以当 r2 米时，该容器的建造费用最小，为 96 千元，此时 l8 3 米 引申探究 本例中，若 r(0,1，求最小建造费用 解 由例 2(2)可知， y128 r 8r2在(0,1上单调递减， 当 r1 时，ymin136.最小建造费用为 136 万元 反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解 决与实际相关的问题 (2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是 由简单几何体组合而成， 则要分析其
4、组合关系， 将图形进行拆分或组合， 以便简化求值过程 跟踪训练 2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由 PO12 m 知，O1O4PO18 m. 因为 A1B1AB6 m， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V锥1 3 A1B 2 1 PO11 36 2224(m3)； 正四棱
5、柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2 O1O628288(m3) 所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3) (2)设 A1B1a m，PO1h m， 则 0h6，O1O4h m连接 O1B1. 因为在 RtPO1B1中，O1B21PO21PB21， 所以 2a 2 2h236， 即 a22(36h2) 于是仓库的容积 VV柱V锥 a2 4h1 3a 2 h13 3 a2h26 3 (36hh3)，0h6， 从而 V26 3 (363h2)26(12h2) 令 V0，得 h2 3或 h2 3(舍) 当 0h0，V 是单调增函数； 当 2 3h6 时，V0，V 是单调减函数 故
6、当 h2 3时，V 取得极大值，也是最大值 因此，当 PO12 3 m 时，仓库的容积最大 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例 3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元， 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完， 每千件的销售收入为R(x)万元， 且 R(x) 10.8 1 30 x 2，010. (1)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出 最大值 解 (1)当 010 时，WxR(x)(102.7x)
7、981 000 3x 2.7x. 所以 W 8.1xx 3 3010，010. (2)当 00，当 x(9,10)时，W10 时，W98 1 000 3x 2.7x 982 1 000 3x 2.7x38， 当且仅当1 000 3x 2.7 x，即 x100 9 时，Wmax38， 综上可得，当 x9 时，W 取得最大值 38.6. 故当年产量为 9 千件时， 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大， 最大利润为 38.6 万元 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题， 应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系， 常见的基本等量关系有 (1)利润收入成本 (2)利润每件产品的利润销售
8、件数 跟踪训练 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y a x310(x6) 2，其中 3x6，a 为常数已知当销售 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大 解 (1)因为当 x5 时，y11，所以a 21011， 所以 a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2 x310(x6) 2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3) 2 x310 x6
9、2 210(x3)(x6)2,3x6. 从而 f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6) 于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f(x) 0 f(x) 极大值 42 由上表可知，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点 所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 命题角度2 费用用材最省问题 例 4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂 位于离河岸 40 km 的
10、B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一 个供水站 C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为 3a 元/km 和 5a 元/km， 问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解 如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点 C 距点 D 为 x km， 则 BC BD2CD2 x2402， 又设总的水管费用为 y 元， 依题意有 y3a(50 x)5a x2402(0x50) y3a 5ax x2402. 令 y0，解得 x30，在(0,50)上，y 只有一个极值点， 根据问题的实际意义，函数在 x30 km
11、 处取得最小值，此时 AC50 x20 (km) 供水站建在 A，D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要 明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际 作答 (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f(x)0 时，如果函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值 跟踪训练 4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建
12、造成本为 6 万元该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年 的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为 C(x) k 3x5， 再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) 40 3x5， 而建造费用为 C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 40
13、 3x56x 800 3x56x(0 x10) (2)f(x)6 2 400 3x52. 令 f(x)0，即 2 400 3x526，解得 x5，x 25 3 (舍去) 当 0x5 时，f(x)0；当 5x0， 故当 x5 时，f(x)取到最小值，对应的最小值为 f(5)65 800 15570. 答 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元. 1方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( ) A4 B6 C4.5 D8 答案 A 解析 设底面边长为 x，高为 h， 则 V(x)x2 h256，h256 x2 . S(x)x24xhx24x 256 x2 x21
14、024 x ， S(x)2x1 024 x2 . 令 S(x)0，解得 x8， 判断知当 x8 时，S(x)取得最小值h256 82 4. 2某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数，y117x2；生产总成本 y2(万元)也是 x 的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产( ) A9 千台 B8 千台 C6 千台 D3 千台 答案 C 解析 构造利润函数 yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由 y0，得 x6(x0 舍去)，x6 是函数 y 在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点 3将一段长 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，
15、当正方形与圆形面 积之和最小时，圆的周长为_ cm. 答案 100 4 解析 设弯成圆形的一段铁丝长为 x，则另一段长为 100 x. 设正方形与圆形的面积之和为 S， 则正方形的边长 a100 x 4 ，圆的半径 r x 2. 故 S x 2 2 100 x 4 2(0x0)， 则 y250 x 2 25x 2， 由 y0，得 x25， 当 x(0,25)时，y0， 当 x(25，)时，y0)，每月库存货物的运费 y2k2x(k20)，其中 x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由 2k1 10，得 k120；由 810k2，得 k2 4 5. 因此两项费用之和为 y20 x 4x 5
16、 ，y20 x2 4 5. 令 y0，得 x5(x5 舍去)，此点即为最小值点 故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小 1利用导数解决生活中最优化问题的基本思路 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知 识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结 论返回到实际问题中去，其思路如下： 2解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域 (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点 或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f(x)0， 则只要根据实际意义判断该值是最大值还是 最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较
