1、 备战备战 20192019 年年中考中考数学数学压轴题压轴题之之二次函数二次函数 专题专题 01 01 二次函数基础上的数学建模类二次函数基础上的数学建模类 【方法【方法综述综述】 此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造 二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。题。 【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北
2、）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1米运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v米/秒后，从 A处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用 t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙
3、同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 k=18， 设 h=at2，把 t=1，h=5 代入， a=5， h=5t2； （2）v=5，AB=1， x=5t+1， h=5t2，OB=18， y=5t2+18， 由 x=5t+1， 则 t= （x-1） ， y= （x-1）2+18=， 当 y=13 时，13= （x-1）2+18， 解得 x=6 或4， x1， x=6， 把 x=6代入 y=， y=3， 运动员在与正下方滑道的竖直距离是 133=10（米） ； 针对训练针对训练 1
4、 （2017 内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处 发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式，已知球网 与 O 点的水平距离为 9m，高度为 3m，球场的边界距 O 点的水平距离为 14m. （1）当 h=4 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） （2）当 h=4 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围. 【答案】(1) ;(2)见解析;(3) h. （2）答：球能越过球网且球会出界 理由如下： 由（
5、1）可知， 令 x=9得 y=3.5， 3.53 学科*网 球能越过球网; 令 y=0 得 x=， 14 球会出界 2 （2017.山东）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度 y（m）关于飞行时间 x（s）的函数图象（不考虑其它因素） ，已知足球飞出 1s 时，足球的飞行高度是 2.44m， 足球从飞出到落地共用 3s （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）足球的飞行高度能否达到 4.88 m？请说明理由； （3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不 计） 如果为了能及时将足球扑出，那
6、么足球被踢出时，离球门左边框 12m 处的守门员至少要在几 s 内到球 门的左边框？ 【答案】(1) y=-1.22x2+3.66x ;(2) 不能理由见解析;(3)2s. 【解析】 （1）观察抛物线的图像经过原点，因此设 y关于 x 的函数关系式为 y=ax2+bx，再将点（1，2.44） ， （3,0）代入函数解析式，可解答。学科*网 （2）将 y=4.88代入（1）中的函数解析式，解一元二次方程，根据方程解的情况作出判断。 （3）将 y=2.44代入函数解析式，求出 x 的值，根据题意得出符合条件的 x的值，即可解答。 解： （1）解：设 y 关于 x 的函数关系式为 y=ax2+bx
7、依题可知： 当 x=1 时，y=2.44； 当 x=3 时，y=0 ， ， y=-1.22x2+3.66x 3 （2019 盘锦双台子区）一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面距离为 3.05m. 求抛物线的解析式. 该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25m 处出手，问：球出手时他跳离地面的高度是多 少？ 【答案】 （1）； （2）他跳离地面的高度为 0.2m. （2）设球出手时，他跳离地面的高度为 hm， y=-0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高
8、度为 h+1.8+0.25=（h+2.05）m， h+2.05=-0.2 （-2.5）2+3.5， h=0.2学科网 答：球出手时，他跳离地面的高度为 0.2m 4 （2017 杭州月考）如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，路面OA宽 8m,P处有一照明灯，从O、A两处观测P处，仰角分别为、，且 13 tan,tan 22 。以O为原点， OA所在直线为x轴建立直角坐标系。 （1）求P点坐标。 （2）现有一辆货车，宽为 4 m，高为 2.5m，它能否安全通过这个隧道？说明理由。 【答案】(1)P(6,3) ；(2)y=- 1 4 2 2xx ；可以通过. OPC
9、和PAC 是直角三角形， 13 tan,tan 22 13 22 PCPC OCAC ， ，学*科网 OC2PC，AC 2 3 PC ， OAOC+CA，OA8， 8 8 3 PC ， PC3， OC6，CA2， 点 P 的坐标为（6，3）. 5 （2018 保定三模）如图，儿童游乐场有一项射击游戏从 O处发射小球，将球投入正方形篮筐 DABC正 方形篮筐三个顶点为 A（2，2） ，B（3，2） ，D（2，3） 小球按照抛物线 yx2+bx+c 飞行小球落地点 P 坐标（n，0） （1）点 C 坐标为 ； （2）求出小球飞行中最高点 N 的坐标（用含有 n 的代数式表示） ； （3）验证：随着
10、 n的变化，抛物线的顶点在函数 yx2的图象上运动； （4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出 n的取值范围 【答案】 （1） （3，3） ； （2）顶点 N 坐标为（ ，） ； （3）详见解析； （4） n 【解析】 （1）由正方形的性质及 A、B、D三点的坐标求得 AD=BC=1即可得； （2）把（0，0） （n，0）代入 y=-x2+bx+c求得 b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答 案； （3）将点 N的坐标代入 y=x2，看是否符合解析式即可； （4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当 x=2时 y3，当 x=3时 y2，
11、据此列出关 于 n的不等式组，解之可得 （3）由（2）把 x 代入 yx2（ ）2 ， 抛物线的顶点在函数 yx2的图象上运动； （4）根据题意，得：当 x2 时 y3，当 x3 时 y2， 即， 解得： n 6 （2018 河南周口期末）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为 20m，拱顶距水面 4m （1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； （2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米， 不会影响过往船只？ 【答案】 （1）y=0.04（x10）2+4（2）0.76m 【详解】 （1）设所求抛物线的解析式为：y=a（xh）2
12、+k， 由 AB=20，AB到拱桥顶 C 的距离为 4m， 则 C（10，4） ，A（0，0） ，B（20，0） 把 A，B，C的坐标分别代入得 a=0.04，h=10，k=4 抛物线的解析式为 y=0.04（x10）2+4； （2）由题意得可设 E（1，y） ， 把 E 点坐标代入抛物线的解析式为 y=0.04（x10）2+4， 解得：y=0.76，学 （2）当 AB边长为 7米时，猪舍的面积最大，最大面积是 84 平方米； （3）1a3. 【详解】 解： （1）平行于围墙的边长为 x 米， x=80， 解得，x1=10，x2=16（舍去） =8， 即所围矩形猪舍的长是 10米、宽分 8 米
13、时，猪舍面积为 80平方米； （2）设平行于围墙的边长为 x米，猪舍的面积为 S平方米， S=x= (x13)2+， 墙长 12 米， 当 x=12 时，S 取得最大值，此时 S=84， 7，学科*网 即当 AB边长为 7米时，猪舍的面积最大，最大面积是 84平方米； （3）由题意可得， S=x（25+a-2x）=2(x)2+， 当 6.5x7 时，猪舍的面积 S 先增大，后减小， 6.57， 解得，1a3， 即 a的取值范围是 1a3. 5 （2018 北京丰台二模）数学活动课上，老师提出问题：如图， 有一张长 4dm，宽 3dm 的长方形纸板，在 纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把
14、四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为 多少时，盒子的体积最大 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为 xdm，体积为 ydm 3，根据长方体的体积公式得到 y 和 x 的关系式： ； （2）确定自变量 x 的取值范围是 ； （3）列出 y 与 x 的几组对应值 x/dm 1 y/dm 3 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 （说明：表格中相关数值保留一位小数） （4）在下面的平 面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm 时，盒子的
15、体积最大，最大值约为 dm 3 【答案】(1) y= 4x314x2+12x;(2) 0x ; (3)见解析；(4)见解析;(5) 0.55，3.03. （3）根据函数关系式，当 x= 时，y=3；x=1 时，y=2， （4）根据（1）画出函数图象如图， （5）根据图象，当 x=0.55dm时，盒子的体积最大，最大值约为 3.03dm3. 故答案为：0.55，3.03. 6.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木 栏围成， 建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD。 已知木栏总长为 120 米， 设 AB 边的长为 x 米， 长方形 ABC
16、D 的面积为 S 平方米 (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)当 x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大 值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆， 其圆心分别为和， 且到 AB、 BC、AD 的距离与到 CD、BC、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米 宽的平直路面，以方便同学们参观学习当(l)中 S 取得最值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的 半径；若不可行，清说明理由 解：AB=x，BC=1202x， 当 x=30时,S 有最大值为 1800；
17、 不可行 由知，当 S 取得最大值时，有 ，学科*网 设的半径为 r米，圆心到 AB的距离为 y 米，据题意，得 解得， 这个设计不可行. 8 （2018 湖州期末）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设 施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持 和 AB 平行的伸缩横杆 （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时EMN 的面积； （2）设 MN 与 AB 之间的
18、距离为 x 米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （3）请你探究EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由 【答案】 （1） 0.5 平方米； （2） 0x1 时， S=x； 1x13 时， S= 2 333 33 xx ； （3） 1 或 32 3 6 （2）本题要分情况解答（0x1；1x1+3） 当 0x1 时，可直接得出三角形的面积函数；当 1x1+3， 连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H，先求 FG，再证MNGDCG，继而得出三角形面积函数； （2）当 MN 在矩形区域滑动时，即 0x1 时，此时 MN=A
19、B=2 米， EMN 的面积 S= 11 MNx2 xx 22 ； 当 MN 在三角形区域滑动，即 1x13 时.如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， 易得 F 为 CD 中点， GFCD,且 FG3 . GH= 13x， 又 MNCD， MNGDCG MNGH DCGF ， MN13x 23 ，即 62 32 3x MN 3 故EMN 的面积 S 1 MNx 2 162 32 3x x 23 2 333 xx 33 ； 9 （2017 郑州二模）问题发现：如图 1，在ABC 中，C=90，分别以 AC，BC 为边向外侧作正方形 ACDE 和正方形
20、BCFG （1）ABC 和DCF 面积的关系是_； （请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若C90， （1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图 2 给出证明；若不成立，请说明 理由； （3）解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，ACBD，且 AC 与 BD 的和为 10，分别以四边形 ABCD 的四条 边为边向外侧作正方形 ABFE、正方形 BCHG、正方形 CDJI，正方形 DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分 的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由 图 1 图 2 图 3 【答案】 （1）相等； （2）成立，理由见解析； （3）阴影部分的
21、面积和有最大值,最大值为 25 = = APCDQC APCDQC ACPDCQ ACDC 在和中， APCDQC（AAS） ， AP=DQ 又SABC=BCAP，SDFC =FCDQ， SABC=SDFC. 10 （2017 无锡模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD，如图 1，再 在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒， 底面为矩形 EFGH，如图 2设小正方形的边长为 x 厘米 （1）当矩形纸板 ABCD 的一边长为 90 厘米时，求纸盒的侧面积的最大值； （2）当 EH：EF7：2，且侧面积与底面积之比为 9：7 时，求 x 的值 【答案】 （1） 4225 2 ； （2）10. 【解析】试题分析： （1）当 a=90 时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值； （2）根据题意列方程求解即可.
