1、已知集合 A1，2，3，4，5，B0， 2， 4，6， 则集合 AB 的子集共有 （ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2 （5 分）若复数 z的实部为 0，其中 a 为实数，则|z|（ ） A2 B C1 D 3 （5 分）已知向量，且实数 k0，若 A、B、 C 三点共线，则 k（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个 月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡 现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就 是著名的斐波那契数列，
2、它的递推公式是 anan1+an2（n3，nN*） ，其中 a11，a2 1若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A B C D 5 （5 分）设，clog0.3，则下列正确的是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单 位：分） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值为（ ） A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 第 2 页（共 26 页） 7 （5 分）若双曲线（a0，b0）的焦距为，且渐近线经过点（1，2） ， 则此
3、双曲线的方程为（ ） A B C D 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A12 B16 C24 D32 9 （5 分）已知函数的最大值、最小值分别为 3 和1，关于 函数 f（x）有如下四个结论： A2，b1； 函数 f（x）的图象 C 关于直线对称； 函数 f（x）的图象 C 关于点对称； 函数 f（x）在区间内是减函数 其中，正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （5 分）函数 f（x）cosxln（x）的图象大致为（ ） 第 3 页（共 26 页） A B C D 11 （5 分
4、）已知直三棱柱 ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和 B1C1 的中点分别为 E、F，则 AE 与 CF 夹角的余弦值为（ ） A B C D 12 （5 分）函数 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若 xf（x） +f（x）（1x）ex，且 f（2）0，则 f（x）0 的解集为（ ） A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （1，4） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 4 页（共 26 页） 13 （5 分）已知 sin（+），则 sin2 14 （5 分）在A
5、BC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b） （sinAsinB） （ac）sinC，b2，则ABC 的外接圆面积为 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为 16 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，其焦距为 2c， O 为坐标原点，点 P 满足|OP|2a，点 A 是椭圆 C 上的动点，且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成 立，则椭圆 C 离心率的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考
6、题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an，a14， （n+1）an+1nan4（n+1） （nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn前 n 项和为 Tn 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y（单位：万 件）与月销售单价 x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 yi和月销售单 价 xi（i1，2，3，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示
7、： 月销售单价 x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量 y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归 直线方程分别为： 4x+105， 4x+53 和 3x+104，其中有且仅有一位实习员 工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正 确的，并说明理由； （ 2 ） 若 用 y ax2+bx+c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 +0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 R2分别为 0
8、.9702 和 0.9524，请用 R2说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为 z（单位：万元） ，利用（2）中的结果回答问题：当月销 售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 0.01） 第 5 页（共 26 页） 参考数据：80.91 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为长方形，AB2BC4，E、F 分别为 AB、CD 的中点， 将ADF 沿 AF 折到ADF 的位置， 将BCE 沿 CE 折到BCE 的位置， 使得平面 ADF 底面 AECF，平面 BCE底面 AECF，连接 BD （1）求证：BD平面 AECF； （2）求三棱锥 BADF 的体
9、积 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 F（2，0）的动圆恒与 y 轴相切，FP 为该圆 的直径，设点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 A（2，4）的任意直线 l 与曲线 C 交于点 M，B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴 的平行线交曲线 C 于点 D，B 关于点 D 的对称点为 N，除 M 以外，直线 MN 与 C 是否有 其它公共点？说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1 （1）当 a1 时，判断函数的单调性； （2）讨论 f（x）零点的个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生
10、在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为（t 为参数， 为倾斜角） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 4sin （1）求 C2的直角坐标方程； （2）直线 C1与 C2相交于 E，F 两个不同的点，点 P 的极坐标为，若 2|EF| |PE|+|PF|，求直线 C1的普通方程 第 6 页（共
11、 26 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 a+b+c1证明： （1）9； （2）ac+bc+ababc 第 7 页（共 26 页） 2020 年广东省深圳市高考数学模拟试卷（文科） （年广东省深圳市高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 A1，2，3，4，5，B0， 2，
12、 4，6， 则集合 AB 的子集共有 （ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】求出集合的交集，写出子集，判断即可 【解答】解：已知集合 A1，2，3，4，5，B0，2，4，6， 则集合 AB2，4 则子集共有2，4，2，4，4 个 故选：B 【点评】考查集合的交集运算，考查子集问题，基础题 2 （5 分）若复数 z的实部为 0，其中 a 为实数，则|z|（ ） A2 B C1 D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 求得 a 值，进一步得到 z，再由 复数模的计算公式求解 【解答】解：z的实部为 0， a2， 则 z2i，则|z|2 故选：A 【点评】本题考查
13、复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法， 是基础题 3 （5 分）已知向量，且实数 k0，若 A、B、 C 三点共线，则 k（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】求出（2，2k） ，（k+1，2） ，由 A、B、C 三 第 8 页（共 26 页） 点共线，得，由此能求出 k 【解答】解：向量，且实数 k0， （2，2k） ，（k+1，2） ， A、B、C 三点共线， ， 由 k0，解得 k3 故选：D 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共线、向量垂直的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一
14、对兔子每个 月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡 现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就 是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 anan1+an2（n3，nN*） ，其中 a11，a2 1若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A B C D 【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，可得： 每三个数中有有一个偶数，即可得出结论 【解答】解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 可得
15、：每三个数中有一个偶数（并且是最后一个） ，可得：从该数列的前 100 项中随机地 抽取一个数，则这个数是偶数的概率 故选：B 【点评】本题考查了古典概率计算公式、斐波那契数列性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 5 （5 分）设，clog0.3，则下列正确的是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：b1a0c， 第 9 页（共 26 页） bac， 故选：D 【点评】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得
16、分数据（单 位：分） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值为（ ） A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案 【解答】解：由所有选项可知 x0，y9， 再由茎叶图可知： 甲队的数据中位数为：18， 乙队的数据中位数为：， 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等， 即18，解得 y7， 甲（7+12+16+20+20+x+31） ，乙（8+9+19+17+27+28） ， 甲乙，解得 x2， 故选：C 【点评】本题考查茎叶图，中位数和平均值，是基础题 7 （5 分）若双曲线（a0，b0）的焦距为，且渐近线经过
17、点（1，2） ， 则此双曲线的方程为（ ） A B 第 10 页（共 26 页） C D 【分析】依题意可得 a2+b2c25，b2a解得，即可求解 【解答】解：依题意可得 a2+b2c25， 渐近线经过点（1，2） ，（1，2）在直线上 b2a 由可得， 则此双曲线的方程为： 故选：B 【点评】本题考查了双曲线的方程、渐近线，属于基础题 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A12 B16 C24 D32 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何
18、体为： 如图所示：请旋转一下角度再看 第 11 页（共 26 页） 所以 V344416 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （5 分）已知函数的最大值、最小值分别为 3 和1，关于 函数 f（x）有如下四个结论： A2，b1； 函数 f（x）的图象 C 关于直线对称； 函数 f（x）的图象 C 关于点对称； 函数 f（x）在区间内是减函数 其中，正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得 A 和 b 的值结合正弦函数性质对命题
19、逐一 判断即可 【解答】 解： 由于函数 f （x） Asin （x+） +b 的最大值为 3， 最小值为1， 可得； A2，b1，故 f（x）2sin（x+）+1 故正确； 直线代入 x+，故函数 f（x）的图象 C 关于直线对称；正 确； 点代入， 得 f （x+） 2sin+11； 故函数 f （x） 的图象 C不关于点 对称；不正确； 当 x时，x+（，） 故函数 f（x）在区间内是 减函数正确； 正确的结论个数是：3 个； 故选：C 【点评】本题主要考查正弦函数的最值，正弦型函数的性质，整体法思想，属于中档题 第 12 页（共 26 页） 10 （5 分）函数 f（x）cosxln（
20、x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 【解答】解：， 函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 AD； 当 x 时，故排除 C 故选：B 【点评】本题考查函数图象的确定，属于基础题 第 13 页（共 26 页） 11 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和 B1C1 的中点分别为 E、F，则 AE 与 CF 夹角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，可以点 B 为原点，直线 BA，BC，BB1分别为 x，y，z 轴，建立空间 直 角 坐 标 系 ， 然 后 可 求 出，
21、 然 后 可 求 出 ，从而可得出 AE 与 CF 夹角的余弦值 【解答】解：分别以直线 BA，BC，BB1为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则： A（2，0，0） ，E（0，0，1） ，C（0，2，0） ，F（0，1，2） ， ， ， AE 与 CF 夹角的余弦值为 故选：B 【点评】本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异 面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计 算能力，属于基础题 12 （5 分）函数 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若 xf（x） 第 14 页（共 26 页）
22、 +f（x）（1x）ex，且 f（2）0，则 f（x）0 的解集为（ ） A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （1，4） 【分析】令 g（x）xf（x） ，结合已知可求函数 g（x）的单调性，然后结合特殊点 g（0） g（2）0 及单项即可求解 【解答】解：令 g（x）xf（x） ，则 g（x）xf（x）+f（x）（1x）ex， 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（1，+）时，g（x）0， 函数单调递减， 又因为 f（2）0，所以 g（2）2f（2）0，g（0）0， 由 f（x）0 可得，xf（x）0 即 g（x）0， 所以 0x2 故选：B 【点评】本题
23、主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，解题的关键是进行合 理的构造 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 sin（+），则 sin2 【分析】 利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为 21， 运 算求得结果 【解答】解：， sin2cos（2+）cos2（+）21， 故答案为 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，属于中档题 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b） （sinAsinB） （ac）sinC，b2，则ABC 的外接圆面
24、积为 【分析】ABC 中，由条件利用正弦定理可得 a2+c2b2a，求得 cosB的值，即可求 得 B 的值利用正弦定理，圆的面积公式即可求解 【解答】解：ABC 中，由（a+b） （sinAsinB）（ac）sinC0， 利用正弦定理可得： （a+b） （ab）（ac）c0，即 a2+c2b2a， 第 15 页（共 26 页） cosB， B b2， 设ABC 的外接圆半径为 R，可得 2R，可得 R，可得ABC 的 外接圆面积 SR2 故答案为： 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为 4
25、 【分析】作出轴截面，设圆柱体的底面半径为 r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距 满足勾股定理，我们可以用 R 与 r 表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结 合基本不等式，即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值 【解答】解：作出轴截面如右 设圆柱体的底面半径为 r， 则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为 d， 则 d， 则圆柱的高为 h2， 则圆柱的体积 Vr2h2r2r2 4， 当且仅当 r262r2，即 r时， 圆柱的体积取最大值，且为 4 故答案为：4 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查球的截面的性质，考查圆柱的体积的最大值，运用三元均值不等 式是解题的关
26、键，属于中档题 16 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，其焦距为 2c， O 为坐标原点，点 P 满足|OP|2a，点 A 是椭圆 C 上的动点，且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成 立，则椭圆 C 离心率的取值范围是 ，1） 【分析】因为|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立，而|PA|+|AF1|PA|+2a|PF2|PF2|+2a，当且仅 当，P，F2，A 三点共线时，取等号又点 P 的轨迹是以 O 圆心，半径为 2r 的圆上，所以 点 P 到圆内点 F2的最大距离为半径与|OF2|的和，可得 6c4a+c 可得离心率，又椭圆的 离心率的取值范围，进
27、而可得本题的范围 【解答】解：为使|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立，只需 3|F1F2|（|PA|+|AF1|）max恒成立， 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|2a， 所以|PA|+|AF1|PA|+2a|AF2|PF2|+2a，当且仅当 P，F2，A 三点共线时，取等号，F2 在线段 PA 上， 又点 P 的轨迹是以 O 圆心，半径为 2r 的圆上，所以点 P 到圆内点 F2的最大距离为半径 与|OF2|的和，即|PF2|2a+c， 所以|PA|+|AF1|PF2|+2a2a+c+2a4a+c， 所以 6c4a+c，即 5c4a，所以可得离心率 e， 又 e1， 所以离心率的范
28、围：，1） 故答案为：，1） 【点评】考查椭圆的性质，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an，a14， （n+1）an+1nan4（n+1） （nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn前 n 项和为 Tn 第 17 页（共 26 页） 【分析
29、】本题第（1）题根据递推式可用累加法求出数列an的通项公式；第（2）题先 根据第 （1） 题的结果计算出数列bn的通项公式， 然后用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）依题意，由（n+1）an+1nan4（n+1） （nN*） ，可得 2a2a18， 3a32a212， nan（n1）an14n 各项相加，可得 nana18+12+4n， nan4+8+12+4n， an2n+2，nN* （2）由（1）知，bn（） 故 Tnb1+b2+bn （）+（）+（） （+） （） 【点评】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项公式，以及用裂项相消法计算出数 列前 n 项和考查了整体
30、思想，转化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力本题 属中档题 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y（单位：万 件）与月销售单价 x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 yi和月销售单 价 xi（i1，2，3，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价 x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量 y（万件） 89 83 82 79 74 67 第 18 页（共 26 页） （1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归 直线方程分别为： 4x+105， 4x+53 和 3x
31、+104，其中有且仅有一位实习员 工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正 确的，并说明理由； （ 2 ） 若 用 y ax2+bx+c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 +0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 R2分别为 0.9702 和 0.9524，请用 R2说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为 z（单位：万元） ，利用（2）中的结果回答问题：当月销 售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 0.01） 参考数据：80.91 【分析】
32、 （1）由变量 x，y 具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证 甲与丙得答案； （2） 由 R2越大， 残差平方和越小， 拟合效果越好， 可得选用+0.875x+90.25 更好； （3）求出 z 关于 x 的函数关系式，再由导数求最值 【解答】解： （1）已知变量 x，y 具有负相关关系，故乙不对 ， 代入甲和丙的回归方程验证甲正确； （2）0.97020.9524，且 R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 选用+0.875x+90.25 更好； （3）由题意可知， 即，则 z 令 z0，解得 x（舍去）或 x 令，当 x（0，x0）时，z 单调递增，当 x（x0，+）时
33、，z 单调递减 当 xx0时，商品的月销售额预报值最大， ，x9.77 当 x9.77 时，商品的月销售额最大 第 19 页（共 26 页） 【点评】本题考查线性回归方程，训练了利用导数求最值，是中档题 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为长方形，AB2BC4，E、F 分别为 AB、CD 的中点， 将ADF 沿 AF 折到ADF 的位置， 将BCE 沿 CE 折到BCE 的位置， 使得平面 ADF 底面 AECF，平面 BCE底面 AECF，连接 BD （1）求证：BD平面 AECF； （2）求三棱锥 BADF 的体积 【分析】 （1）作 DMAF 于 M，作 BNEC 于点 N，从而
34、 M，N 为 AF，CE 的中点， 且，推导出 DM底面 AECF，BN底面 AECF，DMBN，四 边形 DBNM 是平行四边形，BDMN，由此能证明 BD平面 AECF （2）设点 B到平面 ADF 的距离为 h，连结 NF，B到平面 ADF 的距离与点 N 到 平面 ADF 的距离相等，求出点 B到平面 ADF 的距离 h，由此能求出三棱锥 BADF 的体积 【解答】解： （1）证明：作 DMAF 于 M，作 BNEC 于点 N， ADDF2，BCBE2，ADFCBE90， M，N 为 AF，CE 的中点，且， 平面 ADF底面 AECF，平面 ADF底面 AECFAF， DMAF，DM
35、平面F，DM底面 AECF， 同理：BN底面 AECF，DMBN， 四边形 DBNM 是平行四边形，BDMN， BD平面 AECF，MN平面 AECF，BD平面 AECF （2）解：设点 B到平面 ADF 的距离为 h，连结 NF， DMBN，DM平面 ADF，BN平面 ADF， BN平面 ADF， B到平面 ADF 的距离与点 N 到平面 ADF 的距离相等， 第 20 页（共 26 页） N 为 CE 中点，EF2，NFCE， AFCE，NFAF， 平面 ADF底面 AECFAF，NF底面 AECF， NF平面 ADF， 点 N 到平面 ADF 的距离为 NF， 点 B到平面 ADF 的距
36、离 h， SADF， 三棱锥 BADF 的体积 VBADF 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三村锥的体积求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 F（2，0）的动圆恒与 y 轴相切，FP 为该圆 的直径，设点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 A（2，4）的任意直线 l 与曲线 C 交于点 M，B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴 的平行线交曲线 C 于点 D，B 关于点 D 的对称点为 N，除 M 以外，直线 MN 与 C 是否有 其它公共点？说明理由 【分
37、析】 （1）设 P 的坐标，过 P 做 y 轴的垂线交于点 H，及与直线 x2 交于一点，得 E 到 y 轴的距离为半径 r，又是梯形的中位线可得 P 到定点 F 的距离等于到定直线 x 2 的距离，由抛物线的定义可得，P 的轨迹为抛物线，并且焦点 F（2，0） ，准线为 x 2 的抛物线； （2）分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设 M 的坐标，可得中点 B 的坐标，由 题意可得 D 的坐标，进而可得 N 的坐标，求出直线 MN，与抛物线方程联立，由判别式 为 0 可得直线除 M 点外，没有其他的公共点 【解答】解： （1）如图，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 H，交直线 x2
38、于 P， 第 21 页（共 26 页） 设动圆的圆心为 E，半径为 r，则 E 到 y 轴的距离为 r，在梯形 OFPH 中，由中位线性质 可得 PH2r2， 所以|PP|2r2+22r，又|PF|2r， 所以|PF|PP|， 由抛物线的定义知，点 P 是以 F（2，0）为焦点，以直线 x2 为准线的抛物线， 所以曲线 C 的方程为：y28x； （2）由 A（2，4）可得 A 在求出 C 上， （i 当直线 l 的斜率存在时，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） （x12） ，则 y128x1， AM 的中点 B（，） ，即 B（+1，+2） ， 在方程 y28x 中，令 y+2，得 x（
39、+2）2，所以 D（，） ， 第 22 页（共 26 页） 设 N（x2，y2） ，由中点坐标公式可得 x2（+2）2， 又 y128x1，代入化简 x2， 所以 N（，+2） ， 直线 MN 的斜率为：， 所以直线 MN 的方程为：y（xx1）+y1， 将 x1代入化简可得：yx+， 将 x代入式整理可得 y22y1y+y120，4y124y120， 所以直线 MN 与抛物线相切， 所以除 M 点外，直线 MN 与 C 没有其他的公共点 （ii）当直线 MN 的斜率不存在时M（2，4） ，B（2，0） ，D（0，0） ，N（2，0） ， 直线 MN 的方程为：yx2 代入抛物线的方程可得 x
40、24x+40，42440， 所以除 M 点外，直线 MN 与 C 没有其他的公共点 综上所述，除 M 点外直线 MN 与 C 没有其他的公共点 【点评】考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系和中点坐标的关系，属于中难题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1 （1）当 a1 时，判断函数的单调性； （2）讨论 f（x）零点的个数 【分析】 （1）把 a1 代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数 的单调性； （2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定 定理即可求解 第 23 页（共 26 页） 【解答】解：
41、 （1）a1 时，f（x）（x1）lnxx2+2x1， 令 h（x），则， 易得函数 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故 h（x）h（1）0 即 f（x）0， 所以 f（x）在（0，+）上单调递减； （2）由 f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1 可得 f（1）0，即 x1 为函数 f（x） 的一个零点， 设 g（x）lnx+ax+1，则 f（x）的零点个数即为 g（x）的不为 1 的零点个数加上 1， （i）当 a1 时，由（1）知 f（x）单调递减，且 x1 是 f（x）的零点，故 f（x）有且 只有 1 个零点 1； （ii）当 a0 时，g（x）单调递
42、增且 g（1）0， g（x）lnx+ax+1，0x1， 因为 ax2+（a+3）x1（a+4）x2+（a+3）x1（a+4）x1（x+1） ， 所以 g（）0， 综上可知，g（x）在（0，+）上有 1 个零点且 g（1）9， 所以 f（x）有 2 个零点 （iii）又，所以当1a0 时，g（x）在（0，）上单调递增，在（ ）上单调递减， 故 g（x）的最大值 g（）ln（）0， 又 g（x）0，且 g（）0，g（）0， 所以 g（x）在（0，）上有 1 个零点，在（）上有 1 个零点且 x0 也是 零点， 此时 f（x）共有 3 个零点， （iv）又，所以当 a1 时，g（x）在（0，）上单调
43、递增，在（ ）上单调递减， 第 24 页（共 26 页） 故 g（x）的最大值 g（）ln（）0， 故 g（x）没有零点，此时 f（x）只有 1 个零点， 综上可得，当 a1 时，f（x）有 1 个零点；当1a0 时，f（x）有 3 个零点，当 a 0 时，f（x）有 2 个零点 【点评】本题主要考查了利用函数求解函数的单调性及零点个数的判断，体现了分类讨 论思想及转化思想的应用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选两题中任选一题作答注意：只能做所选定一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的
44、第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为（t 为参数， 为倾斜角） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 4sin （1）求 C2的直角坐标方程； （2）直线 C1与 C2相交于 E，F 两个不同的点，点 P 的极坐标为，若 2|EF| |PE|+|PF|，求直线 C1的普通方程 【分析】 （1）曲线 C2的极坐标方程为 4sin即 24sin，利用互化公式可得普通 方程 （2）点 P 的极坐标为，可得直角坐标为（2，0） 把直线 C1的参数方 程为（t 为参
45、数， 为倾斜角） ，代入 C2方程可得：t2 （4cos+4sin）t+120，0，由 为锐角可得：sin（+），解得：0 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： |EF| 4，|PE|+|PF|t1|+|t2|t1+t2|8|sin（+）|，解出 即可得出 【解答】 解： （1） 曲线 C2的极坐标方程为 4sin 即 24sin， 可得普通方程： x2+y2 4y （2）点 P 的极坐标为，可得直角坐标为（2，0） 把直线 C1的参数方程为（t 为参数， 为倾斜角） ，代入 C2方程可 第 25 页（共 26 页） 得：t2（4cos+4sin）t+120，480， 可得：sin（+），或 sin（+），由
