1、第 1 页（共 31 页）2017 年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 是（ ）A整数 B无理数 C有理数 D自然数2下列式子正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 B （a 2） 3=a5 Ca+2b=2ab D （ab） 2=a2b23人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（ ）A0.77 105m B0.7710 6m C7.7 105m D7.710 6m4下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D5如图，在O 中，弦 ABCD，若ABC=40 ，则 BOD=（ ）A80 B50 C40
2、 D206无论 m 为何值，点 A（m ，52m）不可能在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7如图，在ABC 中， CAB=70，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置，使得 CCAB，则BAB的度数是（ ）第 2 页（共 31 页）A70 B35 C40 D508方程 x2 +1=4x 的正数根的取值范围是（ ）A0 x1 B1x2 C2x3 D3x4二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）916 的算术平方根是 10分解因式：2x 28= 11当 x= 时，分式 无意义12仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示：年龄组 12 岁 13 岁
3、 14 岁 15 岁参赛人数 5 19 13 13则全体参赛选手年龄的中位数是 岁13若 a+b=2，则代数式 32a2b= 14一个圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 120的扇形，则这个圆锥的高为 15如图，直线 AlABB 1CC 1，若 AB=8，BC=4，A 1B1=6，则线段 A1C1 的长是 16关于的一元二次方程 kx2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 17如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 第 3 页（共 31 页）18如图，Rt ABC 中，ACB=90，CM 为 AB
4、 边上的中线，ANCM，交 BC于点 N若 CM=3，AN=4，则 tanCAN 的值为 三、解答题（84+104 +122=96 分）19 （1）计算：2 2+ sin45|1 |（2）解不等式组： 20先化简，再求值： （1 ） ，其中 m 满足一元二次方程m24m+3=021 “低碳环保，你我同行”仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D 从未使用将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本
5、次活动共有 位市民参与调查；第 4 页（共 31 页）（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有 26 万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？22我校“文化氧吧” 有 A、B、C 、D 四本书是小明想拜读的，但他现阶段只打算选读两本（1）若小明已选 A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中 C 的概率是 ；（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中 A、C 两本的概率23已知：如图，四边形 ABCD 和四边形 AECF 都是矩形， AE 与 BC 交于点M，CF 与 AD 交于点 N（1）求证：ABMCDN ；（2）矩形 ABCD 和矩形 AECF 满足
6、何种关系时，四边形 AMCN 是菱形，证明你的结论24甲、乙两个公司为某敬老院各捐款 300000 元已知甲公司的人数比乙公司的人数多 20%，乙公司比甲公司人均多捐款 20 元则甲、乙两公司各有多少元？25在ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O 与 AC 交于点 D，过点 D 作DFBC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F（）如图，求证直线 DE 是O 的切线；（）如图，作 DGAB 于 H，交O 于 G，若 AB=5，AC=8，求 DG 的长第 5 页（共 31 页）26 如图，已知ABM=37，AB=20 ，C 是射线 BM 上一点（1）求点 A 到 BM 的距离；（2）在下列
7、条件中，可以唯一确定 BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号）AC=13 ； tanACB= ；连接 AC，ABC 的面积为 126（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求 BC（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan37 0.75）27阅读下面材料：实际问题：如图（1） ，一圆柱的底面半径为 5 厘米，BC 是底面直径，高 AB 为5 厘米，求一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线解决方案：路线 1：侧面展开图中的线段 AC，如图（2）所示，设路线 l 的长度为 l1：则 l12=AC2=AB2+BC2=52+（5） 2=2
8、5+252；路线 2：高线 AB+底面直径 BC，如图（1）所示设路线 2 的长度为 l2：则 l22=（AB +BC） 2=（5+10） 2=225为比较 l1，l 2 的大小，我们采用“ 作差法”：第 6 页（共 31 页）l 12l22=25（ 28）0l 12l 22l 1l 2，小明认为应选择路线 2 较短（1）问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1 厘米，高AB 为 5 厘米 ”请你用上述方法帮小亮比较出 l1 与 l2 的大小：（2）问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r 厘米时，高为 h厘米，蚂蚁从 A 点出发沿圆
9、柱表面爬行到点 C，当 满足什么条件时，选择路线 2 最短？请说明理由（3）问题解决：如图（3）为 2 个相同的圆柱紧密排列在一起，高为 5 厘米，当蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径 r （注：按上面小明所设计的两条路线方式） 28先让我们一起来学习方程 m2+1= 的解法：解：令 m2=a，则 a+1= ，方程两边平方可得， （a+1） 2=a+3解得 a1=1，a 2=2，m 20m 2=1m=1点评：类似的方程可以用“整体换元” 的思想解决不妨一试：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+1 经过点 A（4，3） ，顶点
10、为点 B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于 y 轴的直线，过P 作 PHl，垂足为 H，连接 PO（1）求抛物线的解析式；第 7 页（共 31 页）（2）当 P 点运动到 A 点处时，通过计算发现：PO PH （填“”、 “”或“=”）；当 P 点在抛物线上运动时，猜想 PO 与 PH 有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当PHO 为等边三角形时，求点 P 坐标；（4）如图 2，设点 C（1， 2） ，问是否存在点 P，使得以 P、O、H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由第 8 页（共 31 页）2017 年江苏省扬州市仪
11、征市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 是（ ）A整数 B无理数 C有理数 D自然数【考点】实数【分析】根据有理数的定义，可得答案【解答】解： 是有理数，故选：C2下列式子正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 B （a 2） 3=a5 Ca+2b=2ab D （ab） 2=a2b2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项【分析】根据整式的加法和幂的乘方、积的乘方逐一判断即可得【解答】解：A、a 2 与 a3 不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、 （a 2） 3=a6，故此选项错误；C、 a 与 2b 不是同类项，不能合并，故此选项错误；D、 （ab）
12、 2=a2b2，故此选项正确；故选：D3人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（ ）A0.77 105m B0.7710 6m C7.7 105m D7.710 6m【考点】科学记数法表示较小的数【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为第 9 页（共 31 页）a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000 007 7=7.7106m故选 D4下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【
13、分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确故选：D5如图，在O 中，弦 ABCD，若ABC=40 ，则 BOD=（ ）A80 B50 C40 D20【考点】圆周角定理【分析】先根据平行线的性质得BCD=ABC=40，然后根据圆周角定理求解【解答】解：ABCD，BCD=ABC=40，BOD=2BCD=80第 10 页（共 31 页）故选 A6无论 m 为何值，点 A（m ，52m）不可能在（ ）A第一象限
14、B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】点的坐标【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+， ） 【解答】解：当 m0 时，52m 0 ，点 A（m，52m）在第二象限，当 0m 时，点 A（m，52m）在第一象限，当 m 时，点 A（m，5 2m）在第四象限故选：C7如图，在ABC 中， CAB=70，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置，使得 CCAB，则BAB的度数是（ ）A70 B35 C40 D50【考点】旋转的性质【分析】根据旋转的性质得 AC=AC，BAB=CAC，再根据等腰三角形的性质得ACC= AC
15、C，然后根据平行线的性质由 CCAB 得ACC=CAB=70，则ACC= ACC=70，再根据三角形内角和计算出CAC=40，所以BAB=40【解答】解：ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置，AC=AC，BAB=CAC，ACC= ACC，第 11 页（共 31 页）CCAB，ACC= CAB=70，ACC= ACC=70，CAC=180270=40，BAB=40 ，故选：C8方程 x2 +1=4x 的正数根的取值范围是（ ）A0 x1 B1x2 C2x3 D3x4【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】方程可以化成 y1=x2+4x+1 和 y2= 图象在第一象限内的交点问题，然后结合图
16、象即可求解【解答】解：方程 x2 +1=4x 即 x2+4x+1= 函数 y1=x2+4x+1 和 y2= 的大体图象是：当 x=1 时，y 1=x2+4x+1=6，y 2= =10，此时 y1y 2，即 1a，当 x=2 时，y 1=4+8+1=13，y 2=5，此时 y1y 2，则 a2，则 a 在 1 与 2 之间，即 1a2即方程 x2 +1=4x 的正数根的取值范围是 1x2故选 B第 12 页（共 31 页）二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）916 的算术平方根是 4 【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果【解答】解：4 2=16， =4故答案为：410
17、分解因式：2x 28= 2（x+2） （x 2） 【考点】因式分解提公因式法【分析】观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案【解答】解：2x 28=2（x+2） （x 2） 11当 x= 2 时，分式 无意义【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式无意义的条件可得 x+2=0，再解即可【解答】解：由题意得：x+2=0 ，解得：x=2，故答案为：2第 13 页（共 31 页）12仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示：年龄组 12 岁 13 岁 14 岁 15 岁参赛人数 5 19 13 13则全体参赛选手年龄的中位数是 14 岁【考点】中位数【分析】首先确定本次跳绳
18、比赛的参赛人数，根据人数的奇偶性确定中位数落在那个年龄段，写出这个年龄即可【解答】解：本次比赛一共有：5+19+13+13=50 人，中位数是第 25 和第 26 人的年龄的平均数，第 25 人和第 26 人的年龄均为 14 岁，全体参赛选手的年龄的中位数为 14 岁故答案为：1413若 a+b=2，则代数式 32a2b= 1 【考点】代数式求值【分析】把 a+b 看作一个整体，代入代数式进行计算即可得解【解答】解：a+b=2，3 2a2b=32（a+b） ，=322，=34，=1故答案为：114一个圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 120的扇形，则这个圆锥的高为 2 【考点】圆锥的计算
19、第 14 页（共 31 页）【分析】易得扇形的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径，根据母线长为 3，利用勾股定理即可求得圆锥的高【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为： =2，圆锥的底面半径为 22=1，该圆锥的高为： =2 故答案为：2 15如图，直线 AlABB 1CC 1，若 AB=8，BC=4，A 1B1=6，则线段 A1C1 的长是 9 【考点】平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解【解答】解：A lABB 1CC 1， = ，AB=8，BC=4，A 1B1=6，B 1C1=3，A 1C1=6+3=9故答案为：916关于的一元二次方
20、程 kx2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k且 k0 第 15 页（共 31 页）【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程 kx2x+1=0 有两个实数根，得出 0，根据 k0 从而得出 k 的取值范围【解答】解：关于的一元二次方程 kx2x+1=0 有两个实数根，=b 24ac=14k0，级的 k ，k0，k 的取值范围是 k 且 k0故答案为 k 且 k0 17如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是 7 【考点】多边形内角与外角【分析】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形
21、为 n 个，则围成的多边形为正n 边形，利用正五边形的内角计算出正 n 边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到（n2）180=n ，再解方程求出 x 即可【解答】解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为 n 个，所以（n2）180=n，解得 n=10，所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为 7故答案为 718如图，Rt ABC 中，ACB=90，CM 为 AB 边上的中线，ANCM，交 BC于点 N若 CM=3，AN=4，则 tanCAN 的值为 第 16 页（共 31 页）【考点】解直角三角形【分析】根据直角三角形的性质得到 AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到B= MCB
22、，根据余角的性质得到MCB=CAN，推出CANABC，根据相似三角形的性质得到 = = ，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：ACB=90，CM 为 AB 边上的中线，AB=2CM=6，B= MCB，ANCM，MCB= CAN，B= CAN，CAN CBA， = = ，tanCAN= = 故答案为： 三、解答题（84+104 +122=96 分）19 （1）计算：2 2+ sin45|1 |（2）解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】 （1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝第 17 页（共 31 页）对值分别
23、求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：（1）原式= +2 （ 1）= +2 +1= ；（2）解不等式得：x3，解不等式得：x0，不等式组的解集为 x 320先化简，再求值： （1 ） ，其中 m 满足一元二次方程m24m+3=0【考点】分式的化简求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到 m 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式= = = ，由 m24m+3=0，变形得：（ m1） （m 3）=0 ，解得：m=1（不合题意，舍去）或 m=3，则当 m=3
24、 时，原式 = 第 18 页（共 31 页）21 “低碳环保，你我同行”仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D 从未使用将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 200 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有 26 万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】 （1）根据 D 类人数除以 D 所
25、占的百分比，可得答案；（2）根据抽测人数乘以 B 类所占的百分比，C 类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案【解答】解：（1）本次活动共参与的市民 3015%=200 人，故答案为：200；（2）B 的人数有 20028%=56 人，C 的人数有 20052%=104 人，A 的人数有 2005610430=10 人，补全条形统计图如图：第 19 页（共 31 页）；（3）26 （128%52%15%）=1.3（万人） ，答：每天都用公共自行车的市民约有 1.3 万人22我校“文化氧吧” 有 A、B、C 、D 四本书是小明想拜读的，但他现阶段
26、只打算选读两本（1）若小明已选 A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中 C 的概率是 ；（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中 A、C 两本的概率【考点】列表法与树状图法【分析】 （1）由小明购买 A 书，再从其余三本书中随机选一款，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中 A、C 两本的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）小明购买 A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中 C 的概率是： ，故答案为： ；（2）画树状图得：第 20 页（共 31 页）一共有 12 种可能出现的结果，它
27、们都是等可能的，符合条件的有两种，P（选中 AC）= = 答：选中 A、C 两本的概率是 23已知：如图，四边形 ABCD 和四边形 AECF 都是矩形， AE 与 BC 交于点M，CF 与 AD 交于点 N（1）求证：ABMCDN ；（2）矩形 ABCD 和矩形 AECF 满足何种关系时，四边形 AMCN 是菱形，证明你的结论【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】 （1）利用矩形的性质结合平行四边形的判定于性质得出 AM=CN，进而得出 RtABMRtCDN；（2）利用全等三角形的判定得出ABMAFN（ASA） ，进而得出四边形AMCN 是菱形【解答】 （1）证明：四
28、边形 ABCD 是矩形，B= D=90，AB=CD，ADBC，四边形 AECF 是矩形，AE CF ，四边形 AMCN 是平行四边形，AM=CN，在 RtABM 和 RtCDN 中， ，RtABMRtCDN（HL） ；第 21 页（共 31 页）（2）解：当 AB=AF 时，四边形 AMCN 是菱形，理由：四边形 ABCD、AECF 是矩形，B= BAD=EAF=F=90 ，BADNAM=EAFNAM，即BAM=FAN，在ABM 和 AFN 中BAM=FAN，AB=AF ，B=F ，ABM AFN（ASA） ，AM=AN，由（1）知四边形 AMCN 是平行四边形，平行四边形 AMCN 是菱形2
29、4甲、乙两个公司为某敬老院各捐款 300000 元已知甲公司的人数比乙公司的人数多 20%，乙公司比甲公司人均多捐款 20 元则甲、乙两公司各有多少元？【考点】分式方程的应用【分析】利用等量关系：甲公司的人数=乙公司的人数（1+20%） 根据这个等量关系可得出方程求解【解答】解：设甲公司人均捐款 x 元，则乙公司人均捐款 x+20 元，根据题意得：= （1+20%）第 22 页（共 31 页）解得：x=100经检验 x=100 是原方程的根，故 x+20=100+20=120答：甲公司人均捐款 100 元，乙公司人均捐款 120 元25在ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O 与 AC
30、交于点 D，过点 D 作DFBC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F（）如图，求证直线 DE 是O 的切线；（）如图，作 DGAB 于 H，交O 于 G，若 AB=5，AC=8，求 DG 的长【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理【分析】 （）连接 OD，由 AB=BC，OA=OD ，得到 A= C，A= ADO ，则C=ADO，得到 ODBC；而 DFBC，则ODE=90，根据切线的判定定理即可得到结论；（）连接 BD，AB 是O 的直径，根据圆周角定理的推论得到ADB=90而AB=BC，则 AD=DC=4在 RtADB 中，利用勾股定理可计算出 BD=3，再利用等积法得到 ABD
31、H=ADDB，可计算出 DH，然后根据垂径定理得到 DG=2DH【解答】 （）证明：连接 OD，如图，AB=BC，A=C OA=OD，A=ADO C=ADO 第 23 页（共 31 页）ODBC DFBC，ODE=90 直线 DE 是 O 的切线；（）解：连接 DB，AB 是O 的直径，ADB=90 AB=BC，AD=DCAC=8，AD=4 在 RtADB 中，BD= = =3，DGAB 于 H，由三角形面积公式，得 ABDH=ADDBDH= = ，ABDG，DG=2DH= 26 如图，已知ABM=37，AB=20 ，C 是射线 BM 上一点第 24 页（共 31 页）（1）求点 A 到 BM
32、 的距离；（2）在下列条件中，可以唯一确定 BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号）AC=13 ； tanACB= ；连接 AC，ABC 的面积为 126（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求 BC（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan37 0.75）【考点】解直角三角形【分析】 （1）作 ADBC，由 AD=ABsinB 可得；（2）根据 AC 的长大于点 A 到直线的距离可判断，利用 AAS 可判断，根据平行线间的距离可判断；（3）：先求得 BD=ABcosB=16，再求得 CD= =5 即可；：作CEAB，根据面积得出 CE=12.6，由 BC= 可得答
33、案【解答】解：（1）作 ADBC 于 D，则ADB=90 在 RtABD 中，ADB=90，AD=ABsinB=12；（2）以点 A 为圆心、13 为半径画圆，与 BM 有两个交点，不唯一；由 tanACB= 知ACB 的大小确定，在ABC 中，ACB、B 及 AB 确定，此时的三角形唯一；AB 的长度和三角形的面积均确定，则点 C 到 AC 的距离即可确定，则 BM 上的点 C 是唯一的；第 25 页（共 31 页）故答案为：；（3）方案一：选，由（1）得，AD=12 ，BD=ABcosB=16，在 RtACD 中， ADC=90，CD= =5，BC=BD+CD=21方案二：选，作 CEAB
34、 于 E，则BEC=90，由 SABC = ABCE 得 CE=12.6，在 RtBEC 中，BEC=90 ，BC= =2127阅读下面材料：实际问题：如图（1） ，一圆柱的底面半径为 5 厘米，BC 是底面直径，高 AB 为5 厘米，求一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线解决方案：路线 1：侧面展开图中的线段 AC，如图（2）所示，第 26 页（共 31 页）设路线 l 的长度为 l1：则 l12=AC2=AB2+BC2=52+（5） 2=25+252；路线 2：高线 AB+底面直径 BC，如图（1）所示设路线 2 的长度为 l2：则 l22=（AB
35、+BC） 2=（5+10） 2=225为比较 l1，l 2 的大小，我们采用“ 作差法”：l 12l22=25（ 28）0l 12l 22l 1l 2，小明认为应选择路线 2 较短（1）问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1 厘米，高AB 为 5 厘米 ”请你用上述方法帮小亮比较出 l1 与 l2 的大小：（2）问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r 厘米时，高为 h厘米，蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C，当 满足什么条件时，选择路线 2 最短？请说明理由（3）问题解决：如图（3）为 2 个相同的圆柱紧密排列在一起，高为
36、5 厘米，当蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径 r （注：按上面小明所设计的两条路线方式） 【考点】平面展开最短路径问题；几何体的展开图【分析】 （1）由阅读材料，可知路线 1：l 12=AC2=AB2+BC2=高 2+底面周长一半2；路线 2：l 22=（高线 AB+底面直径 BC） 2；将数据代入即可求出 l12、l 22 的值，再运用差比法即可得出 l1l 2；（2）先根据阅读材料用含 h、r 的代数式分别表示 l12、l 22，再由 l12l 22 列出关于 h、r 的不等式，解不等式即可求解；（3）先根据阅读材料将 h=5 代入，用含 r
37、 的代数式分别表示 l12、l 22，再由l12=l22 列出关于 r 的方程，解方程即可【解答】解：（1）如图（2） 圆柱的底面半径为 1 厘米，高 AB 为 5 厘米，路线 1：l 12=AC2=AB2+BC2=25+2；第 27 页（共 31 页）路线 2：l 2=AB+BC=5+2=7，l 22=（AB+BC ） 2=49l 12l22=25+249=2240，l 12l 22，l 1l 2，选择路线 1 较短；（2）如图（2） 圆柱的底面半径为 r 厘米，高为 h 厘米，路线 1：l 12=AC2=AB2+BC2=h2+（r） 2=h2+2r2，路线 2：l 22=（ AB+BC）
38、2=（h+2r） 2，l 12l22=h2+（r ） 2（h+2r） 2=r（ 2r4r4h）=r（ 24）r4h；r 恒大于 0，当（ 24）r 4h0，即 时，l 12l 22，即此时选择的路 2 最短；（3）如图（3） ，圆柱的高为 5 厘米l12=AC2=AB2+BC2=25+（2r） 2，l22=（AB+BC） 2=（5+4r） 2，由题意，得 25+（2r ） 2=（5+4r） 2，解得 r= 即当圆柱的底面半径 r 为 厘米时，蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C点的两条线段相等第 28 页（共 31 页）28先让我们一起来学习方程 m2+1= 的解法：解：令 m2=a，则 a
39、+1= ，方程两边平方可得， （a+1） 2=a+3解得 a1=1，a 2=2，m 20m 2=1m=1点评：类似的方程可以用“整体换元” 的思想解决不妨一试：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+1 经过点 A（4，3） ，顶点为点 B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于 y 轴的直线，过P 作 PHl，垂足为 H，连接 PO（1）求抛物线的解析式；（2）当 P 点运动到 A 点处时，通过计算发现：PO = PH（填“”、 “”或“=”） ；当 P 点在抛物线上运动时，猜想 PO 与 PH 有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当PHO 为等边三角
40、形时，求点 P 坐标；（4）如图 2，设点 C（1， 2） ，问是否存在点 P，使得以 P、O、H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）将点 A 的坐标代入抛物线的解析式可求得 a 的值，于是可得到抛物线的解析式；（2）依据两点间的距离公式可求得 PO 与 PH 的长，然后可得到问题的答案；设点 P 坐标（ m， m2+1） ，然后用含 m 的式子表示出 PH 和 PO 的长度，从而可得到问题的答案；第 29 页（共 31 页）（3）依据等边三角形的性质可得到 OP=OH，然后利用两点间的距离公式可得到关于 m 的
41、方程，然后解得 m 的值即可；（4）先依据两点间的距离公式可求得 BC、AC 、AB 的值，然后依据相似三角形的性质可得到 = ，设点 P（m， m2+1） ，然后列出关于 m 的比例式，从而可求得 m 的值【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+1 经过点 A（4，3） ，3=16a+1，a= ，抛物线解析式为 y= x2+1，顶点 B（0，1） （2）当 P 点运动到 A 点处时PO=5，PH=5，PO=PH故答案为：=结论：PO=PH理由：设点 P 坐标（m， m2+1） ，PH=2（ m2+1）= m2+1PO= = m2+1，PO=PH（3）PHO 为等边三角，OP=OH由两点间的距离公式可知：OH= m2+1= ，解得：m=2 ，P（2 ，2） 、 （2 ， 2） 第 30 页（共 31 页）（4）BC= = ，AC= = ，AB= =4 BC=AC，PO=PH，以 P，O，H 为顶点的三角形与ABC 相似，PH 与 BC， PO 与 AC 是对应边， = ，设点 P（m， m2+1） ， = ，解得 m=1点 P 坐标（ 1， ）或（1， ）
