1、已知函数 ylg（x+1）的定义域为集合 A，集合 B1，0，1，2，则 AB （ ） A1 B1，2 C0，1，2 D1，0，1，2 2 （5 分）设 z+2+i，则复数 z 的虚部为（ ） A2 B2i C1 Di 3 （5 分）已知向量 （1，1） ，2 + （4，3） ， （x，2） ，若 ，则 x 的值为 （ ） A4 B4 C2 D2 4 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 2S3S4+S5，a11，则 a6（ ） A1 B32 C64 D32 5 （5 分）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称
2、空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 6 （5 分）设函数 f（x）sinxcosx，若对于任意的 xR，都有 f（2x）f（x） ，则 sin （2）（ ） A B C D 第 2 页（共 26 页） 7 （5 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形，E 为弧的中点
3、，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为（ ） A B C D 8 （5 分） 设函数 f （x） +a， 若 f （x） 为奇函数， 则不等式 f （x） 1 的解集为 （ ） A （0，1） B （，ln3） C （0，ln3） D （0，2） 9 （5 分）已知圆 O 的半径为 1，在圆 O 内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大 于的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）数学名著九章算术中有如下问题： “今有刍甍（mng） ，下广三丈，袤（m o）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为： “今有底面为矩形的屋 脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4
4、丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？” 现 将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单 位：立方丈） （ ） A5.5 B5 C6 D6.5 11 （5 分）已知双曲线1（a0，0）的右焦点为 F，虚轴的上端点为 B，P 为 第 3 页（共 26 页） 左支上的一个动点，若PBF 周长的最小值等于实轴长的 3 倍，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）x+a 无实根，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （，0）（，1） B （1，0） C （0，） D （0，1） 二、
5、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 14 （5 分）某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从 6 名获得一等奖的同学中选出 3 名同 学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数 为 （用数字作答） 15 （5 分）记数列an的前 n 项和为 Sn，若 Snn2+n，则数列的前 14 项的 和等于 16 （5 分）抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当 取得最小值时，直线 AP 的方程为
6、 三、三、解答题：共解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每一个试题考生都必须作答第每一个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB3BD，cosBAD （1）求 cosABD； （2）若 AD4，CD3，求 BC 18 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ACC1A1平面 ABC，AC2，AA1AB4， BAC120，ACC16
7、0 （1）证明：AC1BC； 第 4 页（共 26 页） （2）求直线 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值 19 （12 分）已知平行四边形 OMAN 的三个顶点 M，A，N 都在椭圆 C：+y21，O 为坐 标原点 （1）当点 A 的坐标为（1，）时，求直线 MN 的方程； （2）证明：平行四边形 OMAN 的面积为定值 20 （12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量 超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出 1kg（不足 1kg 时按 1kg 计算）需再收 5 元公司从承揽过的包裹中，随机抽取
8、 100 件，其重量统计如下： 包裹重量（单位：kg） （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司又随机抽取了 60 天的揽件数，得到频数分布表如下： 揽件数 0，100） 100，200） 200，300） 300，400） 400，500 天数 6 6 30 12 6 以记录的 60 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司 3 天中恰有 2 天揽件数在100，400）的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； （3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费 用，目前前台有工作人
9、员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，每人每天工资 100 元，公 司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望， 并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值 作代表） 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx+x2+（a+2）x （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a0，若不相等的两个正数 x1，x2满足 f（x1）f（x2） ，证明：f（） 第 5 页（共 26 页） 0 (二二)选考题选考题:共共 10 分分,请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所
10、做的第一题计则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，倾斜角 为 的直线 l 经过点 P（0，） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2）若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围 第 6 页（共 26
11、 页） 2019 年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有项是符合题目要求的有项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知函数 ylg（x+1）的定义域为集合 A，集合 B1，0，1，2，则 AB （ ） A1 B1，2 C0，1，2 D1，0，1，2 【分析】求出集合 A，结合集合的交集定义进行求解即可 【解答】解：由 x+10 得 x1， 即函数的定义域
12、为 A（1，+） ， B1，0，1，2， AB0，1，2， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合 A 的等价条件是解决本题的关键 2 （5 分）设 z+2+i，则复数 z 的虚部为（ ） A2 B2i C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z+2+i， 复数 z 的虚部为 2 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知向量 （1，1） ，2 + （4，3） ， （x，2） ，若 ，则 x 的值为 （ ） A4 B4 C2 D2 【分析】可求出，从而根据得出 x+40，解出 x4 【解答
13、】解：； 第 7 页（共 26 页） ； x+40； x4 故选：B 【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系 4 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 2S3S4+S5，a11，则 a6（ ） A1 B32 C64 D32 【分析】设等比数列an的公比为 q1，根据 2S3S4+S5，a11，利用求和公式即可得 出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q1，2S3S4+S5，a11， 2+， 化为：q2+q20，解得 q2 则 a6（2）532 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 5 （5 分）AQI
14、 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 【分析】对 4 个选项分别进行判断，可得结论 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，
15、85，77，67，72，92，故 A 正 确； 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日，AQI 指数值为 67，故 B 正确； 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是99.5，故 C 不正确； 从 4 日到 9 日，AQI 数值越来越低，空气质量越来越好，故 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查 AQI 指数值的统计数据的分析，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 6 （5 分）设函数 f（x）sinxcosx，若对于任意的 xR，都有 f（2x）f（x） ，则 sin （2）（ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式化积，结合 f（2x）f（x）求得 2，代入 sin（2
16、） ， 再由诱导公式求解 【解答】解：f（x）sinxcosx， 由 f（2x）f（x） ，得， ，kZ（舍） ，或，kZ 则 2，kZ sin（2）sin（）cos 故选：B 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角差的正弦，是基础题 7 （5 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形，E 为弧的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为（ ） 第 9 页（共 26 页） A B C D 【分析】由题意知异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD，在EAD 中可求角 【解答】 解：取 BC 的中点 H，连接 EH，AH，EHA90，设 AB2， 则 BHHE1，AH，
17、所以 AE， 连接 ED，ED，因为 BCAD， 所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD， 在EAD 中 cosEAD， 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成的角，属于简单题 8 （5 分） 设函数 f （x） +a， 若 f （x） 为奇函数， 则不等式 f （x） 1 的解集为 （ ） A （0，1） B （，ln3） C （0，ln3） D （0，2） 【分析】 根据题意， 由奇函数的性质可得 f （x） +f （x） 0， 即 （+a） + （+a） 1+2a0，解可得 a，即可得 f（x）+，据此分析函数 f（x）的单调性 以及值域，结合解析式可得 f（ln3）1，据此分析
18、可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）+a，其定义域为x|x0 若 f（x）为奇函数，则 f（x）+f（x）0， 第 10 页（共 26 页） 即（+a）+（+a）1+2a0，解可得 a， 则 f（x）+ 又由 yex1 在（0，+）为增函数其 y0，则 f（x）+在（0，1）上为减 函数且 f（x）0， 则 f（x）在（，0）上减函数且 f（x）0， 又由 f（ln3）+1， 则 f（x）1f（x）f（ln3） ， 则有 0xln3，即不等式的解集为（0，ln3） ； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是利用奇函数的性质求 出 a 的值，属于基础题 9
19、 （5 分）已知圆 O 的半径为 1，在圆 O 内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大 于的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意求得 M 点到 O 的距离的范围，再由测度比是面积比得答案 【解答】解：若过点 M 的所有弦的长度都大于， 则 OM， 则 M 点落在以 O 为圆心，以为半径的圆内， 由测度比是面积比可得，过点 M 的所有弦的长度都大于的概率为 故选：D 【点评】本题考查几何概型，明确过 M 且与 OM 垂直的弦长最短是关键，是基础题 10 （5 分）数学名著九章算术中有如下问题： “今有刍甍（mng） ，下广三丈，袤（m o）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几
20、何？”其意思为： “今有底面为矩形的屋 脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？” 现 将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单 位：立方丈） （ ） 第 11 页（共 26 页） A5.5 B5 C6 D6.5 【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，结合图中数据计算该几何 体的体积 【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的体积为 VV三棱柱2V三棱锥31423115（立方丈） 故选：B 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应
21、用问题，是基础题 11 （5 分）已知双曲线1（a0，0）的右焦点为 F，虚轴的上端点为 B，P 为 左支上的一个动点，若PBF 周长的最小值等于实轴长的 3 倍，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【分析】由题意求得 B，F 的坐标，设出 F，运用双曲线的定义可得|PF|PF|+2a，则 BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|PB|+|PF|+2a+，运用三点共线取得最小值，可得 a，b，c 的关系式，由 a，b，c 的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可得 B（0，b） ，F（c，0） ，设 F（c，0） ， 由双曲线的定义可得|PF|PF|2a，
22、 |PF|PF|+2a， 第 12 页（共 26 页） |BF|BF|， 则BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|PB|+|PF|+2a+|BF| 2|BF|+2a， 当且仅当 B，P，F共线，取得最小值，且为 2a+2， 由题意可得 6a2a+2， 即 4a2b2+c22c2a2，即 5a22c2， 则 e， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取 得最小值，考查运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）x+a 无实根，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （，0）（，1） B （1，0） C
23、（0，） D （0，1） 【分析】由关于 x 的方程 f（x）x+a 无实根等价于函数 yf（x）的图象与直线 yx+a 无交点， 由利用导数求函数图象的切线问题， 设直线 yx+a 与 f （x） （x0） 切与点 P （x0， y0） ，由 f（x），求得切线方程为：yx1， 由图可知：函数 yf（x）的图象与直线 yx+a 无交点时实数 a 的取值范围为实数 a 的 第 13 页（共 26 页） 取值范围为1a0，得解 【解答】解：因为函数 f（x）， 关于 x 的方程 f（x）x+a 无实根等价于函数 yf（x）的图象与直线 yx+a 无交点， 设直线 yx+a 与 f（x）（x0）切
24、与点 P（x0，y0） ， 由 f（x）， 由已知有：，解得 x01，则 P（1，0） ， 则切线方程为：yx1， 由图知：函数 yf（x）的图象与直线 yx+a 无交点时实数 a 的取值范围为实数 a 的取 值范围为1a0， 故选：B 【点评】本题考查了方程的解的问题与函数图象的交点问题及利用导数求函数图象的切 线问题，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 14 【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形找出最优解，计算目标函数的最大值 第
25、14 页（共 26 页） 【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示， 由图形知，当目标函数 zx+2y 过点 A 时取得最大值， 由，解得 A（2，6） ， 代入计算 z2+2614， 所以 zx+2y 的最大值为 14 故答案为：14 【点评】本题考查了利用数形结合法求简单的线性规划应用问题，是基础题 14 （5 分）某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从 6 名获得一等奖的同学中选出 3 名同 学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为 96 （用数字作答） 【分析】根据题意，第一步：先选 3 人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，第二步， 将 3 人排序，
26、由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：第一步：先选 3 人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有 C63C4320 416， 第二步，将 3 人排序，有 A336， 故不同发言顺序的种数为 16696 故答案为：96 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，正确分步是关键 第 15 页（共 26 页） 15 （5 分）记数列an的前 n 项和为 Sn，若 Snn2+n，则数列的前 14 项的 和等于 【分析】运用数列的递推式，可得 ann+1，由 裂项相消求和，计算可得所求和 【解答】解：Snn2+n，可得 a1S12， n2 时，anSnSn1n2+n（n1）2（n1）n+1， 上式对 n1
27、也成立， ， 则前 14 项的和为+ 故答案为： 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查裂项相消求和， 化简运算能力，属于中档题 16 （5 分）抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当 取得最小值时，直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 【分析】设 P 点的坐标为（4t2，4t） ，根据点与点的距离公式，可得（）2 1，再根据基本不等式求出 t 的值，即可求出直线 AP 的方程 【解答】解：设 P 点的坐标为（4t2，4t） ，F（1，0） ，A（1，0） |PF|2（4t21）2+16t216t4+8t2
28、+1 |PA|2（4t2+1）2+16t216t4+24t2+1 （） 2 111 1， 第 16 页（共 26 页） 当且仅当 16t2，即 t时取等号， 此时点 P 坐标为（1，2）或（1，2） ， 此时直线 AP 的方程为 y（x+1） ，即 x+y+10 或 xy+10， 故答案为：x+y+10 或 xy+10， 【点评】本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每一个试题考生都必须作答第每一个试题考生都必须作答第
29、 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB3BD，cosBAD （1）求 cosABD； （2）若 AD4，CD3，求 BC 【分析】 （1）设 BDx，则 AB3x，由 cosBAD，结合余弦定理可求 AD，然 后再由余弦定理，cosABD可求； （2）由 AD42x，可求 x2，进而由 cosCDBcosABD，CD3，BD 2，在BCD 中，由余弦定理可得，BC2BD2+DC22DBDCcosBDC 可求 BC 【解答】解： （1）设 BDx，则 AB3x，
30、 cosBAD 由余弦定理可得， 解可得，AD2x， 由余弦定理可得，cosABD； （2）AD42x， x2， cosCDBcosABD，CD3，BD2， 在BCD 中，由余弦定理可得，BC2BD2+DC22DBDCcosBDC 4+92239 BC3 第 17 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把图形中的问 题转化为数学问题 18 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ACC1A1平面 ABC，AC2，AA1AB4， BAC120，ACC160 （1）证明：AC1BC； （2）求直线 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值 【
31、分析】 （1）推导出 AC1AC，从而 AC1平面 ABC，由此能证明 AC1BC （2）以 A 为原点，AB 为 y 轴，AC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 直线 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值 【解答】证明： （1）在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ACC1A1平面 ABC， AC2，AA1AB4，BAC120，ACC160 AC12， CC12，AC1AC， 平面 ACC1A1平面 ABCAC， AC1平面 ABC，AC1BC 解： （2）以 A 为原点，AB 为 y 轴，AC1为 z 轴，建立空间直角坐标系， C（，1，0） ，B1（，5，2） ，B（
32、0，4，0） ，A（0，0，0） ， （2，6，2） ，（0，4，0） ，（，5，2） ， 设平面 ABB1A1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x2，得 （2，0，1） ， 设直线 CB1与平面 ABB1A1所成角为 ， 则 sin， 第 18 页（共 26 页） 直线 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 19 （12 分）已知平行四边形 OMAN 的三个顶点 M，A，N 都在椭圆 C：+y21，O 为坐 标原点 （1）当
33、点 A 的坐标为（1，）时，求直线 MN 的方程； （2）证明：平行四边形 OMAN 的面积为定值 【分析】 （1）根据点差法即可求出直线 MN 的方程， （2）将直线 MN 的方程代入椭圆方程，由向量的坐标运算，即可求得 A 点坐标，即可求 出整理得 4m22k2+1，利用韦达定理，弦长公式即可及点到直线的距离公式求得平行四 边形 OMAN 的面积 【解答】解： （1）点 A 的坐标为（1，） ， OA 的中点坐标为（，） ， 四边形 OMAN 为平行四边形， MN 的中点坐标为（，） ， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， x1+x21，y1+y2 第 19 页（共 26 页）
34、， 两式相减可得（x1+x2） （x1x2）+（y1+y2） （y1y2）0， 即（x1x2）+（y1y2）0， kMN， 直线 MN 的方程为 y（x） ，即 x+y10， 证明（2） ：设直线 MN 的方程为：ykx+m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，设 M（x1，y1） ， N（x2，y2） ， 将其代入+y21 得（2k2+1）x2+4kmx+2（m21）0，16k2m28（2k2+1） （m2 1）0 即 2k2+1m2， 又 x1+x2，x1x2， y1+y2k（x1+x2）+2m+2m， 四边形 OMPAN 为平行四边形 +（x1+x2，y1+y2）（，） 点 A 坐标为（，
35、） 点 A 在椭圆 C 上， +1， 整理得 4m22k2+1 |MN| 第 20 页（共 26 页） 点 O 到直线 MN 的距离为 d， SOMAN2|MN|d 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离 公式，韦达定理，弦长公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于难题 20 （12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量 超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出 1kg（不足 1kg 时按 1kg 计算）需再收 5 元公司从承揽过的包裹中，随机抽取 100 件，其重量统
36、计如下： 包裹重量（单位：kg） （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司又随机抽取了 60 天的揽件数，得到频数分布表如下： 揽件数 0，100） 100，200） 200，300） 300，400） 400，500 天数 6 6 30 12 6 以记录的 60 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司 3 天中恰有 2 天揽件数在100，400）的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； （3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费 用，目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽
37、件不超过 150 件，每人每天工资 100 元，公 司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望， 并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值 作代表） 【分析】 （1）由样本中包裹件数在100，400）内的天数求出频率，用频率估计概率，由 题意知随机变量 X 服从二项分布，由此求出对应的概率； （2） 列表求出样本中快递费用及包裹件数， 由此求出样本中每件快递收取费用的平均 值； 根据题意将题目中的天数转化为频率，若不裁员，计算公司平均每日利润的期望值； 第 21 页（共 26 页） 若裁员 1 人，计算公司平均每日利润的期
38、望值，比较得出结论 【解答】解： （1）样本中包裹件数在100，400）内的天数为 48，频率为， 可估计概率为， 未来 3 天中，包裹件数在100，400）间的天数 X 服从二项分布， 即 XB（3，） ，故所求概率为 P； （2）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单 位：kg） 1 2 3 4 5 快递费 （单位： 元） 10 15 20 25 30 包裹件数 43 30 15 8 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （1043+1530+2015+258+30 4）15（元） ， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元 根据题意及 （2） ， 揽件数每增加
39、 1， 可使前台工资和公司利润增加 155 （元） ， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 包裹件数（近 似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近 似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 Y 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 第 22 页（共 26 页） EY 500.1+1500.1+2
40、500.5+3500.2+4500.1260 故公司平均每日利润的期望值为 260531001000（元） ； 若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近 似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 Z 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EY 500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1235 故公司平均每日利润的期望值为 23552100975（元） 因 9751000，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利 【点评】本题考查了概率和离散型随机变量
41、的分布列及数学期望的应用问题，也考查了 二项分布应用问题，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx+x2+（a+2）x （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a0，若不相等的两个正数 x1，x2满足 f（x1）f（x2） ，证明：f（） 0 【分析】 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可判断， （2） 根据不相等的两个正数x1， x2满足f （x1） f （x2） ， 可得x2+x1+a+2， 再得到 f（）（ln） ，令t1， 构造函数 g（t）lnt，利用导数求出函数的最值即可证明 【解答】解： （1）f（x）+2x+（a+2），x0， 当 a0
42、 时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增， 当 a0 时，当 0x时，f（x）0，当 x时，f（x）0， f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 第 23 页（共 26 页） 证明（2）f（x1）f（x2） ， alnx1+x12+（a+2）x1alnx2+x22+（a+2）x2， a（lnx1+lnx2）x22x12+（a+2） （x2x1）（x2x1） （x2+x1+a+2） x2+x1+a+2， f（x）+2x+（a+2） ， f（）+x2+x1+a+2+ a（）（ln）（ ln） ， 不妨设 x2x10，则1， 要证明：f（）0，a0， 只要证ln0， 令t1， g
43、（t）lnt2lnt， g（t）0， g（t）在（1，+）上单调递减， g（t）g（1）ln10， 第 24 页（共 26 页） ln0， f（）0 【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，导数和函数的最值的关系，考查了运 算求解能力，转化与化归能力，考查了函数与方程的思想，分类讨论的思想，属于难题 (二二)选考题选考题:共共 10 分分,请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（
44、为参数） ，倾斜角 为 的直线 l 经过点 P（0，） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2）若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 【分析】 （1）由消去 得+y21，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ， （2）将直线 l 的参数方程代入到曲线 C 的方程后，根据参数的几何意义可得最大值 【解答】解： （1）由消去 得+y21， 所以曲线 C 的普通方程为+y21，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， （2）将直线 l 的参数方程（t 为参数）代入到+y21 中并整理得： （+sin2）t2+2tsin+10， 设 M，
45、N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1+t2，t1t2 0，t1，t2同号， 第 25 页（共 26 页） |PM|+|PN| |t1|+|t2| |t1+t2| ， （当且仅当 sin时取等） ， |PM|+|PN|的最大值为： 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，取并集即 可； （2）问题转化为|xa|2 即 x2ax+2 在0，3恒成立，求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）|x1|+2|x+1|， 若 f（x）4， x1 时，x1+2x+24，解得：x1，故 x1， 1x1 时，1x+2
