1、第第 2 课时课时 基本不等式基本不等式 学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理 1)和基本不等式(定理 2).2.能运用这两个不等式 解决函数的最值或值域问题， 能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等 式(定理 2)解决某些实际问题 知识点 基本不等式 思考 回顾 a2b22ab 的证明过程，并说明等号成立的条件 答案 a2b22ab(ab)20，即 a2b22ab， 当且仅当 ab 时，a2b22ab. 梳理 (1)重要不等式 定理 1：如果 a，bR，那么 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 (2)基本不等式 定理 2：如果 a，b0，那么ab 2 ab，
2、当且仅当 ab 时，等号成立 . 定理 2 的应用：对两个正实数 x，y， ()如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的积 P 取得最大值； ()如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最小值. 类型一 不等式的证明 例 1 已知 a，b，cR，且 abc1. 求证：1 a 1 b 1 c9. 证明 方法一 a，b，c 为正实数，且 abc1， 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 32229，当且仅当 abc 时，等号成立 1 a
3、 1 b 1 c9. 方法二 a，b，cR，且 abc1， 1 a 1 b 1 c(abc) 1 a 1 b 1 c 1b a c a a b1 c b a c b c1 3 b a a b c a a c c b b c 32229，当且仅当 abc 时，等号成立 1 a 1 b 1 c9. 引申探究 1若本例条件不变，求证：a 2 b b 2 c c 2 a1. 证明 a2b22ab， a 2 b2ab. 同理，b 2 c 2bc，c 2 a2ca. a 2 b b2 c c 2 a (2ab)(2bc)(2ca)abc1， a 2 b b2 c c 2 a1. 2若本例条件不变，求证：
4、a2b2 b2c2 c2a2 2. 证明 a2b22ab，2(a2b2)(ab)2. 又 a，b，cR， a2b2 2 2 |ab| 2 2 (ab) 同理， b2c2 2 2 (bc)， c2a2 2 2 (ac) 三式相加，得 a2b2 b2c2 c2a2 2(abc) 2， 当且仅当 abc 时取等号 反思与感悟 用基本不等式证明不等式时， 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等 变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明 跟踪训练 1 (1)已知 a，b，c，dR，求证：(abcd) (acbd)4abcd； (2)已知 a0，b0 且 ab1，求证：
5、11 a 11 b 9. 证明 (1)a，b，c，d，R， abcd2 abcd，acbd2 acbd， (abcd)(acbd)4abcd. 当且仅当 ad 且 bc 时取等号 (2) 11 a 11 b 1ab a 1ab b 2b a 2a b 42 b a a b 15229，当且仅当 ab1 2时取等号 11 a 11 b 9. 类型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)设 x0，y0 且 2xy1，求1 x 2 y的最小值； (2)若 x0，求 f(x)12 x 3x 的最大值 解 (1)1 x 2 y 1 x 2 y 1 1 x 2 y (2xy)44x y y x42 4x
6、y y x448， 当且仅当 4x y y x，即 x 1 4，y 1 2时，等号成立， 1 x 2 y的最小值是 8. (2)x0，x0, 故 f(x) 12 x3x 2 3612，当且仅当12 x 3x，即 x2 时，等号成立，f(x)的最大值是12. 反思与感悟 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值 (2)其次， 看所用的两项是否同正， 若不满足， 通过分类解决， 同负时， 可提取1 变为同正 (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函 数的单调性或导数解决 跟踪训
7、练 2 若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2 B2 C2 2 D4 答案 C 解析 因为1 a 2 b ab，所以 a0，b0， 因为 ab1 a 2 b2 1 a 2 b2 2 ab， 所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)，所以 ab 的最小值为 2 2. 类型三 利用基本不等式解决实际应用问题 例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2019 年大型展销会期间进行 一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x(万件)与年促销费用 t(万元)之间 满足 3x 与 t1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年
8、销量只能是 1 万件，已 知 2019 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投 入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费 的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将 2019 年的利润 y(万元)表示为促销费用 t(万元)的函数； (2)该企业 2019 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解 (1)由题意可设 3x k t1(k0)， 将 t0，x1 代入，得 k2.x3 2 t1. 当年生产 x 万件时， 年生产成本年生产费用固定费用， 年生产成本为 32x332 3 2 t1 3.
9、 当销售 x(万件)时， 年销售收入为 150% 32 3 2 t1 3 1 2t. 由题意，生产 x 万件化妆品正好销售完， 由年利润年销售收入年生产成本促销费用， 得年利润 yt 298t35 2t1 (t0) (2)yt 298t35 2t1 50 t1 2 32 t1 502 t1 2 32 t1502 1642， 当且仅当t1 2 32 t1， 即当 t7 时，等号成立，ymax42， 当促销费用定在 7 万元时，年利润最大 反思与感悟 利用不等式解决实际应用问题时， 首先要仔细阅读题目， 弄清要解决的实际问 题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立 y 的函数表达
10、式 yf(x)(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实 际问题对变量 x 的范围制约 跟踪训练 3 围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙 需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如 图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x(单位：m)，总费用为 y(单位：元) (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 解 (1)如题图所示，设矩形的另一边长为 a
11、m. 则 y45x180(x2)1802a225x360a360. 由已知 xa360，得 a360 x ， y225x360 2 x 360(x2) (2)x2， 225x360 2 x 2225x360 2 x 2 225360210 800. y225x360 2 x 36010 440， 当且仅当 225x360 2 x ，即当 x24 时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元 1下列不等式中，正确的个数是( ) 若 a，bR，则ab 2 ab； 若 xR，则 x22 1 x222； 若 xR，则 x21 1 x212； 若 a，bR，则 a b 2 ab.
12、 A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 显然不正确；正确； 对，虽然 x22 1 x22无解，但 x 22 1 x222 成立，故正确；不正确，如 a1， b4. 2 已知 a0， b0， a， b 的等差中项是1 2， 且 a 1 a， b 1 b， 则 的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 ab21 21，a0，b0， a1 ab 1 b1 1 ab1 1 ab 2 25， 当且仅当 ab1 2时取“”号 3下列不等式的证明过程正确的是( ) A若 a，bR，则b a a b2 b a a b2 B若 x0，则 cos x 1 cos x2 cos x 1 cos x
13、2 C若 x0，则 x4 x2 x 4 x4 D若 a，bR，且 ab0，则b a a b b a a b 2 b a a b 2 答案 D 解析 对于 A，a，b 必须同号； 对于 B，cos x 不一定大于 0；对于 C，由 x0， 得 x4 x x 4 x 2 x 4 x4. 对于 D，由 ab0，得b a0， a b0， 所以b a a b b a a b 2 b a a b 2. 4当 x1 时，函数 yx 1 x1的最小值是_ 答案 3 解析 因为 x1，所以 yx 1 x1(x1) 1 x112 x1 1 x113， 当且仅当 x1 1 x1， 且 x1，即 x2 时等号成立故函
14、数的最小值为 3. 5已知 a0，b0，且 ab1.求证：a2b21 2. 证明 a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab(ab)21， a2b21 2， 当且仅当 ab1 2时，等号成立 1对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷 (1)ab ab 2 2a 2b2 2 . (2) ab ab 2 a2b2 2 (a，bR) (3)b a a b2(a，b 同号) (4)(ab) 1 a 1 b 4(a，bR) (5)a2b2c2abbcca. 2利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式” 的互化，必要时可多次应用基本不等式注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也 是进一步检验是否存在最值的重要依据
