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2020年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷(理科)(3月份)含详细解答

1、设全集 UR, Ax|x2x60, Bx|yln (1x) , 则 A (UB) ( ) A1,3) B (1,3 C (1,3) D (2,1 2 (5 分)设(2+i) (3xi)3+(y+5)i(i 为虚数单位) ,其中 x,y 是实数,则|x+yi|等 于( ) A5 B13 C22 D2 3 (5 分)函数的部分图象大致为( ) A B C D 4 (5 分)要得到函数的图象,只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象( ) A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 5 (5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,公比为 q,若 S6

2、9S3,S562,则 a1( ) A B2 C D3 6 (5 分)射线测厚技术原理公式为,其中 I0,I 分别为射线穿过被测物前后 的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度, 为被测物的密度, 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241(241Am)低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为 0.8,钢的密度为 7.6,则这种射线的吸收系数为( ) (注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.6931,结果 第 2 页(共 24 页) 精确到 0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 7 (5 分)设 a,b 是

3、两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 的一个充分条件 是( ) A存在一条直线 a,a,a B存在一条直线 a,a,a C存在两条平行直线 a、b,a,b,a,b D存在两条异面直线 a、b,a,b,a,b 8 (5 分)设函数 f(x)的导函数为 f(x) ,且 f(x)3xf(2)2lnx,则曲线 f(x)在点 (4,f(4) )处切线的倾斜角为( ) A B C D 9 (5 分)已知函数的图象关于直线对称,若 f(x1)f(x2) 4,则|x1x2|的最小值为( ) A B C D 10 (5 分)中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认 为: “金生水、

4、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A B C D 11 (5 分)已知 F 是抛物线 C:y2x2的焦点,N 是 x 轴上一点,线段 FN 与抛物线 C 相交 于点 M,若,则( ) A B C D1 12 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1,过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E,交棱 CC1于点 F,则: 平面 分正方体所得两部分的体积相等; 四边形 BFD1E 一定是平行四边形; 平面 与平面 DBB1不可能垂直; 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为( ) 第 3 页

5、(共 24 页) A B C D 二填空题:本题共二填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)的展开式中 x2y2项的系数是 14 (5 分)已知实数 x,y,满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为 15 (5 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,且,则数列 的前 10 项的和是 16 (5 分)已知函数,g(x)mx+1,若 f(x)与 g(x)的图 象上存在关于直线 y1 对称的点,则实数 m 的取值范围是 三解答题:共三解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-

6、21 题为必考题,每题为必考题,每 个试题考生都必须作答;第个试题考生都必须作答;第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分別为 a,b,c,若,B2A,b3 (1)求 a; (2)已知点 M 在边 BC 上,且 AM 平分BAC,求ABM 的面积 18 (12 分)如图,已知三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 AA1C1C平面 ABC,AA1AC,AC BC (1)证明:A1CAB1; (2)设 AC2CB,A1AC60,求二面角 C1AB1B 的余弦值 第

7、 4 页(共 24 页) 19 (12 分)已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴和 y 轴上运动,动点 P 满足,记动点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)设不经过点 H (0,1)的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M,N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1,求实数 t 的值 20 (12 分)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买 2 台机器的客户,推出两种超过 质保期后两年内的延保维修优惠方案: 方案一:交纳延保金 7000 元,在延保的两年内可免费维修 2 次,超过 2 次每次收取维修 费 2000 元; 方案二:交纳延保

8、金 10000 元,在延保的两年内可免费维修 4 次,超过 4 次每次收取维 修费 1000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为 此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表: 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率 记 X 表示这 2 台机器 超过质保期后延保的两年内共需维修的次数 ()求 X 的分布列; ()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算? 21 (12 分)已知函数 (1)若 f(x)lnx 在

9、1,+)上恒成立,求 a 的取值范围 (2)证明: 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是(k 为参数) ,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 第 5 页(共 24 页) (1)曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1|+|2xa|,xR (1)当 a4 时,求不等式 f(x)9 的解集; (2)对任意 xR,恒有 f(x)5a,求

10、实数 a 的取值范围 第 6 页(共 24 页) 2020 年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷 (理科) (年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷 (理科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 (5 分) 设全集 UR, Ax|x2x60, Bx|yln (1x) , 则 A (UB) ( ) A1,3) B (1,3 C (1,3) D (2,1 【分析】可以求出集合 A,B,然

11、后进行交集、补集的运算即可 【解答】解:Ax|2x3,Bx|x1, UBx|x1,A(UB)1,3) 故选:A 【点评】考查描述法、区间的定义,以及一元二次不等式的解法,对数函数的定义域, 以及交集、补集的运算 2 (5 分)设(2+i) (3xi)3+(y+5)i(i 为虚数单位) ,其中 x,y 是实数,则|x+yi|等 于( ) A5 B13 C22 D2 【分析】先利用复数相等的定义求出 x,y 的值,再利用复数模长公式求解 【解答】解:(2+i) (3xi)3+(y+5)i, (6+x)+(32x)i3+(y+5)i, ,解得:, x+yi3+4i, |x+yi|, 故选:A 【点评

12、】本题主要考查了复数相等的定义,以及复数模长公式,是基础题 3 (5 分)函数的部分图象大致为( ) A B 第 7 页(共 24 页) C D 【分析】根据题意,分析可得 f(x)为奇函数,又由当 x0 时,+,由排除法 分析可得答案 【解答】解:根据题意,f(x),其定义域为x|x0, 又由 f(x)f(x) ,即函数 f(x)为奇函数,排除 A、B, 在区间(0,) ,f(x)0,且当 x0 时,+,排除 D; 故选:C 【点评】本题考查函数的图象分析,涉及函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题 4 (5 分)要得到函数的图象,只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象( ) A向右平

13、移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果 【解答】解:因为,所以将其图象向左平移个单 位长度, 可得, 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,平移变换的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 5 (5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,公比为 q,若 S69S3,S562,则 a1( ) A B2 C D3 【分析】根据题意,分析可得等比数列an的公比 q1,进而由等比数列的通项公式 第 8 页(共 24 页) 可得9,解可得 q2,又由

14、 S531a162, 解可得 a1的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,等比例数列an中,若 S69S3,则 q1, 若 S69S3,则9,解可得 q38,则 q2, 又由 S562,则有 S531a162, 解可得 a12; 故选:B 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前 n 项和的 性质 6 (5 分)射线测厚技术原理公式为,其中 I0,I 分别为射线穿过被测物前后 的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度, 为被测物的密度, 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241(241Am)低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为

15、0.8,钢的密度为 7.6,则这种射线的吸收系数为( ) (注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.6931,结果 精确到 0.001) A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【分析】由题意可得1e 7.60.8,两边取自然对数,则答案可求 【解答】解:由题意可得,1e 7.60.8, ln27.60.8, 即 6.080.6931,则 0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选:C 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型,考查对数的运算性质,是基础的计算题 7 (5 分)设 a,b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 的一个充分条

16、件 是( ) A存在一条直线 a,a,a 第 9 页(共 24 页) B存在一条直线 a,a,a C存在两条平行直线 a、b,a,b,a,b D存在两条异面直线 a、b,a,b,a,b 【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的,筛选出正确的即可得解 【解答】解:对于 A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行故 A 不对; 对于 B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故 B 不对; 对于 C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故 C 不对; 对于 D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面 平行,故 D 正确

17、故选:D 【点评】考查面面平行的判定定理,依据条件由定理直接判断,属于中档题 8 (5 分)设函数 f(x)的导函数为 f(x) ,且 f(x)3xf(2)2lnx,则曲线 f(x)在点 (4,f(4) )处切线的倾斜角为( ) A B C D 【分析】利用函数的导数求出函数的解析式,然后求出切线的斜率,即可求解倾斜角 【解答】解:函数 f(x)的导函数为 f(x) ,且 f(x)3xf(2)2lnx, 可得 f(x)3f(2),可得 f(2), 所以 f(x), f(4)1, 曲线 yf(x)在点(4,f(4) )处切线的倾斜角为 ,tan1, 故选:B 【点评】本题考查函数的导数的应用,切

18、线的斜率以及倾斜角的关系,考查计算能力 9 (5 分)已知函数的图象关于直线对称,若 f(x1)f(x2) 4,则|x1x2|的最小值为( ) A B C D 【分析】根据函数的对称性,利用 f(0)f() ,建立方程求出 a 的值,然后利用 第 10 页(共 24 页) 辅助角公式求出 f(x)的解析式,利用最值性质转化为周期关系进行求解即可 【解答】解:f(x)的图象关于直线对称, f(0)f() , 即asin()cos()a, 得a,得 a1, 则 f(x)sin2xcos2x2sin(2x) , f(x1)f(x2)4, f(x1)2,f(x2)2 或 f(x1)2,f(x2)4,

19、即 f(x1) ,f(x2)一个为最大值,一个为最小值, 则|x1x2|的最小值为, T, , 即|x1x2|的最小值为, 故选:D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用对称性建立方程求出 a 的值以及利 用辅助角公式进行化简,转化为周期关系是解决本题的关键 10 (5 分)中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认 为: “金生水、水生木、木生火、火生土、土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A B C D 【分析】可以先计算从 5 五种不同属性的物质中随机抽取 2 种,则抽到的两种物质相生 的概率,再根据

20、对立事件的概率和为 1,即可得到所求 【解答】解:从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种,共10 种,而相生的有 5 种, 则抽到的两种物质不相生的概率 P1 故选:D 【点评】本题考查了古典概型的概率计算,考查了对立事件的概率性质,属于基础题 第 11 页(共 24 页) 11 (5 分)已知 F 是抛物线 C:y2x2的焦点,N 是 x 轴上一点,线段 FN 与抛物线 C 相交 于点 M,若,则( ) A B C D1 【分析】如图,根据抛物线的定义,以及 2,可得|MA|OF|,即可求出 结论 【解答】解:如图:抛物线 C:x2y, F(0,) , ,|OF| |MA|OF| |MB|M

21、F|, |FN|3|FM| 故选:A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质,属于基础题 12 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1,过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E,交棱 CC1于点 F,则: 平面 分正方体所得两部分的体积相等; 四边形 BFD1E 一定是平行四边形; 第 12 页(共 24 页) 平面 与平面 DBB1不可能垂直; 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为( ) A B C D 【分析】运用正方体的对称性即可判断; 由平行平面的性质可得是正确的; 当 E、F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可得正确; 当 F 与 A 重合,当

22、E 与 C1重合时,BFD1E 的面积有最大值,当 F 与 A 重合,当 E 与 C1重合时,BFD1E 的面积有最大值,可得正确 【解答】解:如图则: 对于:由正方体的对称性可知,平面 分正方体所得两部分的体积相等,故正确; 对于:因为平面 ABB1A1CC1D1D,平面 BFD1E平面 ABB1A1BF,平面 BFD1E 平面 CC1D1DD1E,BFD1E,同理可证:D1FBE,故四边形 BFD1E 一定是平行 四边形,故正确; 对于: 当 E、 F 为棱中点时, EF平面 BB1D, 又因为 EF平面 BFD1E, 所以平面 BFD E平面 BBD,故不正确; 对于:当 F 与 A 重

23、合,当 E 与 C1重合时,BFD1E 的面积有最大值,故正确 正确的是, 故选:C 【点评】本题考查正方体中有关的线面的位置关系,解题的关键是理解想象出要画出的 平面是怎样的平面,有哪些特殊的性质,考虑全面就可以正确解题 二填空题:本题共二填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)的展开式中 x2y2项的系数是 420 第 13 页(共 24 页) 【分析】由题意利用乘方的意义,组合数的计算公式,求得结果 【解答】解: 表示 8 个因式(1+2x)的乘积,要得到含 x2y2的项, 需其中有 2 个因式取 2x,2 个因式取,其余的因式都取

24、1 故展开式中 x2y2项的系数为22420, 故答案为:420 【点评】本题主要考查乘方的意义,组合的应用,属于中档题 14 (5 分) 已知实数 x, y, 满足则 z2x+y 取得最大值的最优解为 (4, 2) 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义得到最优解,即可 【解答】解:实数 x,y 满足的如图所示区域, 把 y2x+z,平移,当直线经过点(4,2)时,z 取最大值, 最大值为 z10 故答案为: (4,2) 【点评】本题考查简单的线性规划的简单应用,是基本知识的考查 15 (5 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,且,则数列 的前 10 项的和是 【分析】本题先

25、将题干中的等式转化为 Snnan2n(n1) ,nN*然后根据公式当 n 2 时,anSnSn1,进行进一步计算可发现数列an是以 1 为首项,4 为公差的等差 数列即可计算出前 n 项和 Sn的表达式,然后计算出数列的通项公式,再用 第 14 页(共 24 页) 裂项相消法计算出前 10 项的和 【解答】解:依题意,由 an+2(n1) ,可得: Snnan2n(n1) ,nN* 当 n2 时,anSnSn1nan2n(n1)(n1)an1+2(n1) (n2) , 整理,得(n1) (anan1)4(n1) , 即 anan14 数列an是以 1 为首项,4 为公差的等差数列 Snn+42

26、n2n () 设数列的前 n 项和为 Tn,则 T10+ (1)+()+() (1+) (1) 故答案为: 【点评】本题主要考查数列求通项公式,以及用裂项相消法求和考查了转化思想,整 体思想,逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 16 (5 分)已知函数,g(x)mx+1,若 f(x)与 g(x)的图 象上存在关于直线 y1 对称的点,则实数 m 的取值范围是 ,3e 【分析】求出 g(x)关于直线 y1 的对称函数 h(x) ,令 f(x)与 h(x)的图象有交点 得出 m 的范围 【解答】解:g(x)mx+1 关于直线 y1 对称的直线为 yh(x)1mx, 直线 y1mx 与 y2ln

27、x 在,e2上有交点 作出 y1mx 与 y2lnx 的函数图象, 第 15 页(共 24 页) 如图所示: 若直线 y1mx 经过点(,2) , 则 m3e, 若直线 y1mx 与 y2lnx 相切, 设切点为(x,y) 则,解得 m3e 故答案为:,3e 【点评】本题考查了函数的对称问题解法,注意运用转化思想,以及零点与函数图象的 关系,导数的几何意义,属于中档题 三解答题:共三解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题,每题为必考题,每 个试题考生都必须作答;第个试题考生都必须作答;第 22、23 题

28、为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分別为 a,b,c,若,B2A,b3 (1)求 a; (2)已知点 M 在边 BC 上,且 AM 平分BAC,求ABM 的面积 第 16 页(共 24 页) 【分析】 (1)由正弦定理以及二倍角正弦公式可得 a2; (2)由余弦定理可得 c,再根据角平分线定理可得 MB,然后根据面积公式可得 ABM 的面积 【解答】解: (1)由正弦定理得,得,得 ,得 a2, (2)cosA,sinA,cosBcos2A2cos2A1,sinB, si

29、nCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得,c 由角平分线定理得, MBBC2,SABMMBABsinBsin2A 2, 【点评】本题考查了三角形中的几何计算,属中档题 18 (12 分)如图,已知三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 AA1C1C平面 ABC,AA1AC,AC BC (1)证明:A1CAB1; (2)设 AC2CB,A1AC60,求二面角 C1AB1B 的余弦值 第 17 页(共 24 页) 【分析】 (1)连结 AC1证明 A1CAC1BCAC,B1C1A1C得到 A1C平面 AB1C1, 然后证明 A1CAB1 (2)取 A1C1的中点为 M,连结

30、 CM以 C 为原点,CA,CB,CM 为正方向建立空间直 角坐标系,求出平面 C1AB1的一个法向量,平面 ABB1的法向量,利用空间向量的数量积 求解二面角 C1AB1B 的余弦值即可 【解答】 (1)证明:连结 AC1 AA1AC,四边形 AA1C1C 为菱形,A1CAC1 平面 AA1C1C平面 ABC,平面 AA1C1C平面 ABCAC,BC平面 ABC,BCAC, BC平面 AA1C1C 又BCB1C1,B1C1平面 AA1C1C,B1C1A1C AC1B1C1C1, A1C平面 AB1C1,而 AB1平面 AB1C1, A1CAB1 (2)取 A1C1的中点为 M,连结 CM A

31、A1AC,四边形 AA1C1C 为菱形,A1AC60,CMA1C1,CMAC 又CMBC,以 C 为原点,CA,CB,CM 为正方向建立空间直角坐标系,如图 设 CB1,AC2CB2,AA1AC,A1AC60, C(0,0,0) ,A1(1,0,) ,A(2,0,0) ,B(0,1,0) ,B1(1,1,) 由(1)知,平面 C1AB1的一个法向量为 设平面 ABB1的法向量为,则并且, 令 x1,得,即 第 18 页(共 24 页) , 二面角 C1AB1B 的余弦值为: 【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理能

32、力与计算能力,考查函数与方程思想、 化归与转化 19 (12 分)已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴和 y 轴上运动,动点 P 满足,记动点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)设不经过点 H (0,1)的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点 M,N若直线 HM 与 HN 的斜率之和为 1,求实数 t 的值 【分析】 (1)设动点 P 和点 A,B 的坐标,利用向量数乘关系结合|AB|4 容易求得方程; (2)联立直线与曲线方程,利用根与系数关系和斜率之和为 1 建立方程可得 t 值 【解答】解: (1)设 P(x,y) ,A(m,0) ,

33、B(0,n) , , (x,yn)3(mx,y)(3m3x,3y) , 即, , |AB|4, m2+n216, 第 19 页(共 24 页) , 曲线 C 的方程为:; ()设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由,消去 y 得, 37x2+36tx+9(t21)0, 由(36t)24379(t21)0, 可得, 又直线 y2x+t 不经过点 H(0,1) , 且直线 HM 与 HN 的斜率存在, t1, 又, kHM+kHN 41, 解得 t3, 故 t 的值为 3 【点评】此题考查了曲线方程的求法,直线与圆锥曲线的综合,难度适中 20 (12 分)某种大型医疗检查机器生产商,对一

34、次性购买 2 台机器的客户,推出两种超过 质保期后两年内的延保维修优惠方案: 方案一:交纳延保金 7000 元,在延保的两年内可免费维修 2 次,超过 2 次每次收取维修 费 2000 元; 方案二:交纳延保金 10000 元,在延保的两年内可免费维修 4 次,超过 4 次每次收取维 修费 1000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为 此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表: 第 20 页(共 24 页) 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次

35、数发生的概率 记 X 表示这 2 台机器 超过质保期后延保的两年内共需维修的次数 ()求 X 的分布列; ()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算? 【分析】 ()X 所有可能的取值为 0,1,2,3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此 能求出 X 的分布列 ()选择延保方案一,求出所需费用 Y1元的分布列和数学期望,选择延保方案二,求 出所需费用 Y2元的分布列和数学期望,由此能求出该医院选择延保方案二较合算 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: ()X 所有可能的取值为 0,1,2,3,4,5,6 , , , , , , , X 的分布列为 X 0 1

36、 2 3 4 5 6 P ()选择延保方案一,所需费用 Y1元的分布列为: Y1 7000 9000 11000 13000 15000 P 第 21 页(共 24 页) (元) 选择延保方案二,所需费用 Y2元的分布列为: Y2 10000 11000 12000 P (元) EY1EY2,该医院选择延保方案二较合算 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查相互独立事件概率 乘法的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (12 分)已知函数 (1)若 f(x)lnx 在1,+)上恒成立,求 a 的取值范围 (2)证明: 【分析】 (1)利用 f(x)lnx 在1

37、,+)上恒成立,分离参数,构造设 g(x), x1,求出函数 g(x)的最值,利用导数和函数单调性和最值得关系,以及极限的定义 即可求出, (2)由(1)可知当 a时,f(x)lnx 在1,+)上恒成立,可得,(x) lnx 在1,+)恒成立,x,可得(+)ln,由同向不等式可加性累 加可得,即可推出要证结论 【解答】解: (1)由 f(x)lnx,可得 axlnx,当 x1 时,成立, 当 x1 时,可得 a恒成立, 设 g(x),x1, g(x), 令 h(x)x21x2lnxlnx,x1, 第 22 页(共 24 页) h(x)2x2xlnx, 令 (x)2x2xlnx,x1, (x)1

38、2lnx+, 易知 (x)在(1,+)上单调递减, (x)(1)0, (x)在(1,+)上单调递减, h(x)(x)(1)0, h(x)在(1,+)上单调递减, h(x)h(1)0, 即 g(x)0 在(1,+)恒成立, g(x)在(1,+)上单调递减, 而, a 综上所述,a 的取值范围为:,+) (2)由(1)可得当 a时,(x)lnx 在1,+)恒成立, x,可得()ln,即(+)ln 由同向不等式可加性累加可得, (1+)+(+)ln(2)ln(n+1) , 2(1+)+1ln(n+1) , (1+)ln(n+1) , 1+ln(n+1)+, 【点评】本题是难题,考查函数与导数的关系,

39、恒成立问题的应用,累加法与裂项法的 应用,数学归纳法的应用等知识,知识综合能力强,方法多,思维量与运算量以及难度 大,需要仔细审题解答,还考查分类讨论思想 第 23 页(共 24 页) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是(k 为参数) ,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换 (

40、2)利用直线和曲线的位置关系的应用,利用点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】 解: (1) 曲线 C 的参数方程是(k 为参数) , 平方后得, 又,曲线 C 的普通方程为 直线 l 的极坐标方程为 cos(+)3,转换为直角坐标方程为 xy60 (2)将曲线 C 化成参数方程形式为( 为参数) , 则 d,其中, 所以 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到 直线的距离公式的应用,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要 考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1

41、|+|2xa|,xR (1)当 a4 时,求不等式 f(x)9 的解集; (2)对任意 xR,恒有 f(x)5a,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)将 a4 代入 f(x)中,然后将 f(x)写为分段函数的形式,再根据 f(x) 第 24 页(共 24 页) 9,分别解不等式可得解集; (2)利用绝对值三角不等式求出 f(x)的最小值,然后根据对任意 xR,恒有 f(x) 5a,可得 f(x)min5a,再解关于 a 的不等式可得 a 的范围 【解答】解: (1)当 a4 时,f(x)|2x1|+|2x4| f(x)9,或, x1 或, 不等式的解集为; (2)f(x)|2x1|+|2xa|(2x1)(2xa)|a1|,f(x)min|a1| 对任意 xR,恒有 f(x)5a, f(x)min5a,即|a1|5a,a3, a 的取值范围为3,+) 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想和 转化思想,属中档题