1、设全集 UR， Ax|x2x60， Bx|yln （1x） ， 则 A （UB） （ ） A1，3） B （1，3 C （1，3） D （2，1 2 （5 分）设（2+i） （3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数，则|x+yi|等 于（ ） A5 B13 C22 D2 3 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B C D 4 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S6
2、9S3，S562，则 a1（ ） A B2 C D3 6 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后 的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果 第 2 页（共 24 页） 精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 7 （5 分）设 a，b 是
3、两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件 是（ ） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b 8 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）3xf（2）2lnx，则曲线 f（x）在点 （4，f（4） ）处切线的倾斜角为（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1）f（x2） 4，则|x1x2|的最小值为（ ） A B C D 10 （5 分）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认 为： “金生水、
4、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交 于点 M，若，则（ ） A B C D1 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则： 平面 分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 BFD1E 一定是平行四边形； 平面 与平面 DBB1不可能垂直； 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为（ ） 第 3 页
5、（共 24 页） A B C D 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）的展开式中 x2y2项的系数是 14 （5 分）已知实数 x，y，满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且，则数列 的前 10 项的和是 16 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图 象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是 三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-
6、21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C平面 ABC，AA1AC，AC BC （1）证明：A1CAB1； （2）设 AC2CB，A1AC60，求二面角 C1AB1B 的余弦值 第
7、 4 页（共 24 页） 19 （12 分）已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）设不经过点 H （0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M，N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1，求实数 t 的值 20 （12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修 费 2000 元； 方案二：交纳延保
8、金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维 修费 1000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为 此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率 记 X 表示这 2 台机器 超过质保期后延保的两年内共需维修的次数 （）求 X 的分布列； （）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 21 （12 分）已知函数 （1）若 f（x）lnx 在
9、1，+）上恒成立，求 a 的取值范围 （2）证明： 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是（k 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 第 5 页（共 24 页） （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求
10、实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷 （理科） （年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷 （理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分） 设全集 UR， Ax|x2x60， Bx|yln （1x） ， 则 A （UB） （ ） A1，3） B （1，3 C （1，3） D （2，1 【分析】可以求出集合 A，B，然
11、后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x1， UBx|x1，A（UB）1，3） 故选：A 【点评】考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，对数函数的定义域， 以及交集、补集的运算 2 （5 分）设（2+i） （3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数，则|x+yi|等 于（ ） A5 B13 C22 D2 【分析】先利用复数相等的定义求出 x，y 的值，再利用复数模长公式求解 【解答】解：（2+i） （3xi）3+（y+5）i， （6+x）+（32x）i3+（y+5）i， ，解得：， x+yi3+4i， |x+yi|， 故选：A 【点评
12、】本题主要考查了复数相等的定义，以及复数模长公式，是基础题 3 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B 第 7 页（共 24 页） C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，又由当 x0 时，+，由排除法 分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0， 又由 f（x）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A、B， 在区间（0，） ，f（x）0，且当 x0 时，+，排除 D； 故选：C 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题 4 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（ ） A向右平
13、移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果 【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单 位长度， 可得， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S69S3，S562，则 a1（ ） A B2 C D3 【分析】根据题意，分析可得等比数列an的公比 q1，进而由等比数列的通项公式 第 8 页（共 24 页） 可得9，解可得 q2，又由
14、 S531a162， 解可得 a1的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，等比例数列an中，若 S69S3，则 q1， 若 S69S3，则9，解可得 q38，则 q2， 又由 S562，则有 S531a162， 解可得 a12； 故选：B 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前 n 项和的 性质 6 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后 的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为
15、0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果 精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【分析】由题意可得1e 7.60.8，两边取自然对数，则答案可求 【解答】解：由题意可得，1e 7.60.8， ln27.60.8， 即 6.080.6931，则 0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题 7 （5 分）设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条
16、件 是（ ） A存在一条直线 a，a，a 第 9 页（共 24 页） B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b 【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的即可得解 【解答】解：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A 不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面 平行，故 D 正确
17、故选：D 【点评】考查面面平行的判定定理，依据条件由定理直接判断，属于中档题 8 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）3xf（2）2lnx，则曲线 f（x）在点 （4，f（4） ）处切线的倾斜角为（ ） A B C D 【分析】利用函数的导数求出函数的解析式，然后求出切线的斜率，即可求解倾斜角 【解答】解：函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）3xf（2）2lnx， 可得 f（x）3f（2），可得 f（2）， 所以 f（x）， f（4）1， 曲线 yf（x）在点（4，f（4） ）处切线的倾斜角为 ，tan1， 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，切
18、线的斜率以及倾斜角的关系，考查计算能力 9 （5 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1）f（x2） 4，则|x1x2|的最小值为（ ） A B C D 【分析】根据函数的对称性，利用 f（0）f（） ，建立方程求出 a 的值，然后利用 第 10 页（共 24 页） 辅助角公式求出 f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可 【解答】解：f（x）的图象关于直线对称， f（0）f（） ， 即asin（）cos（）a， 得a，得 a1， 则 f（x）sin2xcos2x2sin（2x） ， f（x1）f（x2）4， f（x1）2，f（x2）2 或 f（x1）2，f（x2）4，
19、即 f（x1） ，f（x2）一个为最大值，一个为最小值， 则|x1x2|的最小值为， T， ， 即|x1x2|的最小值为， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出 a 的值以及利 用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键 10 （5 分）中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认 为： “金生水、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A B C D 【分析】可以先计算从 5 五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质相生 的概率，再根据
20、对立事件的概率和为 1，即可得到所求 【解答】解：从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共10 种，而相生的有 5 种， 则抽到的两种物质不相生的概率 P1 故选：D 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查了对立事件的概率性质，属于基础题 第 11 页（共 24 页） 11 （5 分）已知 F 是抛物线 C：y2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线 C 相交 于点 M，若，则（ ） A B C D1 【分析】如图，根据抛物线的定义，以及 2，可得|MA|OF|，即可求出 结论 【解答】解：如图：抛物线 C：x2y， F（0，） ， ，|OF| |MA|OF| |MB|M
21、F|， |FN|3|FM| 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则： 平面 分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 BFD1E 一定是平行四边形； 第 12 页（共 24 页） 平面 与平面 DBB1不可能垂直； 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为（ ） A B C D 【分析】运用正方体的对称性即可判断； 由平行平面的性质可得是正确的； 当 E、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得正确； 当 F 与 A 重合，当
22、E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，当 F 与 A 重合，当 E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，可得正确 【解答】解：如图则： 对于：由正方体的对称性可知，平面 分正方体所得两部分的体积相等，故正确； 对于：因为平面 ABB1A1CC1D1D，平面 BFD1E平面 ABB1A1BF，平面 BFD1E 平面 CC1D1DD1E，BFD1E，同理可证：D1FBE，故四边形 BFD1E 一定是平行 四边形，故正确； 对于： 当 E、 F 为棱中点时， EF平面 BB1D， 又因为 EF平面 BFD1E， 所以平面 BFD E平面 BBD，故不正确； 对于：当 F 与 A 重
23、合，当 E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，故正确 正确的是， 故选：C 【点评】本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的 平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）的展开式中 x2y2项的系数是 420 第 13 页（共 24 页） 【分析】由题意利用乘方的意义，组合数的计算公式，求得结果 【解答】解： 表示 8 个因式（1+2x）的乘积，要得到含 x2y2的项， 需其中有 2 个因式取 2x，2 个因式取，其余的因式都取
24、1 故展开式中 x2y2项的系数为22420， 故答案为：420 【点评】本题主要考查乘方的意义，组合的应用，属于中档题 14 （5 分） 已知实数 x， y， 满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为 （4， 2） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义得到最优解，即可 【解答】解：实数 x，y 满足的如图所示区域， 把 y2x+z，平移，当直线经过点（4，2）时，z 取最大值， 最大值为 z10 故答案为： （4，2） 【点评】本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且，则数列 的前 10 项的和是 【分析】本题先
25、将题干中的等式转化为 Snnan2n（n1） ，nN*然后根据公式当 n 2 时，anSnSn1，进行进一步计算可发现数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差 数列即可计算出前 n 项和 Sn的表达式，然后计算出数列的通项公式，再用 第 14 页（共 24 页） 裂项相消法计算出前 10 项的和 【解答】解：依题意，由 an+2（n1） ，可得： Snnan2n（n1） ，nN* 当 n2 时，anSnSn1nan2n（n1）（n1）an1+2（n1） （n2） ， 整理，得（n1） （anan1）4（n1） ， 即 anan14 数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列 Snn+42
26、n2n （） 设数列的前 n 项和为 Tn，则 T10+ （1）+（）+（） （1+） （1） 故答案为： 【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及用裂项相消法求和考查了转化思想，整 体思想，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 16 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图 象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是 ，3e 【分析】求出 g（x）关于直线 y1 的对称函数 h（x） ，令 f（x）与 h（x）的图象有交点 得出 m 的范围 【解答】解：g（x）mx+1 关于直线 y1 对称的直线为 yh（x）1mx， 直线 y1mx 与 y2ln
27、x 在，e2上有交点 作出 y1mx 与 y2lnx 的函数图象， 第 15 页（共 24 页） 如图所示： 若直线 y1mx 经过点（，2） ， 则 m3e， 若直线 y1mx 与 y2lnx 相切， 设切点为（x，y） 则，解得 m3e 故答案为：，3e 【点评】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的 关系，导数的几何意义，属于中档题 三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第 22、23 题
28、为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得 a2； （2）由余弦定理可得 c，再根据角平分线定理可得 MB，然后根据面积公式可得 ABM 的面积 【解答】解： （1）由正弦定理得，得，得 ，得 a2， （2）cosA，sinA，cosBcos2A2cos2A1，sinB， si
29、nCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得，c 由角平分线定理得， MBBC2，SABMMBABsinBsin2A 2， 【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题 18 （12 分）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C平面 ABC，AA1AC，AC BC （1）证明：A1CAB1； （2）设 AC2CB，A1AC60，求二面角 C1AB1B 的余弦值 第 17 页（共 24 页） 【分析】 （1）连结 AC1证明 A1CAC1BCAC，B1C1A1C得到 A1C平面 AB1C1， 然后证明 A1CAB1 （2）取 A1C1的中点为 M，连结
30、 CM以 C 为原点，CA，CB，CM 为正方向建立空间直 角坐标系，求出平面 C1AB1的一个法向量，平面 ABB1的法向量，利用空间向量的数量积 求解二面角 C1AB1B 的余弦值即可 【解答】 （1）证明：连结 AC1 AA1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1CAC1 平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABCAC，BC平面 ABC，BCAC， BC平面 AA1C1C 又BCB1C1，B1C1平面 AA1C1C，B1C1A1C AC1B1C1C1， A1C平面 AB1C1，而 AB1平面 AB1C1， A1CAB1 （2）取 A1C1的中点为 M，连结 CM A
31、A1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1AC60，CMA1C1，CMAC 又CMBC，以 C 为原点，CA，CB，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图 设 CB1，AC2CB2，AA1AC，A1AC60， C（0，0，0） ，A1（1，0，） ，A（2，0，0） ，B（0，1，0） ，B1（1，1，） 由（1）知，平面 C1AB1的一个法向量为 设平面 ABB1的法向量为，则并且， 令 x1，得，即 第 18 页（共 24 页） ， 二面角 C1AB1B 的余弦值为： 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能
32、力与计算能力，考查函数与方程思想、 化归与转化 19 （12 分）已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）设不经过点 H （0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M，N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1，求实数 t 的值 【分析】 （1）设动点 P 和点 A，B 的坐标，利用向量数乘关系结合|AB|4 容易求得方程； （2）联立直线与曲线方程，利用根与系数关系和斜率之和为 1 建立方程可得 t 值 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，A（m，0） ，
33、B（0，n） ， ， （x，yn）3（mx，y）（3m3x，3y） ， 即， ， |AB|4， m2+n216， 第 19 页（共 24 页） ， 曲线 C 的方程为：； （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由，消去 y 得， 37x2+36tx+9（t21）0， 由（36t）24379（t21）0， 可得， 又直线 y2x+t 不经过点 H（0，1） ， 且直线 HM 与 HN 的斜率存在， t1， 又， kHM+kHN 41， 解得 t3， 故 t 的值为 3 【点评】此题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度适中 20 （12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一
34、次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修 费 2000 元； 方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维 修费 1000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为 此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 第 20 页（共 24 页） 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次
35、数发生的概率 记 X 表示这 2 台机器 超过质保期后延保的两年内共需维修的次数 （）求 X 的分布列； （）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【分析】 （）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此 能求出 X 的分布列 （）选择延保方案一，求出所需费用 Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求 出所需费用 Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6 ， ， ， ， ， ， ， X 的分布列为 X 0 1
36、 2 3 4 5 6 P （）选择延保方案一，所需费用 Y1元的分布列为： Y1 7000 9000 11000 13000 15000 P 第 21 页（共 24 页） （元） 选择延保方案二，所需费用 Y2元的分布列为： Y2 10000 11000 12000 P （元） EY1EY2，该医院选择延保方案二较合算 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率 乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 （1）若 f（x）lnx 在1，+）上恒成立，求 a 的取值范围 （2）证明： 【分析】 （1）利用 f（x）lnx 在1
37、，+）上恒成立，分离参数，构造设 g（x）， x1，求出函数 g（x）的最值，利用导数和函数单调性和最值得关系，以及极限的定义 即可求出， （2）由（1）可知当 a时，f（x）lnx 在1，+）上恒成立，可得，（x） lnx 在1，+）恒成立，x，可得（+）ln，由同向不等式可加性累 加可得，即可推出要证结论 【解答】解： （1）由 f（x）lnx，可得 axlnx，当 x1 时，成立， 当 x1 时，可得 a恒成立， 设 g（x），x1， g（x）， 令 h（x）x21x2lnxlnx，x1， 第 22 页（共 24 页） h（x）2x2xlnx， 令 （x）2x2xlnx，x1， （x）1
38、2lnx+， 易知 （x）在（1，+）上单调递减， （x）（1）0， （x）在（1，+）上单调递减， h（x）（x）（1）0， h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）0， 即 g（x）0 在（1，+）恒成立， g（x）在（1，+）上单调递减， 而， a 综上所述，a 的取值范围为：，+） （2）由（1）可得当 a时，（x）lnx 在1，+）恒成立， x，可得（）ln，即（+）ln 由同向不等式可加性累加可得， （1+）+（+）ln（2）ln（n+1） ， 2（1+）+1ln（n+1） ， （1+）ln（n+1） ， 1+ln（n+1）+， 【点评】本题是难题，考查函数与导数的关系，
39、恒成立问题的应用，累加法与裂项法的 应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度 大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想 第 23 页（共 24 页） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是（k 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换 （
40、2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】 解： （1） 曲线 C 的参数方程是（k 为参数） ， 平方后得， 又，曲线 C 的普通方程为 直线 l 的极坐标方程为 cos（+）3，转换为直角坐标方程为 xy60 （2）将曲线 C 化成参数方程形式为（ 为参数） ， 则 d，其中， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1
41、|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a4 代入 f（x）中，然后将 f（x）写为分段函数的形式，再根据 f（x） 第 24 页（共 24 页） 9，分别解不等式可得解集； （2）利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，然后根据对任意 xR，恒有 f（x） 5a，可得 f（x）min5a，再解关于 a 的不等式可得 a 的范围 【解答】解： （1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4| f（x）9，或， x1 或， 不等式的解集为； （2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1| 对任意 xR，恒有 f（x）5a， f（x）min5a，即|a1|5a，a3， a 的取值范围为3，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和 转化思想，属中档题