1、第第 2 2 课时课时 补集补集 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义， 并会 求给定子集的补集.3.会用 Venn 图、数轴进行集合的运算 知识点 全集与补集 1全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 (2)记法：全集通常记作 U. 思考 全集一定是实数集 R 吗？ 答案 不一定 全集是一个相对概念， 因研究问题的不同而变化， 如在实数范围内解不等式， 全集为实数集 R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集 Z. 2补集 自然语言 对于一个集合 A， 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合
2、称为 集合 A 相对于全集 U 的补集，记作UA 符号语言 UAx|xU，且 xA 图形语言 预习小测 自我检验 1设全集 U1,2,3,4,5，集合 A1,2，则UA_. 答案 3,4,5 解析 U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5 2已知全集 UR，Ax|x2，则UA_. 答案 x|x2 解析 全集为 R，Ax|x0，则U(AB)_. 答案 x|x0 或 x2 解析 ABx|02 一、全集与补集 例 1 (1)已知全集 U，集合 A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合 B_. (2)已知全集 Ux|x5，集合 Ax|3x5，则UA_. 答案 (1)2,3,5,7
3、 (2)x|x3，或 x5 解析 (1)方法一 A1,3,5,7，UA2,4,6， U1,2,3,4,5,6,7 又UB1,4,6， B2,3,5,7 方法二 借助 Venn 图，如图所示 由图可知 B2,3,5,7 (2)将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上， 如图所示由补集定义可得UAx|x3，或 x5 反思感悟 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法 (2)两种处理技巧： 当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解； 当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 跟踪训练 1 (1)若全集 UxR|2x2，AxR|2x0，则UA 等于( ) Ax
4、|0x2 Bx|0 x2 Cx|0x2 Dx|0 x2 答案 C 解析 UxR|2x2，AxR|2x0， UAx|0x2，故选 C. (2)设全集 Ux|x 是三角形，Ax|x 是锐角三角形，Bx|x 是钝角三角形，则 (UA)(UB)_. 答案 x|x 是直角三角形 解析 根据三角形的分类可知，UAx|x 是直角三角形或钝角三角形，UBx|x 是直角三 角形或锐角三角形， 所以(UA)(UB) 二、交、并、补的综合运算 例 2 已知全集 Ux|x4， 集合 Ax|2x3， Bx|3x2， 求 AB， (UA)B， A(UB)，U(AB) 解 如图所示 Ax|2x3，Bx|3x2，Ux|x4，
5、 UAx|x2，或 3x4， UBx|x3，或 2x4， ABx|2x2，ABx|3x3 故(UA)Bx|x2，或 3x4， A(UB)x|2x3， U(AB)x|x3，或 3x4 反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集 的定义来求解在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解这样处理起来，相对来说比较直 观、形象且解答时不易出错 (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行 交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题 跟踪训练2 已知全集Ux|x10， xN*， A2,
6、4,5,8， B1,3,5,8， 求U(AB)， U(AB)， (UA)(UB)，(UA)(UB) 解 方法一 AB1,2,3,4,5,8， U1,2,3,4,5,6,7,8,9， U(AB)6,7,9 AB5,8， U(AB)1,2,3,4,6,7,9 UA1,3,6,7,9，UB2,4,6,7,9， (UA)(UB)6,7,9， (UA)(UB)1,2,3,4,6,7,9 方法二 作出 Venn 图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果 三、与补集有关的参数的范围问题 例 3 设集合 Ax|xm0，Bx|2x4，全集 UR，且(UA)B，求实数 m 的 取值范围 解 方法一 (直接法)：
7、由 Ax|xm0 x|xm，得UAx|xm 因为 Bx|2x4，(UA)B， 所以m2，即 m2， 所以 m 的取值范围是 m2. 方法二 (集合间的关系)：由(UA)B可知 BA， 又 Bx|2x4，Ax|xm0 x|xm， 结合数轴： 得m2，即 m2. 延伸探究 1将本例中条件“(UA)B”改为“(UA)BB”，其他条件不变，则 m 的取值范围 又是什么？ 解 由已知得 Ax|xm， 所以UAx|xm， 又(UA)BB， 所以m4，解得 m4. 2将本例中条件“(UA)B”改为“(UB)AR”，其他条件不变，则 m 的取值范围 又是什么？ 解 由已知 Ax|xm， UBx|x2 或 x4
8、 又(UB)AR， 所以m2，解得 m2. 反思感悟 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解 (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析 法求解 跟踪训练 3 已知集合 Ax|xa，Bx|x0若 A(RB)，求实数 a 的取 值范围 解 Bx|x0， RBx|1x0， 要使 A(RB)，结合数轴分析(如图)， 可得 a1. 即实数 a 的取值范围是a|a1 1设集合 U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM 等于( ) AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6 答案 C 解析
9、 U1,2,3,4,5,6，M1,2,4， UM3,5,6 2设 UR，Ax|x0，Bx|x1，则 A(UB)等于( ) Ax|0 x1 Bx|0x1 Cx|x1 答案 B 解析 UBx|x1， 所以 A(UB)x|0a，Bx|x1，若 A(RB)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 a|a1 解析 RBx|x1， A(RB)，a1. 5 设全集 UR， 集合 Ax|x0， By|y1， 则UA 与UB 的包含关系是_ 答案 UAUB 解析 先求出UAx|x0，UBy|y1x|x1UAUB. 1知识清单： (1)全集和补集的概念及运算 (2)并、交、补集的混合运算 (3)与补集有关的参数的求解 2方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合 3常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍
