2020年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷（理科）（3月份）含详细解答

资源描述

1、设全集 UR， Ax|x2x60， Bx|yln （1x），则 A （UB）（） A1，3） B （1，3 C （1，3） D （2，1 2 （5 分）设（2+i）（3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位），其中 x，y 是实数，则|x+yi|等于（） A5 B13 C22 D2 3 （5 分）函数的部分图象大致为（） A B C D 4 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S6

2、9S3，S562，则 a1（） A B2 C D3 6 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果第 2 页（共 24 页）精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 7 （5 分）设 a，b 是

3、两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b 8 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x），且 f（x）3xf（2）2lnx，则曲线 f（x）在点（4，f（4））处切线的倾斜角为（） A B C D 9 （5 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1）f（x2） 4，则|x1x2|的最小值为（） A B C D 10 （5 分）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为： “金生水、

4、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（） A B C D 11 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交于点 M，若，则（） A B C D1 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四边形 BFD1E 一定是平行四边形；平面与平面 DBB1不可能垂直；四边形 BFD1E 的面积有最大值其中所有正确结论的序号为（）第 3 页

5、（共 24 页） A B C D 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）的展开式中 x2y2项的系数是 14 （5 分）已知实数 x，y，满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且，则数列的前 10 项的和是 16 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-

6、21 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a；（2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C平面 ABC，AA1AC，AC BC （1）证明：A1CAB1；（2）设 AC2CB，A1AC60，求二面角 C1AB1B 的余弦值第

7、 4 页（共 24 页） 19 （12 分）已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点 H （0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M，N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1，求实数 t 的值 20 （12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保

8、金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（）求 X 的分布列；（）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 21 （12 分）已知函数（1）若 f（x）lnx 在

9、1，+）上恒成立，求 a 的取值范围（2）证明：选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是（k 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为第 5 页（共 24 页）（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集；（2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求

10、实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷（理科）（年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷（理科）（3 月份）月份）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）设全集 UR， Ax|x2x60， Bx|yln （1x），则 A （UB）（） A1，3） B （1，3 C （1，3） D （2，1 【分析】可以求出集合 A，B，然

12、】本题主要考查了复数相等的定义，以及复数模长公式，是基础题 3 （5 分）函数的部分图象大致为（） A B 第 7 页（共 24 页） C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，又由当 x0 时，+，由排除法分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0，又由 f（x）f（x），即函数 f（x）为奇函数，排除 A、B，在区间（0，），f（x）0，且当 x0 时，+，排除 D；故选：C 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题 4 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（） A向右平

13、移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S69S3，S562，则 a1（） A B2 C D3 【分析】根据题意，分析可得等比数列an的公比 q1，进而由等比数列的通项公式第 8 页（共 24 页）可得9，解可得 q2，又由

14、 S531a162，解可得 a1的值，即可得答案【解答】解：根据题意，等比例数列an中，若 S69S3，则 q1，若 S69S3，则9，解可得 q38，则 q2，又由 S562，则有 S531a162，解可得 a12；故选：B 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前 n 项和的性质 6 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价层厚度为

15、0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【分析】由题意可得1e 7.60.8，两边取自然对数，则答案可求【解答】解：由题意可得，1e 7.60.8， ln27.60.8，即 6.080.6931，则 0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题 7 （5 分）设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条

16、件是（） A存在一条直线 a，a，a 第 9 页（共 24 页） B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b 【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的即可得解【解答】解：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A 不对；对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对；对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对；对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故 D 正确

17、故选：D 【点评】考查面面平行的判定定理，依据条件由定理直接判断，属于中档题 8 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x），且 f（x）3xf（2）2lnx，则曲线 f（x）在点（4，f（4））处切线的倾斜角为（） A B C D 【分析】利用函数的导数求出函数的解析式，然后求出切线的斜率，即可求解倾斜角【解答】解：函数 f（x）的导函数为 f（x），且 f（x）3xf（2）2lnx，可得 f（x）3f（2），可得 f（2），所以 f（x）， f（4）1，曲线 yf（x）在点（4，f（4））处切线的倾斜角为，tan1，故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，切

18、线的斜率以及倾斜角的关系，考查计算能力 9 （5 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1）f（x2） 4，则|x1x2|的最小值为（） A B C D 【分析】根据函数的对称性，利用 f（0）f（），建立方程求出 a 的值，然后利用第 10 页（共 24 页）辅助角公式求出 f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可【解答】解：f（x）的图象关于直线对称， f（0）f（），即asin（）cos（）a，得a，得 a1，则 f（x）sin2xcos2x2sin（2x）， f（x1）f（x2）4， f（x1）2，f（x2）2 或 f（x1）2，f（x2）4，

19、即 f（x1），f（x2）一个为最大值，一个为最小值，则|x1x2|的最小值为， T，，即|x1x2|的最小值为，故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出 a 的值以及利用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键 10 （5 分）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为： “金生水、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（） A B C D 【分析】可以先计算从 5 五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质相生的概率，再根据

20、对立事件的概率和为 1，即可得到所求【解答】解：从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共10 种，而相生的有 5 种，则抽到的两种物质不相生的概率 P1 故选：D 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查了对立事件的概率性质，属于基础题第 11 页（共 24 页） 11 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交于点 M，若，则（） A B C D1 【分析】如图，根据抛物线的定义，以及 2，可得|MA|OF|，即可求出结论【解答】解：如图：抛物线 C：x2y， F（0，），，|OF| |MA|OF| |MB|M

21、F|， |FN|3|FM| 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四边形 BFD1E 一定是平行四边形；第 12 页（共 24 页）平面与平面 DBB1不可能垂直；四边形 BFD1E 的面积有最大值其中所有正确结论的序号为（） A B C D 【分析】运用正方体的对称性即可判断；由平行平面的性质可得是正确的；当 E、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得正确；当 F 与 A 重合，当

22、E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，当 F 与 A 重合，当 E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，可得正确【解答】解：如图则：对于：由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，故正确；对于：因为平面 ABB1A1CC1D1D，平面 BFD1E平面 ABB1A1BF，平面 BFD1E 平面 CC1D1DD1E，BFD1E，同理可证：D1FBE，故四边形 BFD1E 一定是平行四边形，故正确；对于：当 E、 F 为棱中点时， EF平面 BB1D，又因为 EF平面 BFD1E，所以平面 BFD E平面 BBD，故不正确；对于：当 F 与 A 重

23、合，当 E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，故正确正确的是，故选：C 【点评】本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）的展开式中 x2y2项的系数是 420 第 13 页（共 24 页）【分析】由题意利用乘方的意义，组合数的计算公式，求得结果【解答】解：表示 8 个因式（1+2x）的乘积，要得到含 x2y2的项，需其中有 2 个因式取 2x，2 个因式取，其余的因式都取

24、1 故展开式中 x2y2项的系数为22420，故答案为：420 【点评】本题主要考查乘方的意义，组合的应用，属于中档题 14 （5 分）已知实数 x， y，满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为（4， 2）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义得到最优解，即可【解答】解：实数 x，y 满足的如图所示区域，把 y2x+z，平移，当直线经过点（4，2）时，z 取最大值，最大值为 z10 故答案为：（4，2）【点评】本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且，则数列的前 10 项的和是【分析】本题先

25、将题干中的等式转化为 Snnan2n（n1），nN*然后根据公式当 n 2 时，anSnSn1，进行进一步计算可发现数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列即可计算出前 n 项和 Sn的表达式，然后计算出数列的通项公式，再用第 14 页（共 24 页）裂项相消法计算出前 10 项的和【解答】解：依题意，由 an+2（n1），可得： Snnan2n（n1），nN* 当 n2 时，anSnSn1nan2n（n1）（n1）an1+2（n1）（n2），整理，得（n1）（anan1）4（n1），即 anan14 数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列 Snn+42

26、n2n （）设数列的前 n 项和为 Tn，则 T10+ （1）+（）+（）（1+）（1）故答案为：【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及用裂项相消法求和考查了转化思想，整体思想，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 16 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是，3e 【分析】求出 g（x）关于直线 y1 的对称函数 h（x），令 f（x）与 h（x）的图象有交点得出 m 的范围【解答】解：g（x）mx+1 关于直线 y1 对称的直线为 yh（x）1mx，直线 y1mx 与 y2ln

27、x 在，e2上有交点作出 y1mx 与 y2lnx 的函数图象，第 15 页（共 24 页）如图所示：若直线 y1mx 经过点（，2），则 m3e，若直线 y1mx 与 y2lnx 相切，设切点为（x，y）则，解得 m3e 故答案为：，3e 【点评】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第 22、23 题

28、为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a；（2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积第 16 页（共 24 页）【分析】（1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得 a2；（2）由余弦定理可得 c，再根据角平分线定理可得 MB，然后根据面积公式可得 ABM 的面积【解答】解：（1）由正弦定理得，得，得，得 a2，（2）cosA，sinA，cosBcos2A2cos2A1，sinB， si

29、nCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得，c 由角平分线定理得， MBBC2，SABMMBABsinBsin2A 2，【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题 18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C平面 ABC，AA1AC，AC BC （1）证明：A1CAB1；（2）设 AC2CB，A1AC60，求二面角 C1AB1B 的余弦值第 17 页（共 24 页）【分析】（1）连结 AC1证明 A1CAC1BCAC，B1C1A1C得到 A1C平面 AB1C1，然后证明 A1CAB1 （2）取 A1C1的中点为 M，连结

30、 CM以 C 为原点，CA，CB，CM 为正方向建立空间直角坐标系，求出平面 C1AB1的一个法向量，平面 ABB1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 C1AB1B 的余弦值即可【解答】（1）证明：连结 AC1 AA1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1CAC1 平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABCAC，BC平面 ABC，BCAC， BC平面 AA1C1C 又BCB1C1，B1C1平面 AA1C1C，B1C1A1C AC1B1C1C1， A1C平面 AB1C1，而 AB1平面 AB1C1， A1CAB1 （2）取 A1C1的中点为 M，连结 CM A

31、A1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1AC60，CMA1C1，CMAC 又CMBC，以 C 为原点，CA，CB，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图设 CB1，AC2CB2，AA1AC，A1AC60， C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（1，1，）由（1）知，平面 C1AB1的一个法向量为设平面 ABB1的法向量为，则并且，令 x1，得，即第 18 页（共 24 页），二面角 C1AB1B 的余弦值为：【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能

32、力与计算能力，考查函数与方程思想、化归与转化 19 （12 分）已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点 H （0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M，N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1，求实数 t 的值【分析】（1）设动点 P 和点 A，B 的坐标，利用向量数乘关系结合|AB|4 容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程，利用根与系数关系和斜率之和为 1 建立方程可得 t 值【解答】解：（1）设 P（x，y），A（m，0），

33、B（0，n），，（x，yn）3（mx，y）（3m3x，3y），即，， |AB|4， m2+n216，第 19 页（共 24 页），曲线 C 的方程为：；（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去 y 得， 37x2+36tx+9（t21）0，由（36t）24379（t21）0，可得，又直线 y2x+t 不经过点 H（0，1），且直线 HM 与 HN 的斜率存在， t1，又， kHM+kHN 41，解得 t3，故 t 的值为 3 【点评】此题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度适中 20 （12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一

34、次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：第 20 页（共 24 页）维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次

35、数发生的概率记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（）求 X 的分布列；（）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【分析】（）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列（）选择延保方案一，求出所需费用 Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用 Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算【解答】（本小题满分 12 分）解：（）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6 ，，，，，，， X 的分布列为 X 0 1

36、 2 3 4 5 6 P （）选择延保方案一，所需费用 Y1元的分布列为： Y1 7000 9000 11000 13000 15000 P 第 21 页（共 24 页）（元）选择延保方案二，所需费用 Y2元的分布列为： Y2 10000 11000 12000 P （元） EY1EY2，该医院选择延保方案二较合算【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数（1）若 f（x）lnx 在1，+）上恒成立，求 a 的取值范围（2）证明：【分析】（1）利用 f（x）lnx 在1

37、，+）上恒成立，分离参数，构造设 g（x）， x1，求出函数 g（x）的最值，利用导数和函数单调性和最值得关系，以及极限的定义即可求出，（2）由（1）可知当 a时，f（x）lnx 在1，+）上恒成立，可得，（x） lnx 在1，+）恒成立，x，可得（+）ln，由同向不等式可加性累加可得，即可推出要证结论【解答】解：（1）由 f（x）lnx，可得 axlnx，当 x1 时，成立，当 x1 时，可得 a恒成立，设 g（x），x1， g（x），令 h（x）x21x2lnxlnx，x1，第 22 页（共 24 页） h（x）2x2xlnx，令（x）2x2xlnx，x1，（x）1

38、2lnx+，易知（x）在（1，+）上单调递减，（x）（1）0，（x）在（1，+）上单调递减， h（x）（x）（1）0， h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）0，即 g（x）0 在（1，+）恒成立， g（x）在（1，+）上单调递减，而， a 综上所述，a 的取值范围为：，+）（2）由（1）可得当 a时，（x）lnx 在1，+）恒成立， x，可得（）ln，即（+）ln 由同向不等式可加性累加可得，（1+）+（+）ln（2）ln（n+1）， 2（1+）+1ln（n+1），（1+）ln（n+1）， 1+ln（n+1）+，【点评】本题是难题，考查函数与导数的关系，

39、恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想第 23 页（共 24 页）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是（k 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换（

40、2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程是（k 为参数），平方后得，又，曲线 C 的普通方程为直线 l 的极坐标方程为 cos（+）3，转换为直角坐标方程为 xy60 （2）将曲线 C 化成参数方程形式为（为参数），则 d，其中，所以【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1

41、|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集；（2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围【分析】（1）将 a4 代入 f（x）中，然后将 f（x）写为分段函数的形式，再根据 f（x）第 24 页（共 24 页） 9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，然后根据对任意 xR，恒有 f（x） 5a，可得 f（x）min5a，再解关于 a 的不等式可得 a 的范围【解答】解：（1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4| f（x）9，或， x1 或，不等式的解集为；（2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1| 对任意 xR，恒有 f（x）5a， f（x）min5a，即|a1|5a，a3， a 的取值范围为3，+）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题

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