1、滚动训练二滚动训练二( 2.1 2.5) 一、选择题 1若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 的夹角的余弦值是( ) A1 3 B. 1 3 C. 2 3 D 2 3 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 A 解析 由|a|a2b|得 a2a24b24a b，即 a bb2，所以 cos a b |a|b| b2 3|b| |b| 1 3. 2已知向量 a( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3，则 b 等于( ) A. 3 2 ，1 2 B. 1 2， 3 2 C. 1 4， 3 3 4 D(1,0) 考点 平面向量数
2、量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 答案 B 解析 设 b(x，y)，其中 y0， 则 a b 3xy 3. 由 x2y21， 3xy 3， y0， 解得 x1 2， y 3 2 ， 即 b 1 2， 3 2 .故选 B. 3(2017 辽宁葫芦岛高一期末)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实 数 k 的值为( ) A9 2 B0 C3 D. 15 2 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 答案 C 解析 2a3b(2k3，6) 又(2a3b)c，(2a3b) c0， 即(2k3)2(6)10，解得 k3
3、. 4如图，O 为ABC 的外心，AB4，AC2，BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则AM AO 等于( ) A4 B5 C6 D7 考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 答案 B 解析 取 AB，AC 的中点 D，E，连接 OD，OE， 可知 ODAB，OEAC. M 是边 BC 的中点，AM 1 2(AB AC)， AM AO 1 2(AB AC) AO 1 2AB AO 1 2AC AO AD AO AE AO . 由数量积的定义可得AD AO |AD |AO |cosAD ，AO ， 而|AO | cosAD ，AO |AD |， 故AD A
4、O |AD |24， 同理可得AE AO |AE |21， 故AD AO AE AO 5， 故选 B. 5已知向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，那么 2ab 等于( ) A(4,0) B(0,4) C(4，8) D(4,8) 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C 解析 由 ab 知 42m0，所以 m2， 2ab(2，4)(m,4)(2m，8)(4，8) 6已知点 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA |OB |OC |，NA NBNC 0，PA PB PB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是ABC 的( ) A重心、外心、垂心 B重心
5、、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 C 解析 如图，D 为 BC 的中点，因为NA NBNC 0， 所以NB NC NA ， 依向量加法的平行四边形法则， 知|NA |2|ND |， 故点 N 为ABC 的重心，因为PA PBPB PC， 所以(PA PC) PBCA PB0， 同理AB PC0，BC PA0， 所以点 P 为ABC 的垂心 由|OA |OB |OC |，知点 O 为ABC 的外心 7点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v(x，y)(即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒 移动的距离为|v
6、|个单位)设开始时点 P 的坐标为(12,12)，6 秒后点 P 的坐标为(0,18)，则(x y)2 017等于( ) A1 B1 C0 D2 012 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 A 解析 由题意，(12,12)6(x，y)(0,18)， 即(126x,126y)(0,18)，解得 x2， y1， 故(xy)2 017(21)2 0171. 二、填空题 8已知|OA |OB |1，|AB | 3，则OA OB _，|OA OB |_. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 1 2 1 解析 由|OA |OB |1， |AB
7、 | 3， 可知以向量OA ， OB 为邻边的平行四边形是菱形， OA ， OB 的夹角为2 3 ， OA OB cos2 3 1 2，|OA OB |1111. 9(2017 山东)已知 e1，e2是互相垂直的单位向量，若 3e1e2与 e1e2的夹角为 60 ，则实 数 的值是_ 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 3 3 解析 由题意知|e1|e2|1，e1 e20， | 3e1e2| 3e1e223e212 3e1 e2e22 3012. 同理|e1e2|12. 所以 cos 60 3e1e2 e1e2 | 3e1e2|e1e2| 3e21 31e1 e2e22
8、 2 12 3 2 12 1 2， 解得 3 3 . 10 已知点 A(1， 2)， 若向量AB 与 a(2,3)同向， 且|AB|2 13， 则点 B 的坐标为_ 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 答案 (5,4) 解析 设AB (2，3)(0)， 则|AB | 42922 13， 1321322，2，AB (4,6)， OB OA AB (1，2)(4,6)(5,4) 点 B 的坐标为(5,4) 11关于平面向量有下列三个命题： 若 a ba c，则 bc； 已知 a(k,3)，b(2,6)，若 ab，则 k1； a |a| b |b| a |a| b |
9、b| 0. 其中正确的命题为_(写出所有正确命题的序号) 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 解析 中，由 a ba c，得 a (bc)0， 当 a0，bc 时也成立，故错； 中，若 ab，则有 6k23，得 k1，故正确； 中， a |a| b |b| a |a| b |b| a |a| 2 b |b| 2a 2 |a|2 b2 |b|20，故正确 12设 x，yR，向量 a(x,2)，b(4，y)，c(1，2)，且 ac，bc.则|ab|_. 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 答案 10 解析 由 ac 及
10、 bc，得 x40 且 x(2)y0，即 x4，y8. a(4,2)，b(4，8)， ab(4,2)(4，8)(8，6) |ab| 826210. 三、解答题 13(2017 福州高一检测)已知非零向量 a，b 满足|a|1，且(ab) (ab)3 4. (1)求|b|； (2)当 a b1 4时，求向量 a 与 a2b 的夹角 的值 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)因为(ab) (ab)3 4，即 a 2b23 4， 即|a|2|b|23 4， 所以|b|2|a|23 41 3 4 1 4，故|b| 1 2. (2)因为|a2b|2|a|24a b|2b|
11、2 1111，故|a2b|1. 又因为 a (a2b)|a|22a b11 2 1 2， 所以 cos a a2b |a| |a2b| 1 2， 又 0，故 3. 四、探究与拓展 14 (2017 长春高一检测)已知向量 a(1， 3)， b(0， t21)， 则当 t 3， 2时， at b |b| 的取值范围是_ 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用 答案 1， 13 解析 由题意， b |b|(0,1)， 根据向量的差的几何意义， at b |b| 表示向量 t b |b|的终点到向量 a 的终点的距离 d，所以 d 12 3t2， 所以当
12、t 3时，该距离取得最小值 1， 当 t 3时，该距离取得最大值 13， 即 at b |b| 的取值范围是1， 13 15(2017 山东济宁一模)已知向量 a(1,1)，b(1，1)，c( 2cos ， 2sin )(R)，实 数 m，n 满足 manbc，则(m3)2n2的最大值为_ 考点 平面几何中的向量方法 题点 利用向量解决平面几何问题 答案 16 解析 由 manbc，可得 mn 2cos ， mn 2sin ， 故(mn)2(mn)22，即 m2n21， 故点 M(m，n)在单位圆上，(m3)2n2的几何意义为点 P(3,0)到点 M 的距离的平方，则点 P(3,0)到点 M 的距离的最大值为 OP1314，其中 O 为坐标原点，故(m3)2n2的最 大值为 4216.
