2020年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷（含详细解答）

1、已知函数 f（x），若 f（a）f（a+2） ，则 f（） 4（5分） 数列an的前n项和为Sn， 且Sn2n1， 则数列bnan27an+6的最小值为 5 （5 分）若变量 x，y 满足，且 x2ya 恒成立，则 a 的最小值为 6 （5 分）青岛二中高一高二高三三个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 再从 5 位同学中选出 2名一等奖记 A “两名一等奖来自同一年级” ， 则事件A 的概率为 7 （5 分）底面半径都是 3 且高都是 4 的圆锥和圆柱的全面积之比为 8（5 分） 执

2、行如图的程序框图， 若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9， 则输出的 i 的值为 9 （5 分）已知 x（0，） ，tan（x+）3，则 10 （5 分）函数的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得 弦长为 2，则实数 a 的值为 11 （5 分）若正实数 x、y 满足 x2xy+y29，且|x2y2|9，则 xy 的取值范围为 12 （5 分）已知直角三角形 ABC 的两直角边 CA3，CB4，圆 O 是该三角形的内切圆， 第 2 页（共 25 页） P 是圆 O 上的任意一点，则的最大值为 13 （5 分）已知函数 f（x）（）x1，x1，0，g（x）a2lo

3、g2x+3a，x，2， 对任意的 x0，2，总存在 x11，0使得 g（x0）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 14 （5 分）已知函数 f（x）x2ex+lnta，若对任意的 t1，e，f（x）在区间1，1总 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 A； （2）若 a1，求ABC 面积的最大值 16 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，

4、E 为 CD 的中点，O 为 BD 上一点，且 BC平面 AOE （1）求证：O 是 BD 的中点； （2）若 ABAD，BCBD，求证：平面 ABD平面 AOE 17 （14 分）已知椭圆 C：+1（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为 4， 离心率为，点 A 为椭圆 C 的左顶点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设圆 M：x2+（y2）2r2（0r2） ，过点 A 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 点 B 和 D，求证：直线 BD 过定点 18 （16 分）如图，一条小河岸边有相距 8km 的 A，B 两个村庄（村庄视为岸边上 A，B 两 点） ，在小河另一侧有一集镇 P（集

5、镇视为点 P） ，P 到岸边的距离 PQ 为 2km，河宽 OH 第 3 页（共 25 页） 为 0.05km，通过测量可知，PAB 与PBA 的正切值之比为 1：3当地政府为方便村民 出行，拟在小河上建一座桥 MN（M，N 分别为两岸上的点，且 MN 垂直河岸，M 在 Q 的左侧） ，建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知 A，B 两村的人口数分 别是 1000 人、500 人，假设一年中每人去集镇的次数均为 m 次设PMQ （小河河 岸视为两条平行直线） （1）记 L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 表示 L； （2）试确定 的余弦值，使得 L 最小，从而符合建桥要求

6、 19 （16 分）已知数列an，其前 n 项和为Sn，满足 a12，Snnan+an1，其中 n2， nN*，R （1）若 0，4，bnan+12an（nN*） ，求证：数列bn是等比数列； （2）若数列an是等比数列，求 ， 的值； （3）若 a23，且 +，求证：数列an是等差数列 20 （16 分）若函数 f（x）+g（x）和 f（x） g（x）同时在 xt 处取得极小值，则称 f（x） 和 g（x）为一对“P（t）函数” （1）试判断 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是否是一对“P（1）函数” ； （2）若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” 求

7、a 和 t 的值； 若 a0，若对于任意 x1，+） ，恒有 f（x）+g（x）m f（x）g（x） ，求实数 m 的 取值范围 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）已知矩阵 M满足：Maiiai，其中 i（i1，2）是互不相等的

8、实常数， 第 4 页（共 25 页） ai（i1，2）是非零的平面列向量，11，a2，求矩阵 M 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：，曲线 C2：（ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）曲线 C3：（t 为参数，t0，）分别交 C1，C2于 A，B 两点，当 取何值时，取得最大值 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内

9、作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0）及点 M（2，0） ，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB4 （1）求 p 的值； （2）若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2 经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上 24 （10 分）设实数 c0，整数 p1，nN* （）证明：当 x1 且 x0 时，

10、 （1+x）p1+px； （）数列an满足 a1，an+1an+an1 p证明：a nan+1 第 5 页（共 25 页） 2020 年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 14 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 70 分分. 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，xR，集合 Bx|x23x+20，xR，则 AB （1， 2） 【分析】求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2，xR，集合 Bx|x23x+20，xRx|1x2， 由题得 ABx|

11、x2，xRx|1x2，xR（1，2） 故答案为： （1，2） 【点评】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想， 是基础题 2 （5 分）设复数 z+2i，则|z| 3 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 【解答】解：z+2ii， z2ii3i， 则|z|3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础 3 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）f（a+2） ，则 f（） 2 【分析】 当 0a2 时， a2+a2a4+8， 求出 a1； 当 a2 时， 2a+82a4+8， 无解从而 f（）f（1） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f

12、（x），f（a）f（a+2） ， 当 0a2 时，a2+a2a4+8， 解得 a4（舍）或 a1； 当 a2 时，2a+82a4+8，无解 第 6 页（共 25 页） a1， f（）f（1）12+12 故答案为：2 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理 运用 4 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n1， 则数列 bnan27an+6 的最小值为 6 【分析】由已知求得，再由配方法求数列 bnan27an+6 的最小值 【解答】解：由 Sn2n1，得 a1S11， 当 n2 时， a11 适合上式， 则 bnan27an+6 当 an4

13、时 故答案为：6 【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式，训练了利 用配方法求函数的最值，是中档题 5 （5 分）若变量 x，y 满足，且 x2ya 恒成立，则 a 的最小值为 4 【分析】令 zx2y，作平面区域，从而可得到 zx2y 的最大值，从而求得 a 的最小 值 【解答】解：令 zx2y， 作变量 x，y 满足的平面区域如下， 结合图象可知，C（0，2） ； 且 zx2y 在 A（0，2）处有最大值 4， 故 a4， 第 7 页（共 25 页） 即实数 a 的最小值为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了线性规划的应用及数形结合的思想方法应用，同时考

14、查了转化思想 的应用 6 （5 分）青岛二中高一高二高三三个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 再从 5 位同学中选出 2 名一等奖记 A “两名一等奖来自同一年级” ， 则事件 A 的概率为 【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取 2 名，高二学生抽取 2 名，高三学生抽 取 1 名，再从 5 位同学中选出 2 名一等奖，基本事件个数 n10，记 A“两名一 等奖来自同一年级” ，则事件 A 包含的基本事件个数 m2，由此能求出事件 A 的概率 【解答】解：青岛二中高一高二高三三

15、个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 则高一学生抽取：52， 高二学生抽取：52， 高三学生抽取：51， 再从 5 位同学中选出 2 名一等奖， 基本事件个数 n10， 第 8 页（共 25 页） 记 A“两名一等奖来自同一年级” ， 则事件 A 包含的基本事件个数 m2， 事件 A 的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 7 （5 分）底面半径都是 3 且高都是 4 的圆锥和圆柱的全面积之比为 【分析

16、】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值 【解答】解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径 R3，圆柱与圆锥的高 h4， 则圆锥的母线长为 l5， 则圆锥的全面积为：R2+2Rl9+1524； 圆柱的全面积为：2R2+2Rh18+2442 圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为： 故答案为： 【点评】本题考查圆锥、圆柱的全面积，正确应用面积公式是解题的关键，考查计算能 力，是基础题 8 （5 分） 执行如图的程序框图， 若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9， 则输出的 i 的值为 3 第 9 页（共 25 页） 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的

17、值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】解：输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i1 第一次执行循环体后：a1，b8，不满足条件 ab，故 i2； 第二次执行循环体后：a3，b6，不满足条件 ab，故 i3； 第三次执行循环体后：a6，b3，满足条件 ab， 故输出的 i 值为：3， 故答案为：3 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模 拟程序法进行解答 9 （5 分）已知 x（0，） ，tan（x+）3，则 【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求 cosx，sinx，利用诱 导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解 【解答】解：x

18、（0，） ，tan（x+）3， tanx2，即 sinx2cosx， sin2x+cos2x（2cosx）2+cos2x5cos2x1，解得 cosx，sinx， 故答案为： 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式， 二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 10 （5 分）函数的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得 弦长为 2，则实数 a 的值为 6 或 2 【分析】由题可知切线的斜率 kf（1）1又 f（1）a，所以切点坐标为（1，a） ， 函数f （x） 的图象在x1处的切线方程为yx+a1

19、 所以圆心到切线的距离 则 ，解得实数 a 的值是6 或 2 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：f（x）， 由题可知切线的斜率 kf（1）1 又 f（1）a，所以切点坐标为（1，a） ， 所以函数的图象在 x1 处的切线方程为 yx+a1 又因为圆 C：x2+y22x+4y40 的圆心坐标为（1，2） ，半径为 3， 所以圆心到切线的距离 因为切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得弦长为 2， 则， 解得 a6 或 2 故答案为：6 或 2 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题 11 （5 分） 若正实数 x、 y 满足 x2xy+y29， 且|x2y

20、2|9， 则 xy 的取值范围为 （6， 9 【分析】运用基本不等式可得 xy 的最大值，再由不等式的性质可得 xy6，即可得到所 求范围 【解答】解：x0，y0，x2xy+y29，可得 xy（x2+y2）92xy9， 即 xy9，当且仅当 xy3 取得最大值 9； 由|x2y2|9，即9x2y29， 即 xyx2y2x2y2x2+y2xy， （x0，y0） ， 即 xy2x2，xy2y2， 化为xy2x， 由 x2+y29+xy9，可得 x3， 则 xyx26， 综上可得 xy（6，9 故答案为： （6，9 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式的性质和转化思想，属于中 档题

21、12 （5 分）已知直角三角形 ABC 的两直角边 CA3，CB4，圆 O 是该三角形的内切圆， P 是圆 O 上的任意一点，则的最大值为 4 第 11 页（共 25 页） 【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标 以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解 【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为 5，由等面积，可得内切圆半径 r 1， 建立如图所示坐标系 则 O（0，0） ，C（1，1） ，A（2，1） ，B（1，3） ；设 P（cos，sin） ； （2cos，1sin） ，（1cos，3sin） ； cos2cos2+sin22sin3（2si

22、n+cos）4sin（+） 4； 其中 tan； sin（+）1 时的最大值为：4； 故答案为：4 【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，圆 的参数方程，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于中档题 13 （5 分）已知函数 f（x）（）x1，x1，0，g（x）a2log2x+3a，x，2， 对任意的 x0，2，总存在 x11，0使得 g（x0）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 a|0a1 【分析】由已知问题可转化为函数 g（x）在上值域是 f（x）在1，0上值域 的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可 【解答】解：， f（0）f（x）f

23、（1） ，即 0f（x）4，即函数 f（x）的值域为 B0，4， 第 12 页（共 25 页） 若对于任意的 x11，0，总存在，使得 g（x0）f（x1）成立， 则函数 g （x） 在上值域是 f （x） 在1， 0上值域 A 是集合 B 的子集， 即 AB， 若 a0，g（x）0，此时 A0，满足条件 当 a0 时，g（x）a2log2x+3a 在是增函数，g（x）+3a，a2+3a， 即 A+3a，a2+3a， ， 解可得 0a1， 故答案为：a|0a1 【点评】本题主要考查了恒成立与存在性问题的应用，体现了转化思想的应用 14 （5 分）已知函数 f（x）x2ex+lnta，若对任意的

24、 t1，e，f（x）在区间1，1总 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围是 （1+，e 【分析】 根据导数求出函数的最值， 再根据存在唯一的 x01， 1， 使得 f （x0） lnt+a 在 t1，e上恒成立，得到f（x0）e，即lnt+ae，得到关于 a 的不等式组， 解得即可 【解答】解：函数 f（x）x2ex+lnta0 可得 x2exalnt， 令 g（x）x2ex， 则 g（x）2xex+x2exxex（x+2） ，x1，1， 令 g（x）0，则 x0， 当 g（x）0 时，0x1， 当 g（x）0 时，1x0， g（x）在（1，0）单调递减，在（0，1上单调递增， g（x）mi

25、nf（0）0 g（1）g（1）e， g（x）maxg（1）e， 存在唯一的 x01，1，使得 f（x0）lnt+a 在 t1，e上成立， 第 13 页（共 25 页） f（x0）e， 因为lnt+ae 在 t1，e上有唯一解， ，解得 1+ae， 故答案为（1+，e 【点评】本题考查了导数函数的最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成 立的问题，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知

26、（1）求 A； （2）若 a1，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 cosA，进而可求 A； （2）由余弦定理结合基本不等式可求 bc 的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求 解 【解答】解： （1）由及正弦定理可得， 整理可得，sinAcosB+sinBcosA2sinCcosA， 即 sin（A+B）sinC2sinCcosA， 因为 sinC0，所以 cosA， 所以 A， （2）由余弦定理可得， 所以 b2+c21+bc2bc，当且仅当 bc 时取等号， 所以 bc1，即 bc 的最大值为 1，此时三角形的面积取得最大值 S 【点评

27、】本题主要考查了正弦定理及和差角公式在三角化简中的应用，还考查了三角形 的面积公式的应用，属于中等试题 16 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E 为 CD 的中点，O 为 BD 上一点，且 BC平面 AOE （1）求证：O 是 BD 的中点； 第 14 页（共 25 页） （2）若 ABAD，BCBD，求证：平面 ABD平面 AOE 【分析】 （1）利用线面平行的性质即可得证； （2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可 【解答】证明： （1）BC平面 AOE，BC 在平面 BCD 内，平面 BCD平面 AOEOE， BCOE， E 为 CD 的中点， O 为 BD 的中点； （2）O

28、EBC，BCBD， OEBD， ABAD，O 为 BD 的中点， OABD， OEOAO，且都在平面 AOE 内， BD平面 AOE， BD 在平面 ABD 内， 平面 ABD平面 AOE 【点评】本题主要考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题 17 （14 分）已知椭圆 C：+1（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为 4， 离心率为，点 A 为椭圆 C 的左顶点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设圆 M：x2+（y2）2r2（0r2） ，过点 A 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 点 B 和 D，求证：直线 BD 过定点 【分析】 （1）根据椭圆的定义，利用椭

29、圆的离心率公式即可求得 c 和 b，即可求得椭圆的 第 15 页（共 25 页） 标准方程； （2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得 k1k21，将直线方程代入 椭圆方程，求得 B 和 D 点坐标，求得直线 BD 的方程，即可判断直线 BD 过定点 【解答】解： （1）由椭圆的定义 2a4，则 a2，则 c， 所以 b2a2c21， 因此椭圆 C 的标准方程； （2）证明：设切线 AB，AD 的方程为 yk（x+2） ， 则，即（4r2）k28k+4r20， 设两切线 AB，AD 的斜率为 k1，k2，则 k1k21， 联立，得（1+4k2）x2+16k2x+16k240， 设

30、 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 x1，y1， 同理得 x2，y2， 所以直线 BD 的斜率 kBD 则直线 BD 的方程为 y（x） ， 整理得 y（x+） ， 故直线 BD 过定点（，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程 的应用，考查转化思想，属于中档题， 18 （16 分）如图，一条小河岸边有相距 8km 的 A，B 两个村庄（村庄视为岸边上 A，B 两 第 16 页（共 25 页） 点） ，在小河另一侧有一集镇 P（集镇视为点 P） ，P 到岸边的距离 PQ 为 2km，河宽 OH 为 0.05km，通过测量可知，PAB 与PB

31、A 的正切值之比为 1：3当地政府为方便村民 出行，拟在小河上建一座桥 MN（M，N 分别为两岸上的点，且 MN 垂直河岸，M 在 Q 的左侧） ，建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知 A，B 两村的人口数分 别是 1000 人、500 人，假设一年中每人去集镇的次数均为 m 次设PMQ （小河河 岸视为两条平行直线） （1）记 L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 表示 L； （2）试确定 的余弦值，使得 L 最小，从而符合建桥要求 【分析】 （1）通过PAB 与PBA 的正切值之比为 1：3，推出 AH：HB3：1，求出 L 1000（AN+MN+MP）+500（BN

32、+MN+MP） ，得到解析式 （2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的 最值即可 【解答】解： （1）因PAB 与PBA 的正切值之比为 1：3， 所以1：3，所以 HB：HA1：3，即 AH6，HB2， 因 PQ2，所以， 所以 L1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP） ， 所以， 化简得， （2）由（1）知， 所以， 化简得， 第 17 页（共 25 页） 由 L0，得， 令，且， 当 （0，0）时，L0；当时，L0； 所以函数 L（）在（0，0）上单调递减；在上单调递增； 所以 0时函数 L（）取最小值，即当时，符合建桥要求， 答： （1），； （2）当时，

33、符合建桥要求 【点评】本题考查函数的实际应用，函数的导数求解函数的最值的方法，考查转化思想 以及计算能力 19 （16 分）已知数列an，其前 n 项和为Sn，满足 a12，Snnan+an1，其中 n2， nN*，R （1）若 0，4，bnan+12an（nN*） ，求证：数列bn是等比数列； （2）若数列an是等比数列，求 ， 的值； （3）若 a23，且 +，求证：数列an是等差数列 【分析】 （1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可 （2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解 （3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明 【解答】 （1）证明：若 0，4，则当

34、 Sn4an1（n2） ， 所以 an+1Sn+1Sn4（anan1） ， 即 an+12an2（an2an1） ， 所以 bn2bn1， 又由 a12，a1+a24a1， 得 a23a16，a22a120，即 bn0， 所以2， 故数列bn是等比数列 （2）若an是等比数列，设其公比为 q（q0） ， 第 18 页（共 25 页） 当 n2 时，S22a2+a1， 即 a1+a22a2+a1， 得 1+q2q+， 当 n3 时，S33a3+a2，即 a1+a2+a33a3+a2， 得 1+q+q23q2+q， 当 n4 时，S44a4+a3，即 a1+a2+a3+a44a4+a3， 得 1+

35、q+q2+q34q3+q2， q，得 1q2， q，得 1q3， 解得 q1，1 代入式，得 0 此时 Snnan， （n2） ， 所以 a12，an是公比为 1 的等比数列， 故 1，0 （3）证明：若 a23，由 a1+a22a2+a1， 得 56+2， 又 +，解得 ，1 由 a12，a23，1，代入 Snnan+an1得 a34， 所以 a1，a2，a3成等差数列， 由 Snan+an1，得 Sn+1an+1+an， 两式相减得：an+1an+1an+anan1， 即（n1）an+1（n2）an2an10， 所以 nan+2（n1）an+12an0， 相减得：nan+22（n1）an+

36、1+（n2）an2an+2an10， 所以 n（an+22an+1+an）+2（an+12an+an1）0， 所以 an+22an+1+an（an+12an+an1）（an2an1+an2） （a32a2+a1） ， 因为 a32a2+a10， 第 19 页（共 25 页） 所以 an+22an+1+an0， 即数列an是等差数列 【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的证明和应用，利用数列的递推关系以及数 列的前 n 项和公式的关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，难度较大 20 （16 分）若函数 f（x）+g（x）和 f（x） g（x）同时在 xt 处取得极小值，则称 f（x） 和 g

37、（x）为一对“P（t）函数” （1）试判断 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是否是一对“P（1）函数” ； （2）若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” 求 a 和 t 的值； 若 a0，若对于任意 x1，+） ，恒有 f（x）+g（x）m f（x）g（x） ，求实数 m 的 取值范围 【分析】 （1）设立两个新函数 h1（x）f（x）+g（x） ，h2（x）f（x） g（x） ，分别求 导，看在 x1 处是否有极小值，从而得出判断 （2）设立两个新函数 h1（x）ex+x2+ax+1，h2（x）ex （x2+ax+1） ，分别求导，由 f（x）ex与 g（

38、x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数，对 a 进行分类讨论，看极小值从而 得到结论 由的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可 【解答】解：令 h1（x）f（x）+g（x） ，h2（x）f（x） g（x） （1）则 h1（x）2x+a+1，h2（x）3x2+2ax+b f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是一对“P（1）函数” ； ， 此时，因 h2（x）3x26x+33（x1）20，h2（x）无极小值 故 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 不是一对“P（1）函数” （2）h1（x）ex+x2+ax+1，h2（x）ex （x2+ax+1） ， h1（x）ex+2x+

39、a，h2（x）exx2+（a+2）x+a+1ex （x+1） （x+a+1） 若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” ， 由 h2（x）ex （x+1） （x+a+1）0，得 x11，x2a1， 1 若 a0，则有 第 20 页（共 25 页） x （， a1） a1 （a1， 1） 1 （1，+） h2（x） + 0 0 + h2（x） 极大值 极小值 因为 h2（x）在 xt 处取得极小值，所以 t1， 从而 h1（1）e 12+a0，a2 ， 经验证知 h1（x）ex+x2+（2）x+1，在 x1 处取得极小值， 2 若 a0，则有 x （， 1） 1 （1，

40、a 1） a1 （1，+ ） h2（x） + 0 0 + h2（x） 极大值 极小值 因为 h2（x）在 xt 处取得极小值，所以 ta1； 从而 h1（a1）e a1a20 令 （a）e a1a2，a0， （a）在（，0）是减函数，且 （1）0，所以 a1，从而， 经验证知 h1（x）ex+x2x+1 在 x0 处取得极小值，所以 3当 a0 时，h2（x）ex （x+1）20，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符 综上所述：或， a0，由结论可知，f（x）ex与 g（x）x2 x+1， 易见 f（x）0，g（x）0， 故不等式 f（x）+g（x）m f（x）g（x）等价于：， 令 H（

41、x），则 H（x）maxm x1，H（x）单调递减， H（x）maxH（1）+1，从而 m 第 21 页（共 25 页） 【点评】本题考查了函数的新定义问题，函数的极值问题以及恒成立问题，是一道综合 性比较强的题目，属于难题 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满（本小题满分分 1

42、0 分）分） 21 （10 分）已知矩阵 M满足：Maiiai，其中 i（i1，2）是互不相等的实常数， ai（i1，2）是非零的平面列向量，11，a2，求矩阵 M 【分析】由题意 1，2是方程 f（）2ab0 的两根， 由 11 得 ab1，由 Ma22a2得2， 求得，再由 12求得 a、b 的值即可 【解答】解：由题意，1，2是方程 f（）2ab0 的两根， 因为 11，所以 ab1； 又因为 Ma22a2，所以2， 从而， 所以， 因为 12，所以 21，从而 ab1， 故矩阵 M 【点评】本题考查了矩阵变换的应用问题，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本

43、小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：，曲线 C2：（ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）曲线 C3：（t 为参数，t0，）分别交 C1，C2于 A，B 两点，当 取何值时，取得最大值 【分析】 （）利用 xcos，ysin，x2+y22，求曲线 C1，C2的极坐标方程； 第 22 页（共 25 页） （） ，即可得出结论 【解答】解： （）因为 xcos，ysin，x2+y22，C1的极坐标方程为 ， C2的普通方程为 x2+（y1）21，即 x2+y22y0，对应极坐标方程为 2sin （）曲线 C3的极坐标方程为 （0，） 设 A（1，） ，B（2，） ，则，22sin， 所以 ， 又， 所以当，即时，取得最大值 【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属 于中档题 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0）及点 M（2，0）