1、2020 年太原市高考数学三模试卷（理科）年太原市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1 已知集合 Ax|x23x+20， Bx|x+1a， 若 ABR， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A2，+） B（，2 C1，+） D（，1 2若复数 z 满足 z（12i） i，则复平面内 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 ab1，c0，则（ ） A Bcacb Cacbc Dloga（bc）logb（ac） 4已知 sincos ，（0，），则 tan 的值是（ ） A1 B C D1 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问
2、题，松长三尺，竹长一尺， 松日自半， 竹日自倍， 松竹何日而长等， 如图是源于其思想的一个程序框图， 若输入的 a， b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） A5 B4 C3 D2 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1a38，且 S313，则 a2（ ） A3 B3 C D3 或 7平面向量 ， 共线的充要条件是（ ） A B ， 两向量中至少有一个为零向量 CR， D存在不全为零的实数 1，2，1 2 8根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行 调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A B C D
3、9把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 个单位后，得到函数 yg（x）的图象则 g（x） 的解析式是（ ） A B C D 10已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数 a 满 足 f（log2a）+f（ ）2f（1），则 a 的取值范围是（ ） A ， B1，2 C ， D（0，2 11已知抛物线 C：x28y，过点 M（x0，y0）作直线 MA、MB 与抛物线 C 分别切于点 A、 B，且以 AB 为直径的圆过点 M，则 y0的值为（ ） A1 B2 C4 D不能确定 12 点M在曲线G： y3lnx上， 过M作x轴垂线l， 设l与曲线y 交于点
4、N， 若 ， 且 P 点的纵坐标始终为 0，则称 M 点为曲线 G 上的“水平黄金点”则曲线 G 上的“水平 黄金点”的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知函数 f（x） ， ， 则 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为 ，则 A 15 设 F1， F2分别是双曲线 ， 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 P， 使F1PF260，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为 16正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，F 是侧面 CDD1C1上的动点，且 B1F
5、平面 A1BE，记 B1与 F 的轨迹构成的平面为 F，使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 ， 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的各个侧面中，与 所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 （写出所有正确的命题序号） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，b2 ，anbn+1+bn+1n
6、bn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cn ，求数列cn的前 n 项和 Sn 18 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法， 为了了解居民对垃圾分类的知晓 率和参与率， 引导居民积极行动， 科学地进行垃圾分类， 某小区随机抽取年龄在区间25， 85上的 50 人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表： 年龄 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 75，85） 频数 5 10 10 15 5 5 了解 4 5 8 12 2 1 （1）填写下面 2x2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为以 65 岁为分界点居
7、民对了解垃圾分类的有关知识有差异； 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a c 不了解 b d 合计 （2）若对年龄在45，55），25，35）的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研，记 选中的 4 人中不了解垃圾分类的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考公式和数据 K2 ，其中 na+b+c+d P（K2k0 ） 0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知四边形 AA1
8、C1C 为矩形，AA16，ABAC4， BACBAA160，A1AC 的角平分线 AD 交 CC1于 D （）求证：平面 BAD平面 AA1C1C； （）求二面角 AB1C1A1的余弦值 20已知椭圆 C： （ab0）的焦距为 2，且过点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点 O 为BMN 的重心，求点 O 到 直线 MN 距离的最小值 21已知函数 f（x）xlnxax2（aR） （1）讨论函数的极值点个数； （2）若 g（x）f（x）x 有两个极值点 x1，x2，试判断 x1+x2与 x1 x2的大小关系并证 明 （二）选考题：共 10 分
9、请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2），倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4； （2） 对任意的实数 m， 若总存在实数 x， 使得 m22
10、m+4f （x） ， 求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1 已知集合 Ax|x23x+20， Bx|x+1a， 若 ABR， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A2，+） B（，2 C1，+） D（，1 【分析】求出集合 A，B，由 ABR，能求出实数 a 的取值范围 解：集合 Ax|x23x+20x|x1 或 x2， Bx|x+1ax|xa1，ABR， a11，解得 a2， 实数 a 的取值范围是（，2 故选：B 2若复数 z 满足 z（12i） i，则复平面内 对应的点位于（
11、 ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出 解：z（12i） i2+i， 2i 在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限 故选：D 3已知 ab1，c0，则（ ） A Bcacb Cacbc Dloga（bc）logb（ac） 【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果 解：由于 ab1，所以 0 ，c0，故 ，选项 A 错误 当 c2，a3，b2 时，cacb，故选项 B 错误 由于 ab1，c0，故 acbc，选项 C 正确 由于 ab1，c0，所以 acbc，故 loga（bc）logb（ac），故错误 故
12、选：C 4已知 sincos ，（0，），则 tan 的值是（ ） A1 B C D1 【分析】由条件可得 12sincos2，求得 sin21，可得 2 的值，从而求得 tan 的值 解：已知 ， ， ，12sincos2，即 sin21， 故 2 ， ，tan1 故选：A 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺， 松日自半， 竹日自倍， 松竹何日而长等， 如图是源于其思想的一个程序框图， 若输入的 a， b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 a，b 的值并输出
13、变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 a3，b1 n1 a ，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a ，b4 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a ，b8 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a ，b16 此时，满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1a38，且 S313，则 a2（ ） A3 B3 C D3 或 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比 数列的通项公式即可求解 解：设公比为 q，易知 q1 由 得 ，
14、解得 或 ， 当 时，a2a1q3； 当 时， 所以 a2 3 或 ， 故选：D 7平面向量 ， 共线的充要条件是（ ） A B ， 两向量中至少有一个为零向量 CR， D存在不全为零的实数 1，2，1 2 【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量 ， 共线， 则存在不为零的实数 ，使 （ ）， 即 ， 其等价命题为存在不全为零的实数 1，2，1 2 故选：D 8根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行 调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A B C D 【分析
15、】每个县区至少派一位专家，基本事件总数 n 36，甲，乙两位专家派遣 至同一县区包含的基本事件个数 m 6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同 一县区的概率 解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家， 基本事件总数 n 36， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 m 6， 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 p 故选：A 9把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 个单位后，得到函数 yg（x）的图象则 g（x） 的解析式是（ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 解：把函数 f（x）sin2
16、x cos2x 的图象向右平移 个单位后， 得到函数 yg（x） cos（2x ）的图象， 故选：C 10已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数 a 满 足 f（log2a）+f（ ）2f（1），则 a 的取值范围是（ ） A ， B1，2 C ， D（0，2 【分析】由偶函数的性质将 f（log2a）+f（ ）2f（1）化为：f（log2a）f（1）， 再由 f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出 a 的取值范围 解：因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， 所以 f（ ）f（log2a）f（log2a）， 则 f（log2a）+f（
17、）2f（1）为：f（log2a）f（1）， 因为函数 f（x）在区间0，+）上单调递增， 所以|log2a|1，解得 a2， 则 a 的取值范围是 ，2， 故选：A 11已知抛物线 C：x28y，过点 M（x0，y0）作直线 MA、MB 与抛物线 C 分别切于点 A、 B，且以 AB 为直径的圆过点 M，则 y0的值为（ ） A1 B2 C4 D不能确定 【分析】设出 AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过 M，转化求解 y0的值 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2，由 x28y，可得 y ，所以 kMA ，kMB ， 因为过点 M（x0，y0）作直线 MA、MB 与抛物
18、线 C 分别切于点 A、B，且以 AB 为直径的 圆过点 M， 所以，kMA kMB 1，可得 x1x216，直线 MA 的方程为：yy1 （x x1），x1x4（y+y1）， 同理直线 MB 的方程为：yy2 （xx2），x2x4（y+y2）， x2x1，可得 y 2，即 y02， 故选：B 12 点M在曲线G： y3lnx上， 过M作x轴垂线l， 设l与曲线y 交于点N， 若 ， 且 P 点的纵坐标始终为 0，则称 M 点为曲线 G 上的“水平黄金点”则曲线 G 上的“水平 黄金点”的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】设 M（x1，3lnx1），可得直线 l 的方程，联立曲线
19、y ，可得 N 的坐标，再由 向量的加法运算可得 P 的坐标，再由 P 的纵坐标始终为 0，考虑方程的解的个数，设出 函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数 解：设 M（x1，3lnx1），则直线 l：xx1，由 可得 y ，即 N（x1， ）， （2x 1，3lnx1 ）（ ，lnx1 ）， 又 P 的纵坐标始终为 0，即 lnx1 0， 可令 f（x）lnx （x0），导数为 f（x） ，由 f（x）0，可 得 x ， 则当 0x 时，f（x）0，f（x）递减；x 时，f（x）0，f（x）递增 可得 f（x）在 x 处取得极小值，且为最小值 f（ ）ln 11
20、ln3， 由 1ln30，则 f（x）在（0，+）有两个零点，即方程 lnx1 0 有两个不等实根， 所以曲线 G 上的“水平黄金点”的个数为 2， 故选：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知函数 f（x） ， ， 则 8 【分析】依题意得 f（ ）3，从而 f（f（ ）f（3），由此能求出结果 解：函数 f（x） ， ， 则 f（ ）log 3； f（3）3 218 故答案为：8 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为 ，则 A 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 解：由余弦定理可得 a2b
21、2c22bccosA， ABC 的面积为 ， 又因为 SABC ， 所以 tanA ， 由 A（0，）可得 A 故答案为： 15 设 F1， F2分别是双曲线 ， 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 P， 使F1PF260，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为 【分析】根据点 P 为双曲线上一点，F1PF260，且|PF1|2|PF2|，推出 P 的位置， 然后求解双曲线的离心率 解： F1， F2分别是双曲线 ， 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 P， 使F1PF260，且|PF1|2|PF2|， 可知：PF2F1F2， |PF2| ，tanF1PF2 ，即 2ac （c2a2），
22、 可得 e22e 0，e1， e 故答案为： 16正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，F 是侧面 CDD1C1上的动点，且 B1F 平面 A1BE，记 B1与 F 的轨迹构成的平面为 F，使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 ， 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的各个侧面中，与 所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 （写出所有正确的命题序号） 【分析】分别取 CC1和 C1D1的中点为 M，N，连接 MN、MB1、NB1，然后利用面面平行 的判定定理证明平面 MNB1平
23、面 A1BE，从而确定平面 MNB1就是平面 当 F 为线段 MN 的中点时，可证明； 利用平移的思想，将直线 B1F 与直线 BC 所成角转化为 B1F 与 B1C1所成的角，由于 B1C1平面 MNC1，所以 tanFB1C1即为所求，进而求解即可； 平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所求，也就是求出 tanB1QC1即可； 由正方体的对称性和二面角的含义即可判断 解：如图所示， 设正方体的棱长为 2，分别取 CC1和 C1D1的中点为 M，N，连接 MN、MB1、NB1，则 MNA1B，MB1EA1， MN、MB1平面 MNB1，A1B、EA1平面 A1BE，且 MNM
24、B1M，A1BEA1A1， 平面 MNB1平面 A1BE， 当 F 在 MN 上运动时，始终有 B1F平面 A1BE，即平面 MNB1就是平面 对于，当 F 为线段 MN 的中点时，MB1NB1，B1FMN，MNCD1，B1F CD1，即正确； 对于，BCB1C1，直线 B1F 与直线 B1C1所成的角即为所求， B1C1平面 MNC1，C1F平面 MNC1，B1C1C1F， 直线 B1F 与直线 B1C1所成的角为FB1C1，且 tanFB1C1 ， 而 FC1的取值范围为 ， ，B1C12，所以 tanFB1C1 ， ，即正确； 对于，平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所
25、求， 取 MN 的中点 Q，因为 B1C1平面 MNC1，所以B1QC1就是所求角， 而 tanB1QC1 ，即正确； 对于，由对称性可知，与 所成的锐二面角相等的面有平面 BCC1B1，平面 ADD1A1， 平面 A1B1C1D1，平面 ABCD，即正确 故答案为： 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，b2 ，anbn+1+bn+1nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设
26、cn ，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】（1）先由题设条件求得 a1，再求 an，进而论证数列nbn是常数列，最后求得 bn； （2）先由（1）求得 cn，再由错位相减法求 Sn 解： （1） 由已知得： a1b2+b2b1， a11 又an是公差为 1 的等差数列， ann anbn+1+bn+1nbn， （n+1）bn+1nbn，所以数列nbn是常数列，nbnb11，bn ； （2）由（1）得：cn n （ ） n， Sn 1 2（ ） 2+3（ ） 3+n （ ） n， 又 S n1（ ） 2+2（ ） 3+3（ ） 4+n （ ） n+1， 由可得： S n （ ） 2+（ ）
27、 3+（ ） nn （ ） n+1 n （ ） n+1 1（n+2） （ ） n+1， Sn2（n+2） （ ） n 18 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法， 为了了解居民对垃圾分类的知晓 率和参与率， 引导居民积极行动， 科学地进行垃圾分类， 某小区随机抽取年龄在区间25， 85上的 50 人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表： 年龄 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 75，85） 频数 5 10 10 15 5 5 了解 4 5 8 12 2 1 （1）填写下面 2x2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的
28、前提下认为以 65 岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异； 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a c 不了解 b d 合计 （2）若对年龄在45，55），25，35）的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研，记 选中的 4 人中不了解垃圾分类的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考公式和数据 K2 ，其中 na+b+c+d P（K2k0 ） 0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据题意填写列
29、联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望 值 解：（1）根据题意填写 2x2 列联表， 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a29 c3 32 不了解 b11 d7 18 合计 40 10 50 计算 K2 6.2726.635， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下， 认为以 65 岁为分界点居民对了解垃圾分 类的有关知识有差异； （2）由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3； 计算 P（X0） ， P（X1） ， P（X2） ， P（X3） ； 所以随
30、机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 X 的数学期望为 E（X）0 1 2 3 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知四边形 AA1C1C 为矩形，AA16，ABAC4， BACBAA160，A1AC 的角平分线 AD 交 CC1于 D （）求证：平面 BAD平面 AA1C1C； （）求二面角 AB1C1A1的余弦值 【分析】（）过点 D 作 DEAC 交 AA1于 E，连接 CE，BE，设 ADCEO，连接 BO，推导出 DEAE，四边形 AEDC 为正方形，CEAD，推导出BACBAE，从而 BCBE，CEBO，从而 CE平面 BAD，由此能证明平面 BAD平面
31、AA1C1C （） 推导出 BOAD， BOCE， 从而 BO平面 AA1C1C， 建立空间直角坐标系 Oxyz， 利用向量法能求出二面角 AB1C1A1的余弦值 解：（）如图，过点 D 作 DEAC 交 AA1于 E，连接 CE，BE， 设 ADCEO，连接 BO，ACAA1，DEAE， 又 AD 为A1AC 的角平分线，四边形 AEDC 为正方形，CEAD， 又ACAE，BACBAE，BABA，BACBAE，BCBE， 又O 为 CE 的中点，CEBO， 又AD，BO平面 BAD，ADBOO，CE平面 BAD 又CE平面 AA1C1C，平面 BAD平面 AA1C1C （）在ABC 中，AB
32、AC4，BAC60，BC4， 在 RtBOC 中， ， ， 又 AB4， ，BO2+AO2AB2，BOAD， 又 BOCE，ADCEO，AD，CE平面 AA1C1C，BO平面 AA1C1C， 故建立如图空间直角坐标系 Oxyz， 则 A（2，2，0），A1（2，4，0），C1（2，4，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 AB1C1的一个法向量为 ， ， ， 则 ， ， 令 x1 6，得 ， ， ， 设平面 A1B1C1的一个法向量为 ， ， ， 则 ， ，令 ，得 ， ， ， ， ，故二面角 AB1C1A1的余弦值为 20已知椭圆 C： （ab0）的焦距为 2，且过
33、点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点 O 为BMN 的重心，求点 O 到 直线 MN 距离的最小值 【分析】（1）由题意焦距的值可得 c 的值，再由过点的坐标，及 a，b，c 之间的关系求 出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）分 B 的纵坐标为 0 和不为 0 两种情况讨论，设 B 的坐标，由 O 是三角形的重心可 得 MN 的中点的坐标，设 M，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线 MN 的斜率， 求出直线 MN 的方程，求出 O 到直线 MN 的距离的表达式，再由 B 的纵坐标的范围求出 d 的取值范围，进而求出 d 的最
34、小值 解：（1）由题意可得： ，解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为： 1； （2）设 B（m，n），记线段 MN 中点 D， 因为 O 为BMN 的重心，所以 2 ，则点 D 的坐标为：（ ， ）， 若 n0，则|m|2，此时直线 MN 与 x 轴垂直， 故原点 O 到直线 MN 的距离为 ，即为 1， 若 n0，此时直线 MN 的斜率存在， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2m，y1+y2n， 又 1， 1， 两式相减 0， 可得：kMN ， 故直线 MN 的方程为：y （x ） ，即 6mx+8ny+3m 2+4n20， 则点 O 到直线 MN 的距离 d ， 将
35、 1，代入得 d ， 因为 0n23，所以 dmin ， 又 1， 故原点 O 到直线 MN 的距离的最小值为 21已知函数 f（x）xlnxax2（a一、选择题） （1）讨论函数的极值点个数； （2）若 g（x）f（x）x 有两个极值点 x1，x2，试判断 x1+x2与 x1 x2的大小关系并证 明 【分析】（1）先求出 f（x）lnx+x 2axlnx2ax+1（x0），令 f（x）0，得 2a ，记 Q（x） ，则函数 f（x）的极值点个数转化为函数 Q（x）与 y2a 的交点个数，再利用导数得到 Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+） 上是减函 数，且 Q（x）maxQ（1）1，
36、对 a 分情况讨论，即可得到函数 f（x）的极值点个数情 况； （2）g（x）xlnxax2x，g（x）lnx2ax（x0），令 g（x）0，则 lnx2ax 0，所以 2a ，记 h（x） ，利用导数得到 h（x）在（0，e ）上是增函数，在（e， +）上是减函数，h（x）maxh（e） ，当 xe 时，f（x）0，所以当 02a 即 1a 时 g（x） 有 2 个极值点 x1，x2，从而得到 ，所以 ln（x1+x2）ln （x1x2），即 x1+x2x1x2 解：（1）f（x）lnx+x 2axlnx2ax+1（x0）， 令 f（x）0，得 2a ，记 Q（x） ，则 Q（x） ， 令
37、Q（x）0，得 0x1；令 Q（x）0，得 x1， Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+） 上是减函数，且 Q（x）maxQ（1） 1， 当 2a1，即 a 时，f（x）0 无解，f（x） 无极值点， 当 2a1，即 a 时，f（x）0 有一解，2a ，即 lnx2ax+10，f（x）0 恒 成立，f（x）无极值点， 当 02a1，即 0a 时，f（x）0 有两解，f（x）有 2 个极值点， 当 2a0，即 a0 时，f（x）0 有一解，f（x）有一个极值点， 综上所述：当 a 时，f（x）无极值点；0a 时，f（x）有 2 个极值点；当 a0 时， f（x）有 1 个极点； （2）g（
38、x）xlnxax2x，g（x）lnx2ax（x0）， 令 g（x）0，则 lnx2ax0，2a ， 记 h（x） ，则 h（x） ， 由 h（x）0 得 0xe，由 h（x）0，得 xe， h（x）在（0，e ）上是增函数，在（e，+）上是减函数，h（x）maxh（e） ， 当 xe 时，f（x）0， 当 02a 即 1a 时 g（x） 有 2 个极值点 x1，x2， 由 得，ln（x1x2）lnx1+lnx22a（x1+x2）， ， 不妨设 x1x2，则 1x1ex2，x1+x2x2e， 又 h（x）在（e，+） 上是减函数， 2a ， ln（x1+x2）ln（x1x2）， x1+x2x1x
39、2 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2），倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：
40、 （1）曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，转换为直角坐标方程为 （x3） 2+y29 直线 l 过点 M（0，2）， 倾斜角为 整理得参数方程为 （t 为参数） （2） 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 ， 整理得 ， 所以： ，t1t24， 所以求 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4； （2） 对任意的实数 m， 若总存在实数 x， 使得 m22m+4f （x） ， 求实数 a 的取值范围 【分析】（1）将 a1 代入 f（x）中，再利用零点分段法解不等式 f（x）4 即可； （2）根据条件可知，m22m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集，然后求出 f（x）的值 域和 m22m+4 的取值范围，再求出 a 的范围 解：（1）当 a1 时，f（x）|x+1|+|x2| ， ， ， f（x）4， 或 或 ， 或1x2 或 ， ， 不等式的解集为x| （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m22m+4f（x）， m22m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集 f（x）|x+1|+|x2a|2a+1|，f（x）的值域为|2a+1|，+）， 又 m22m+4（m1）2+33，|2a+1|3， 2a1， 实数 a 的取值范围为2，1
