1、已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 2 （5 分）已知复数，则复数 z 的共轭复数 （ ） A B C D 3 （5 分）已知 tan3，则 cos2+sin2（ ） A B C D 4 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最小值为（ ） A0 B4 C8 D6 5 （5 分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（ ） A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 6 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）
2、alnx+a，若 f（e） 4，则 f（0）+f（1）（ ） A1 B0 C2 D1 第 2 页（共 24 页） 7 （5 分）函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A4 B C D 9 （5 分）已知 P 是抛物线 C：y22px（p0）上的一点，F 是抛物线 C 的焦点，O 为坐标 原点，若|PF|2，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay26x By22x Cy2x Dy24x 10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1 所成角的余弦值为，则该长
3、方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 11 （5 分）双曲线 mx2+ny21（mn0）的渐近线于圆（x5）2+y29 相切，且该双曲线 过点，则该双曲线的虚轴长为（ ） 第 3 页（共 24 页） A3 B4 C6 D8 12 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 sin（A+C），则 tanC+的最小值为（ ） A B2 C1 D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，若，则 m 14 （5 分）的二项展开式中，
4、x 项的系数是 （用数字作答） 15 （5 分）若函数 f（x）sinxacosx 图象的一条对称轴方程为，则 a 16 （5 分）若 lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，则的最 小值为 ，此时 x2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2+kn+k （1）求an的
5、通项公式； （2）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统 计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况， 得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量 y 关于年份 x 的线性相关系数 r，并判断 y 与 x 是否线性相 关；
6、 第 4 页（共 24 页） （2）请将上述 22 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为购车车主是否购置 新能源乘用车与性别有关； （3）若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源 乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女 性车主的人数为 X，求 X 的数学期望与方差 参考公式：，其中 na+b+c+d.，若 r0.9，则可判断 y 与 x 线性相关 附表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19 （12
7、 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，BAD 60，CD1，AD2，AB4，点 G 在线段 AB 上，AG3GB，AA11 （1）证明：D1G平面 BB1C1C （2）求二面角 A1D1GA 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的半焦距为 c，圆 O：x2+y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共点，直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 5 页（共 24 页） （2）已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 P，Q 两点，试问：x 轴 上是否存在定点 R，使得为定值？若存在，求出该定值和点
8、 R 的坐标；若不存在， 请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足 f（x）+f（x）x2，当 x0 时，f（x） x （1）判断 f（x）在（，0上的单调性并加以证明； （2）若方程 f（x）x 有实数根 x0，则称 x0为函数 f（x）的一个不动点，设正数 x0为函 数 g（x）xex+a（1ex）+x+1 的一个不动点，且，求 a 的 取值范围 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方
9、程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 ，求直线 m 的倾斜角 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| （1）求不等式 f（x）10 的解集； （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明： 第 6 页（共 24 页） 2020 年山西省晋城市高考数学一模试卷年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要
10、求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0xe，Bx|1x2， AB（0，2） 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算， 考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数，则复数 z 的共轭复数 （ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由， 得 故选：A 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是
11、基础题 3 （5 分）已知 tan3，则 cos2+sin2（ ） A B C D 【分析】由题意，可将 cos2+sin2 变为，再利用商数关系将其 用切表示出来，代入正切的值即可求出分式的值 【解答】解：tan3， cos2+sin2， 第 7 页（共 24 页） 故选：B 【点评】本题考查同角三角函数的关系，已知角的正切值，求解时注意“1”的妙用，属 于基础题 4 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最小值为（ ） A0 B4 C8 D6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束
12、条件作出可行域如图， 化目标函数 zx3y 为 yx， 由图可知，当直线 yxz 过 A（0，2）时，z 有最小值为6 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 5 （5 分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（ ） A甲得分的平均数比乙的大 第 8 页（共 24 页） B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 【分析】利用甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，可求出甲、乙的平均 数、中位数，分析数据的离散程度，确定方差，即可求解 【解答】解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得： 在 A 中，甲的
13、平均分（10+13+12+14+16）13， （13+14+12+12+14）13， 甲得分的平均数与乙的平均数相等，故 A 错误； 在 B 中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故 B 正确； 在 C 中，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是 13，故 C 错误； 在 D 中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 6 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x
14、）alnx+a，若 f（e） 4，则 f（0）+f（1）（ ） A1 B0 C2 D1 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）和 f（e）的值，结合函数的解析式可得 f （e）alne+a2a4，解可得 a 的值，进而计算可得 f（1）的值，相加即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（0）0， 若 f（e）4，则 f（e）f（e）4， 又由当 x0 时，f（x）alnx+a，则 f（e）alne+a2a4，解可得 a2， 则 f（1）2ln122， 故 f（0）+f（1）2； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意求出 a 的值，
15、属于基础题 第 9 页（共 24 页） 7 （5 分）函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 【解答】解：， 函数 f（x）为奇函数， 又， 选项 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运 用排除法求解，属于基础题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A4 B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 第 10 页（共 24 页） 最长的棱长为 AB 故选：C
16、【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （5 分）已知 P 是抛物线 C：y22px（p0）上的一点，F 是抛物线 C 的焦点，O 为坐标 原点，若|PF|2，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay26x By22x Cy2x Dy24x 【分析】 由抛物线的方程求出焦点坐标及准线方程， 由题意画图， 若|PF|2， 可得 P 的坐标，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出 p 的值， 进而求出抛物线的方程 【解答】解：如图所示：由抛物线的方程可得焦点 F（，0） ， 由|PF|
17、2 可得|PF|cos21，所以可得 xP1， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线 的距离，所以 xP+2，即2， 解得 p3， 所以抛物线的方程为：y26x， 故选：A 第 11 页（共 24 页） 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1 所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长 方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积 【解答】解：由题
18、意建立如图所示的空间直角坐标系，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴 DD1为 z 轴，D 为坐标原点， 由题意知 A（6，0，0） ，B（6，8，0） ，D（0，0，0） ， 设 D（0，0，a） ，则 C1（0，8，a） ， （6，8，0） ，（6，8，a） ， cos， 由题意可得：，解得：a296， 由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为 R，则（2R）282+62+a2196， 所以该长方体的外接球的表面积 S4R2196， 故选：B 第 12 页（共 24 页） 【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题 11 （5 分）双曲线 mx2+ny21（m
19、n0）的渐近线于圆（x5）2+y29 相切，且该双曲线 过点，则该双曲线的虚轴长为（ ） A3 B4 C6 D8 【分析】mx2+ny21（mn0）的渐近线与圆 E： （x5）2+y29 相切圆心（5，0）到 渐近线的距离等于半径 r3，推出 mn 的方程，结合点在双曲线上，求解 m，n 然后求解 双曲线的虚轴长 【解答】解：双曲线 mx2+ny21（mn0）的一条渐近线xy0 圆 E： （x5）2+y29 的圆心（5，0） ，半径 r3 渐近线与圆 E： （x5）2+y29 相切，3，即 16|m|9|n|， 该双曲线过点， 4m+1， 解可得 n，m， 双曲线1，该双曲线的虚轴长为：8 故
20、选：D 【点评】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、 离心率的计算公式是解题的关键，是中档题 12 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 sin（A+C），则 tanC+的最小值为（ ） A B2 C1 D 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简，求出 sin（BC）sinC，可得 tan（BC） 第 13 页（共 24 页） tanC，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：由 sin（A+C），得 sinB， 所以 b2c2+ac，由 b2a2+c22accosB，得 a2ccosBc， 利用正弦定理
21、sinA2sinCcosBsinC， sinBcosC+cosBsinC2sinCcosBsinBcosCcosBsinCsinC， 即 sin（BC）sinC， 锐角ABC 中，tan（BC）tanC， tanC+tanC+2，当且仅当 tanC时取 等号 故选：A 【点评】本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质 ， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，若，则 m 1 【分析】根据题意，由数量积与向量垂直的关系可得 m0，解
22、可得 m 的 值，即可得答案 【解答】解：根据题意，向量， 若，则 m0，解可得 m1； 故答案为：1 【点评】本题考查向量数量积的性质，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题 14 （5 分）的二项展开式中，x 项的系数是 560 （用数字作答） 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 1 求得 r 值，则答案可求 【解答】解：的二项展开式的通项为 由 72r1，得 r3 的二项展开式中，x 项的系数是560 第 14 页（共 24 页） 故答案为：560 【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题 15 （5 分）若函数 f（x）sinxacosx 图象的
23、一条对称轴方程为，则 a 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出角的范围即可 【解答】解：f（x）（sinxcosx） ， 令 cos，sin， 即 tana， 则 f（x）sin（x） ， f（x）的一条对称轴方程为， k+，即 k， 则 atantan（k）tan（）， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合参数 的关系建立方程是解决本题的关键，有一定的难度 16 （5 分）若 lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，则的最 小值为 ，此时 x2 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，根据点与曲线之间的关
24、系，转化为两点间距离的 最值问题，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 【解答】解：由 lnx1x1y1+20 得 y1lnx1x1+2， 即点 A（x1，y1）在曲线 ylnxx+2 上， 点 B（x2，y2）在直线 x+2y42ln20 上， 的几何意义表示为 A，B 两点距离的平方， ylnxx+2 的导数 y1， 直线 x+2y42ln20 的斜率 k， 第 15 页（共 24 页） 由 y1得， 得 x2， 此时 yln22+2ln2， 即切点坐标为 （2， ln2） ， 即此时切点到直线的距离 d， 即的 最小值为 d2， 过切点与直线 x+2y42ln20 垂直的直线方程
25、设为 2xy+c0，得 cy2xln2 4即 2xy+ln24， 由得 x，即 x2， 故答案为：， 【点评】本题主要考查两点间距离的最值问题，结合两点间距离公式，转化最值问题， 以及利用导数的几何意义，转化为切线问题是解决本题的关键，有一定的难度 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S
26、n2n2+kn+k （1）求an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题设等差数列an的公差为 d，然后将等差数列求和公式与题干中 所给表达式进行比较， 可得关于 a1与 d 的方程， 解出 a1与 d 的值， 即可得到等差数列an 的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用 裂项相消法求前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等差数列an的公差为 d，则 Snn2+（a1）n2n2+kn+k 故，解得 数列an的通项公式为 an2+4（n1）4n2 （2）由（1）知， bn （） 故 Tnb1+b2+b
27、n 第 16 页（共 24 页） （1）+ （）+ （） （1+） （1） 【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求前 n 项和考查了 方程思想，转化和化归思想的应用本题属中档题 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统 计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况， 得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主
28、 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量 y 关于年份 x 的线性相关系数 r，并判断 y 与 x 是否线性相 关； （2）请将上述 22 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为购车车主是否购置 新能源乘用车与性别有关； （3）若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源 乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女 性车主的人数为 X，求 X 的数学期望与方差 参考公式：，其中 na+b+c+d.，若 r0.9，则可判断 y 与 x 线性相关 第 17 页（共 24 页） 附表： P（K2k
29、0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1） 求出 2016， 16， 从而求出47， 10，254，进而求出 r0.940.9， 由此得到 y 与 x 线性相关 （2）依题意，完善列联表，求出 K2，从而有 90%的把握认为购车 车主是否购置新能源乘用车与性别有关 （3）该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，从而 XB（50，由 此能求出 X 的数学期望与方差 【解答】 解： （1） （2014+2015+2016+2017+2018） 2016， （8+10+13+25+24） 16
30、， （2）（8）+（1）（6）+19+2847， 4+1+1+410，64+36+9+81+64254， r0.940.9， y 与 x 线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 第 18 页（共 24 页） 总计 20 10 30 K2， 有 90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关 （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为， 则 XB（50，） ，E（X）5020， D（X）12 【点评】本题考查两个变量否线性相关的判断，考查独立性检验的应用，考查离散型随 机变量的分布列、数学期
31、望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 19 （12 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，BAD 60，CD1，AD2，AB4，点 G 在线段 AB 上，AG3GB，AA11 （1）证明：D1G平面 BB1C1C （2）求二面角 A1D1GA 的余弦值 【分析】 （1）连接 C1B，证明 GBCDD1C1，且 GBD1C11 得到四边形 GBC1D1为 平行四边形，故由 D1GC1B 得到证明 （2）作 DHAB 于 H，建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，计算夹角得 到答案 【解答】解： （1）证明
32、：连接 C1B，因为底面 ABCD 为梯形，ABCD，AB44CD， AG3GB， 第 19 页（共 24 页） 则 GBCDD1C1，且 GBD1C11， 所以四边形 GBC1D1为平行四边形，则 D1GC1B， 又 C1B 在平面 BB1C1C 内，D1G 不在平面 BB1C1C 内， 所以 D1G平面 BB1C1C （2）作 DHAB 于 H，以 D 为坐标原点，分别以 DH，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设 平 面 A1D1G 的 法 向 量 为， 则， 可 取 ； 设 平 面 AD1G 的 法 向 量 为， 则， 可 取 ，
33、 ， 又二面角 A1D1GA 的平面角为锐角，故所求余弦值为 【点评】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力 20 （12 分）已知椭圆的半焦距为 c，圆 O：x2+y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共点，直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 P，Q 两点，试问：x 轴 第 20 页（共 24 页） 上是否存在定点 R，使得为定值？若存在，求出该定值和点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）根据条件求出 a，b，c，求出椭圆的方程； （2）当直线
34、l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk（x+2） ，与椭圆方程联立，假设 x 轴上存在定点 R（t，0） ，使得为定值，得到，R（） ，当直线 l 与 x 轴垂直时，判断也成立，求出 Q 即可 【解答】解： （1）圆 O：x2+y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共点，则 bc； 直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点，b2， 又 a2b2+c28； 所以椭圆的方程为：； （2） 设 P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为： yk （x+2） ， 由消去 y 得（2k2+1）x2+8k2x+8（k21）0， 得 x1+x2， 假
35、设 x 轴上存在定点 R（t，0） ，使得为定值，则 （x1t，y1） （x2t，y2）x1x2t（x1+x2）+y1y2+t2 x1x2t（x1+x2）+k（x1+2）k（x2+2）+t2 （1+k2）x1x2 +4k2+t2 第 21 页（共 24 页） ， 要使为定值，于是，R（） ， 则8+， 当直线 l 与 x 轴垂直时，把 x2 代入 y，于是 P（2，） ，Q（2，） 故（2+，） （2+，）为定值， 综上，在 x 轴上存在定点 R（） ，使得为定值 【点评】考查求椭圆的方程，直线与椭圆的定点问题，中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足 f（x）+f（
36、x）x2，当 x0 时，f（x） x （1）判断 f（x）在（，0上的单调性并加以证明； （2）若方程 f（x）x 有实数根 x0，则称 x0为函数 f（x）的一个不动点，设正数 x0为函 数 g（x）xex+a（1ex）+x+1 的一个不动点，且，求 a 的 取值范围 【分析】 （1）根据已知构造函数 h（x）f（x），可判断 h（x）的单调性，进而 可得 f（x）的单调性； （2）由已知不等式，结合单调性可求 x0的范围，然后进行分离参数后转化为求解函数 的值域 【解答】解： （1）令 h（x）f（x），则 h（x）f（x）x， 因为当 x0 时，f（x）x，即 h（x）0，故 h（x）在
37、0，+）上单调递减， 又 f（x）+f（x）x2，所以 h（x）+h（x）0， 故 h（x）为奇函数，根据奇函数的对称性可知，h（x）在（，0）上单调递减， 因为 y在（，0上单调递减， 故 f（x）h（x）+在（，0上单调递减， （2）由（1）可知，h（x）在 R 上单调递减， 由，可得 h（x0）h（1x0） ， 第 22 页（共 24 页） 所以 x01x0，即 x0， 因为正数 x0为函数 g（x）xex+a（1ex）+x+1 的一个不动点， 所以 g（x）x 在（0，上有解， 即 xex+a（1ex）+10 在（0，上有解， 整理可得，ax+， 令 m（x）x+，则， 设 t（x）e
38、xx2，x， 则 t（x）ex10，故 t（x）在（0，上单调递增，且 t（），即 t （x）0， 所以 m（x）0，故 m（x）在（0，上单调递减，m（x）m（）， 故 a 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用分离参数法研究函数的零点 问题，属于难题 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 ，求直线
39、 m 的倾斜角 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标方 第 23 页（共 24 页） 程为 x2+y26 直线 l 的极坐标方程为整理得，转 换为直角坐标方程为 （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，所以 P（4，0） ， 所以（t 为参数） ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到： （4+tcos）2+（tsin）26， 整理得 t2+8cost+100， 所以 t1+t28cos， 所以，
40、 解得或， 所以或 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| （1）求不等式 f（x）10 的解集； （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明： 【分析】 （1）将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）10 分别解不等式即可； （2）先利用绝对值三角不等式求出 f（x）的范围，再根据 a+b2，利用均值不等式即 可证明 【解答】解： （1）f（x）|3x1|+|3x+3| f（x）10，或， 或 x2， 不等式的解集为x|或 x2 第 24 页（共 24 页） （2）f（x）|3x1|+|3x+3|（3x1）（3x+3）|4 正数 a，b 满足 a+b2，f（x）2（a+b） ， ， 当且仅当 ab1 时等号成立， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用，考 查了转化思想和分类讨论思想，属中档题
