1、据报道，2020 年全国硕士研究生招生规模比去年增加 18.9 万左右，数据“18.9 万”用科学记数法表示为（ ） A1.89103 B1.89104 C1.89105 D18.9103 3 （2 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A立方体 B长方体 C圆锥 D直三棱柱 4 （2 分）如图，直线 a、b 被直线 c、d 所截，若12，3115，则4 的度数为 （ ） A55 B60 C65 D75 5 （2 分）已知甲、乙两数的和是 7，甲数比乙数的 2 倍少 2，设甲数为 x，乙数为 y，根据 题意列方程组正确的是（ ） A B C D 6（2 分） 关于 “可能性是 1%
2、的事件在 100 次试验中发生的次数” ， 下列说法错误的是 （ ） 第 2 页（共 30 页） A可能一次也不发生 B可能发生一次 C可能发生两次 D一定发生一次 7 （2 分）下列计算正确的是（ ） Ab3b3b Bb3b3b6 Ca2+a22a4 D （a3）3a6 8 （2 分）抽样调查某班 10 名同学身高（单位：厘米）如下：165，152，165，152，165， 160，170，160，165，159则这组数据的众数是（ ） A152 B160 C165 D170 9 （2 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC，下列条件中不能判断ABC AED 的是（注意对应
3、点） （ ） AAEDB BADEC C D 10 （2 分）关于二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数） ，下列描述错误的是（ ） A当 m2 时，函数的最大值是1 B函数图象的顶点始终在直线 yx+1 的图象上 C当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2 D当 m0 时，函数图象的顶点及函数图象与 x 轴的两个交点构成的三角形是等腰直角 三角形 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：ab24a 12 （3 分）分别写有数字、4、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任 意抽取一张，抽到无理数的概率是 1
4、3 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P 在直线 yx+b 的图象上，且点 P 在第二象限，PA x 轴于点 A，PBy 轴于点 B，四边形 OAPB 是面积为 25 的正方形，则直线 yx+b 的 函数表达式是 14 （3 分）如图，点 A，B，C 在同一个圆上，ACB90，弦 AB 的长度等于该圆半径 的倍，则 cosACB 的值是 第 3 页（共 30 页） 15 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数）的图象如图所示，则反比例函数 y的图象所在的象限是第 象限 16 （3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 10，sinA，点 M 为边 AD 上的一个动点且不与
5、 点 A 和点 D 重合，点 A 关于直线 BM 的对称点为点 A，点 N 为线段 CA的中点，连接 DN，则线段 DN 长度的最小值是 三、 （三、 （17 题题 6 分，分，18 题、题、19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：|2|+（1）04sin60（2）2 18 （8 分）某校为了做好“营造清洁生活环境”活动的宣传，对本校学生进行了有关知识 的测试，测试后随机抽取了部分学生的测试成绩，按“优秀、良好、及格、不及格”四 个等级进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 第 4 页（共 30 页） （1）求抽取的学生总人数； （2）抽取的学
6、生中，等级为“优秀”的人数为 人；扇形统计图中等级为“不合 格”部分的圆心角的度数为 ； （3）补全条形统计图； （4）若该校有学生 3500 人，请根据以上统计结果估计成绩等级为“优秀”和“良好” 的学生共有多少人 19 （8 分）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，CE2，BE4，求ABCD 的周长 四、 （四、 （20、21 题各题各 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）学校组织学生开展志愿者服务活动，甲、乙两名学生从“图书馆，博物馆，科 技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，用字母 A、B、C 分别表示“图书馆“、 “博 物馆” 、 “科技馆”三
7、个场馆，请用树状图或列表法求甲、乙两名学生恰好选择同一场馆 的概率 21 （8 分）某公司需要采购 A、B 两种笔记本，A 种笔记本的单价高出 B 种笔记本的单价 10 元，并且花费 300 元购买 A 种笔记本和花费 100 元购买 B 种笔记本的数量相等 （1）求 A 种笔记本和 B 种笔记本的单价各是多少元； （2）该公司准备采购 A、B 两种笔记本共 80 本，若 A 种笔记本的数量不少于 60 本，并 且采购 A、B 两种笔记本的总费用不高于 1100 元，那么该公司有 种购买方案 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，点 A、B、C 在半径为 8 的O
8、上，过点 B 作 BDAC，交 OA 延长线于 第 5 页（共 30 页） 点 D连接 BC，且BCAOAC30 （1）求证：BD 是O 的切线； （2）图中线段 AD、BD 和围成的阴影部分的面积 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx+b 与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交 于点 B；直线 yx+6 过点 B 和点 C，且 ACx 轴点 M 从点 B 出发以每秒 2 个单位 长度的速度沿 y 轴向点 O 运动， 同时点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿射线 AC 向点 C 运动，当点 M 到达点 O 时
9、，点 M、N 同时停止运动，设点 M 运动的时间为 t （秒） ，连接 MN （1）求直线 ykx+b 的函数表达式及点 C 的坐标； （2）当 MNx 轴时，求 t 的值； （3） MN 与 AB 交于点 D， 连接 CD， 在点 M、 N 运动过程中， 线段 CD 的长度是否变化？ 如果变化，请直接写出线段 CD 长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段 CD 的 长度 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）如图，已知ABC 中，ACBC，ACB90，将ABC 绕点 B 逆时针方向 第 6 页（共 30 页） 旋转得到PBQ，旋转角为 ，且 4590 （1）连接 A
10、P，CQ，则 ； （2）若 QDBC，垂足为点 D，BQD15，QD 与 PB 交于点 E，BEQ 的平分线 EF 交 AB 的延长线于点 F 求旋转角 的大小； 求F 的度数； 求证：EQ+EBEF 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+x+c 与直线 y+交于点 A 和 点 E，点 A 在 x 轴上抛物线 yax2+x+c 与 x 轴另一个交点为点 B，与 y 轴交于点 C（0， ） ，直线 y+与 y 轴交于点 D （1）求点 D 的坐标和抛物线 yax2+x+c 的函数表达式； （2） 动点 P 从点 B 出发， 沿 x
11、 轴以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 动点 Q 从点 A 出发沿射线 AE 以每秒 1 个单位长度的速度向点 E 运动，当点 P 到达点 A 时，点 P、Q 同时停止运动设运动时间为 t 秒，连接 AC、CQ、PQ 当APQ 是以 AP 为底边的等腰三角形时，求 t 的值； 在点 P、Q 运动过程中，ACQ 的面积记为 S1，APQ 的面积记为 S2，SS1+S2，当 S时，请直接写出 t 的值 第 7 页（共 30 页） 第 8 页（共 30 页） 2020 年辽宁省沈阳市铁西区、浑南区中考数学一模试卷年辽宁省沈阳市铁西区、浑南区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题
12、解析 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上， 每小题每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）的倒数是（ ） A2 B C2 D 【分析】利用倒数的定义计算即可得到结果 【解答】解：的倒数是2， 故选：C 【点评】此题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解本题的关键 2 （2 分）据报道，2020 年全国硕士研究生招生规模比去年增加 18.9 万左右，数据“18.9 万”用科学记数法表示为（ ） A1.89103 B1.89104 C1.89105 D18.9103
13、【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将数据“18.9 万”用科学记数法表示为 1.89105， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （2 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） 第 9 页（共 30 页） A立方体 B长方体 C圆锥 D
14、直三棱柱 【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状 【解答】解：A立方体的三视图均为正方形，故本选项不合题意； B长方体的主视图是长方形，故本选项不合题意； C圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意； D直三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，俯视图的一个矩形，矩形的中间有一条 实线，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形 状是关键 4 （2 分）如图，直线 a、b 被直线 c、d 所截，若12，3115，则4 的度数为 （ ） A55 B60 C65 D75 【分析】根据平行线的判定得出 ab，根据平行
15、线的性质得出45，即可求出答案 【解答】解：如图： 12， ab， 45， 3115， 45180365， 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的 第 10 页（共 30 页） 关键 5 （2 分）已知甲、乙两数的和是 7，甲数比乙数的 2 倍少 2，设甲数为 x，乙数为 y，根据 题意列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】根据题意可得等量关系：甲数+乙数7，甲数乙数22，根据等量关 系列出方程组即可 【解答】解：设甲数为 x，乙数为 y， 根据题意可列方程组：， 故选：A 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是把
16、已知量和未知量 联系起来，找出题目中的相等关系 6（2 分） 关于 “可能性是 1%的事件在 100 次试验中发生的次数” ， 下列说法错误的是 （ ） A可能一次也不发生 B可能发生一次 C可能发生两次 D一定发生一次 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案 【解答】解：关于“可能性是 1%的事件在 100 次试验中发生的次数” ，一定发生一次错 误，符合题意 故选：D 【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的意义是解题关键 7 （2 分）下列计算正确的是（ ） Ab3b3b Bb3b3b6 Ca2+a22a4 D （a3）3a6 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同
17、类项法则以及幂的乘方运算法则 分别计算得出答案 【解答】解：A、b3b31，故此选项错误； B、b3b3b6，正确； C、a2+a22a2，故此选项错误； D、 （a3）3a9，故此选项错误 故选：B 第 11 页（共 30 页） 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项以及幂的乘方运算，正确 掌握相关运算法则是解题关键 8 （2 分）抽样调查某班 10 名同学身高（单位：厘米）如下：165，152，165，152，165， 160，170，160，165，159则这组数据的众数是（ ） A152 B160 C165 D170 【分析】根据众数的概念求解可得 【解答】解：这组数据
18、中 165 出现次数最多，有 4 次， 所以这组数据的众数为 165， 故选：C 【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多 的数据叫做众数 9 （2 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC，下列条件中不能判断ABC AED 的是（注意对应点） （ ） AAEDB BADEC C D 【分析】 （1）三组对应边的比相等的两个三角形相似； （2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可 【解答】解：A、BAED，AA，则可判断ADEACB，故 A 选项错误； B、ADEC，
19、AA，则可判断ADEACB，故 B 选项错误； C、，AA，则可判断ADEACB，故 C 选项错误； D、此时不确定ADEACB，故不能确定ADEACB，故 D 选项正确； 故选：D 【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判 定定理 10 （2 分）关于二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数） ，下列描述错误的是（ ） 第 12 页（共 30 页） A当 m2 时，函数的最大值是1 B函数图象的顶点始终在直线 yx+1 的图象上 C当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2 D当 m0 时，函数图象的顶点及函数图象与 x 轴的两个交
20、点构成的三角形是等腰直角 三角形 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可 【解答】解：二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数） ， xm 时，y 有最大值m+1， m2 时，最大值为1，故选项 A 正确， 抛物线的顶点（m，m+1） ， 顶点在直线 yx+1 上，故选项 B 正确， 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2，故选项 C 错误， 当 m0 时，二次函数的解析式为 yx2+1， 与坐标轴的交点分别为（0，1） ， （1，0） ， （1，0） ，这三个点构成等腰直角三角形，故 选项 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，等腰
21、直角三角形的判定等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：ab24a a（b+2） （b2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（b24） a（b+2） （b2） ， 故答案为：a（b+2） （b2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 12 （3 分）分别写有数字、4、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任 意抽取一张，抽到无理数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算可得 第 13 页（共 3
22、0 页） 【解答】解：在标有、4、0、的五张大小和质地均相同的卡片中无理 数的有，这 2 张， 从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是， 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数及无理数的概念 13 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P 在直线 yx+b 的图象上，且点 P 在第二象限，PA x 轴于点 A，PBy 轴于点 B，四边形 OAPB 是面积为 25 的正方形，则直线 yx+b 的 函数表达式是 yx+10 【分析】根据正方形的性质得到 PAPB5，求得 P（5，5） ，根据点 P 在直线 y
23、x+b 的图象上，解方程得到 b10，于是得到结论 【解答】解：如图，四边形 OAPB 是面积为 25 的正方形，PAx 轴于点 A，PBy 轴 于点 B， PAPB5， 点 P 在第二象限， P（5，5） ， 点 P 在直线 yx+b 的图象上， 55+b， b10， 直线 yx+b 的函数表达式是 yx+10， 故答案为：yx+10 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征， 正方形的性质、正确的理解题意是解题的关键 第 14 页（共 30 页） 14 （3 分）如图，点 A，B，C 在同一个圆上，ACB90，弦 AB 的长度等于该圆半径 的倍，则 co
24、sACB 的值是 【分析】作直径 AD，连接 BD，如图，利用圆周角定理得到ABD90，再利用 得到ADB45，根据圆周角定理得到ACBADB45，然后根据特殊角的 三角函数值求解 【解答】解：作直径 AD，连接 BD，如图， AD 为直径， ABD90， 弦 AB 的长度等于该圆半径的倍， ， 在 RtADB 中，sinADB， ADB45， ACBADB45， cosACB 故答案为 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的 圆周角所对的弦是直径也考查了锐角三角函数 15 （3
25、分）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数）的图象如图所示，则反比例函数 第 15 页（共 30 页） y的图象所在的象限是第 二、四 象限 【分析】根据 x1 时，y0，得到 a+b+c0，根据反比例函数的性质解答即可 【解答】解：由二次函数的图象可知，当 x1 时，y0，即 a+b+c0， 反比例函数 y的图象所在的象限是第二、四象限， 故答案为：二、四 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、反比例函数的性质，灵活运用数 形结合思想得到 a+b+c0 是解题的关键 16 （3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 10，sinA，点 M 为边 AD 上的一个动点且不与
26、 点 A 和点 D 重合，点 A 关于直线 BM 的对称点为点 A，点 N 为线段 CA的中点，连接 DN，则线段 DN 长度的最小值是 5 【分析】如图，连接 BA，取 BC 的中点 K，连接 NK，作 DHBC 于 H想办法求出 NK，DK 的值即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BA，取 BC 的中点 K，连接 NK，作 DHBC 于 H 第 16 页（共 30 页） 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD10，ADCB， A，A关于 BM 对称， BABA10， CNNA，CKBK， NKBA5， sinAsinDCH， DH8， CH6， CKKB5， HKCHCK1， DK
27、， DNDKNK， DN5， DN 的最小值为5， 故答案为5 【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、 （三、 （17 题题 6 分，分，18 题、题、19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：|2|+（1）04sin60（2）2 【分析】 根据绝对值、 特殊角的三角函数值、 0 指数幂的定义和有理数的乘方的法则解答 【解答】解：|2|+（1）04sin60（2）2 第 17 页（共 30 页） 2+144 223 3 【点评】本题考查了实数的
28、运算，熟悉绝对值、特殊角的三角函数值、0 指数幂的定义是 解题的关键 18 （8 分）某校为了做好“营造清洁生活环境”活动的宣传，对本校学生进行了有关知识 的测试，测试后随机抽取了部分学生的测试成绩，按“优秀、良好、及格、不及格”四 个等级进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）求抽取的学生总人数； （2）抽取的学生中，等级为“优秀”的人数为 20 人；扇形统计图中等级为“不合格” 部分的圆心角的度数为 7.2 ； （3）补全条形统计图； （4）若该校有学生 3500 人，请根据以上统计结果估计成绩等级为“优秀”和“良好” 的学生共有多少人 【分析】 （1）根据“及格”
29、人数及其所占百分比可得总人数； （2） 总人数乘以 “优秀” 对应的百分比可得其人数， 再求出 “不及格” 人数， 继而用 360 乘以“不合格”人数所占比例即可得； （3）根据以上所求结果即可补全图形； （4）用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和所占比例 【解答】解： （1）抽取的学生总人数为 2828%100（人） ； （2）抽取的学生中，等级为“优秀”的人数为 10020%20（人） ， 则“不及格”人数为 100（28+50+20）2（人） ， 所以扇形统计图中等级为“不合格”部分的圆心角的度数为 3607.2， 故答案为：20、7.2； 第 18 页（共 30 页） （2）补全
30、条形图如下： （4）估计成绩等级为“优秀”和“良好”的学生共有 35002450（人） 【点评】本题考查的是样本估计总体、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计 图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出 每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19 （8 分）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，CE2，BE4，求ABCD 的周长 【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质证出BAEBEA，得出 ABBE 4，求出 BC6，即可得出结论 【解答】解：AE 平分BAD， BAEDAE， 四边形 ABCD 是平行四边
31、形， ADBC，ABCD，ADBC， DAEBEA， BAEBEA， ABBE4， BE3，EC2， BCBE+EC4+26， ABCD 的周长2（AB+BC）2（4+6）20 第 19 页（共 30 页） 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟 练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键 四、 （四、 （20、21 题各题各 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）学校组织学生开展志愿者服务活动，甲、乙两名学生从“图书馆，博物馆，科 技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，用字母 A、B、C 分别表示“图书馆“、 “博 物馆” 、 “科
32、技馆”三个场馆，请用树状图或列表法求甲、乙两名学生恰好选择同一场馆 的概率 【分析】画树状图（用 A、B、C 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示 所有 9 种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求 解 【解答】解：画树状图为： （用 A、B、C 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场 馆） 共有 9 种等可能的结果数，其中甲、乙两名学生恰好选择同一场馆的结果数为 3， 所以甲、乙两名学生恰好选择同一场馆的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后
33、利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率 21 （8 分）某公司需要采购 A、B 两种笔记本，A 种笔记本的单价高出 B 种笔记本的单价 10 元，并且花费 300 元购买 A 种笔记本和花费 100 元购买 B 种笔记本的数量相等 （1）求 A 种笔记本和 B 种笔记本的单价各是多少元； （2）该公司准备采购 A、B 两种笔记本共 80 本，若 A 种笔记本的数量不少于 60 本，并 且采购 A、B 两种笔记本的总费用不高于 1100 元，那么该公司有 11 种购买方案 【分析】 （1）设 A 种笔记本的单价是 x 元，则 B 种笔记本的单价是（x10）元，根据题 意列方程即可得到结论
34、； （2）设该公司准备采购 A 种笔记本 a 本，采购 B 种笔记本（80a）本，根据题意列不 第 20 页（共 30 页） 等式即可得到结论 【解答】解： （1）设 A 种笔记本的单价是 x 元，则 B 种笔记本的单价是（x10）元， 根据题意得， 解得：x15， 经检验：x15 是原方程的根， x105， 答：A 种笔记本和 B 种笔记本的单价各是 15 元和 5 元； （2）设该公司准备采购 A 种笔记本 a 本，采购 B 种笔记本（80a）本， 根据题意得，15a+5（80a）1100， 解得：a70， A 种笔记本的数量不少于 60 本， 60a70， （a 为正整数） ， 该公司有
35、 11 种购买方案 故答案为：11 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题 的关键 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，点 A、B、C 在半径为 8 的O 上，过点 B 作 BDAC，交 OA 延长线于 点 D连接 BC，且BCAOAC30 （1）求证：BD 是O 的切线； （2）图中线段 AD、BD 和围成的阴影部分的面积 32 【分析】 （1） 连接 OC， 根据圆周角定理求出COA， 根据三角形内角和定理求出OCA， 根据切线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质得到D30，解直角三角形求出 BD，分别求出BOD 的面
36、 第 21 页（共 30 页） 积和扇形 AOB 的面积，即可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OB，交 CA 于 E， C30，CBOA， BOA60， BCAOAC30， AEO90， 即 OBAC， BDAC， DBEAEO90， BD 是O 的切线； （2）解：ACBD，OCA90， DCAO30， OBD90，OB8， BDOB8， S阴影SBDOS扇形AOB8832， 故答案为：32 【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的 面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23 （10 分
37、）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx+b 与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交 于点 B；直线 yx+6 过点 B 和点 C，且 ACx 轴点 M 从点 B 出发以每秒 2 个单位 长度的速度沿 y 轴向点 O 运动， 同时点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿射线 第 22 页（共 30 页） AC 向点 C 运动，当点 M 到达点 O 时，点 M、N 同时停止运动，设点 M 运动的时间为 t （秒） ，连接 MN （1）求直线 ykx+b 的函数表达式及点 C 的坐标； （2）当 MNx 轴时，求 t 的值； （3） MN 与 AB 交于点 D， 连接 CD，
38、在点 M、 N 运动过程中， 线段 CD 的长度是否变化？ 如果变化，请直接写出线段 CD 长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段 CD 的 长度 【分析】 （1）根据 ACx 轴，求出点 C 的横坐标为 5，代入解析式求出纵坐标，得到点 C 的坐标，利用待定系数法求出 k、b，得到直线 ykx+b 的函数表达式； （2）根据题意用 t 表示出 BM、AN，根据平行四边形的性质列出方程，解方程得到答案； （3）过点 D 作 EFx 轴，交 OB 于 E，交 AC 于 F，证明BDMADN，根据相似三 角形的性质得到 DE2，DF3，证明BDEADF，求出 FA，得到 CF 的长，根据 勾股
39、定理计算，得到答案 【解答】解： （1）ACx 轴，点 A（5，0） ， 点 C 的横坐标为 5， 对于 yx+6，当 x5 时，y5+610， 对于 x0，y6， 点 C 的坐标为（5，10） ，点 B 的坐标为（0，6） ， 直线 ykx+b 与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交于点 B（0，6） ， 则， 第 23 页（共 30 页） 解得， 直线 ykx+b 的函数表达式为 yx+6， 综上所述，直线 ykx+b 的函数表达式为 yx+6，点 C 的坐标为（5，10） ； （2）由题意得，BM2t，AN3t， OM62t， OMAN，MNx 轴， 四边形 MOAN 为平行四边
40、形， OMAN， 62t3t， 解得，t， 当 MNx 轴时，t； （3）线段 CD 的长度不变化， 理由如下：过点 D 作 EFx 轴，交 OB 于 E，交 AC 于 F， EFx 轴，BMAN，AOE90， 四边形 EOAF 为矩形， EFOA5，EOFA， BMAN， BDMADN， ， EF5， DE2，DF3， BMAN， BDEADF， ， ， OB6， 第 24 页（共 30 页） EOFA， CFACFA， CD 【点评】本题考查的一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判 定和性质、平行四边形的性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、相似三 角形的判定
41、定理和性质定理是解题的关键 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）如图，已知ABC 中，ACBC，ACB90，将ABC 绕点 B 逆时针方向 旋转得到PBQ，旋转角为 ，且 4590 （1）连接 AP，CQ，则 ； （2）若 QDBC，垂足为点 D，BQD15，QD 与 PB 交于点 E，BEQ 的平分线 EF 交 AB 的延长线于点 F 求旋转角 的大小； 求F 的度数； 求证：EQ+EBEF 第 25 页（共 30 页） 【分析】 （1）通过证明ABPCBQ，可得； （2）由直角三角形的性质可求CBQ75，即可求解； 由三角形的外角性质可求解； 在 EF 上截取 EH
42、EB，连接 BH，由“AAS”可证BHFBEQ，可得 EQHF， 可得结论 【解答】解： （1）ACBC，ACB90， ABBC，ABC45BAC 将ABC 绕点 B 逆时针方向旋转得到PBQ， ABCPBQ45，ABBP，BCBQ， ABPCBQ， ABPCBQ， ， 故答案为：； （2）QDBC， QDB90，且BQD15， CBQ75， 旋转角 为 75； DBECBQPBQ754530， DEB60，ABP75， BEQ120， EF 平分BEQ， BEF60， 第 26 页（共 30 页） ABPF+BEF， F756015； 如图，在 EF 上截取 EHEB，连接 BH， EBEH
43、，BEF60， BEH 是等边三角形， BEBHEH，BHE60， BHFBEQ120，且FBQD15，BEBH， BHFBEQ（AAS） EQHF， EQ+EBHF+EHEF 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形 是本题的关键 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+x+c 与直线 y+交于点 A 和 点 E，点 A 在 x 轴上抛物线 yax2+x+c 与 x 轴另一个交点为点 B，与 y 轴交于点 C（0，
44、） ，直线 y+与 y 轴交于点 D （1）求点 D 的坐标和抛物线 yax2+x+c 的函数表达式； （2） 动点 P 从点 B 出发， 沿 x 轴以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 动点 Q 从点 A 出发沿射线 AE 以每秒 1 个单位长度的速度向点 E 运动，当点 P 到达点 A 时，点 P、Q 同时停止运动设运动时间为 t 秒，连接 AC、CQ、PQ 当APQ 是以 AP 为底边的等腰三角形时，求 t 的值； 第 27 页（共 30 页） 在点 P、Q 运动过程中，ACQ 的面积记为 S1，APQ 的面积记为 S2，SS1+S2，当 S时，请直接写出 t 的值 【分析】 （
45、1）首先求出 A、D 的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）如图 1，过点 Q 作 QFAP 于点 F，则 AFPFAP（52t） ，AQt，证 得 ODQF，得出，可求出 t 的值； 如图 2， 过点 C 作 CMAQ 于点 M， 过点 Q 作 QNx 轴于点 N， 证明AODCMD， 求出 CM，则 S1可用 t 表示，证明AODAQN，求出 QN，则 S2可用 t 表示，则可得 出 t 的方程，解方程即可得出答案 【解答】解： （1）直线 yx+与 y 轴交于点 D， x0 时，y， D（0，） ， 直线 yx+与 x 轴交于点 A， y0 时，0， x1， A（1，0） ， 抛物线 yax2+x+c 经过点 A（1
