1、1 1. .2.22.2 全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标 1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量 词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 知识点一 命题的否定 1定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈 p”，读作“非 p” 或“p 的否定” 2命题 p 与其否定綈 p 的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然 知识点二 含量词的命题的否定 p 綈 p 结论 全称量词命题 xM，q(x) xM，綈 q(x) 全称
2、量词命题的否定是存在 量词命题 存在量词命题 xM，p(x) xM，綈 p(x) 存在量词命题的否定是全称 量词命题 思考 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平 行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形” 1命题与命题的否定的真假相反( ) 2xM，p(x)与xM，綈 p(x)的真假性相反( ) 3“任意 xR，x20”的否定为“xR，x20”( ) 4“xR，|x|x”是假命题( ) 一、全称量词命题的否定 例 1 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一
3、个圆都是轴对称图形； (3)a，bR，方程 axb 都有唯一解； (4)可以被 5 整除的整数，末位是 0. 解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形 (3)其否定为：a，bR，使方程 axb 的解不唯一或不存在 (4)其否定为：存在被 5 整除的整数，末位不是 0. 反思感悟 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后 进行否定 跟踪训练 1 写出下列全称量词命题的否定： (1)p：每一个三角形的三个顶点共圆； (2)q：所有自然数的平方都是正数； (3)s：任何实数 x 都是方程 5x120 的根； (4
4、)r：对任意实数 x，x250. 解 (1)綈 p：存在一个三角形，它的三个顶点不共圆 (2)綈 q：有些自然数的平方不是正数 (3)綈 s：存在实数 x 不是方程 5x120 的根 (4)綈 r：存在实数 x，使得 x250. 二、存在量词命题的否定 例 2 写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆； (2)某些平行四边形是菱形； (3)xR，x210，若綈 p 为假命题，求实数 m 的取值范围 解 因为綈 p 为假命题，所以命题 p：xR，mx22x50 为真命题，即二次函数 y x22xm5 的图像恒在 x 轴上方，所以 (2)24(m5)4，故实数 m 的取 值范围为m|m4 延
5、伸探究 如果把本例改成：已知命题 p：xR，mx22x50，若綈 p 为假命题，求实数 m 的取 值范围 解 因为綈 p 为假命题，所以命题 p：xR，mx22x50 为真命题，即二次函数 y x22xm5 的图像的最高点在 x 轴上方，即图像与 x 轴有两个交点，所以 224(m 5)0，即 m4，故实数 m 的取值范围为m|m4 反思感悟 (1)注意 p 与綈 p 的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化 (2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题 跟踪训练 3 已知命题 p：xR，x22(a1)xa20.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取 值范围是_ 答案 1
6、2， 解析 方法一 若命题 p： xR， x22(a1)xa20 是真命题， 得 4(a1)24a20， 即2a10，a1 2.，若命题 p 是假命题，则 a 1 2. 方法二 依题意， 命题綈 p： xR， x22(a1)xa20 是真命题， 得 4(a1)24a21 2. 1命题“xR，|x|x20”的否定是( ) AxR，|x|x20 BxR，|x|x20 CxR，|x|x20 DxR，|x|x20 答案 C 解析 量词xR 改为xR，结论“|x|x20”的否定是“|x|x21”的否定是( ) A对任意实数 x，都有 x1 B不存在实数 x，使 x1 C对任意实数 x，都有 x1 D存在
7、实数 x，使 x1 答案 C 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题， “存在实数 x， 使 x1”的否定是“对任意实数 x，都有 x1” 3对下列命题的否定说法错误的是( ) Ap：能被 2 整除的数是偶数；綈 p：存在一个能被 2 整除的数不是偶数 Bp：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形 Cp：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是正三角形 Dp：nN,2n100；綈 p：nN,2n100. 答案 C 解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角 形都不是正三角形”，故选项 C 错误 4命题“存在 xR,3x0”的否定是_ 答案 对任意的 xR,3x0 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在 xR,3x0”的否定是“对任意的 xR,3x3”的否定是_ 答案 存在 xR，使得|x2|x4|3 解析 由定义知命题的否定为“存在 xR，使得|x2|x4|3” 1知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定 (2)全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用 2方法归纳：转化法、分离参数法 3常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反
