1、桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东 北部，行政区域总面积 27 809 平方公里将 27 809 用科学记数法表示应为（ ） A0.278 09105 B27.809103 C2.780 9103 D2.780 9104 4 （4 分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ） A60cm2 B65cm2 C120cm2 D130cm2 5 （4 分）已知抛物线 yx2+2xm1 与 x 轴没有交点，则函数 y的大致图象是（ ） A B C D 6 （4 分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有 6，7，8，9 四个数字，这 些
2、小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球， 第 2 页（共 31 页） 将小球上的数字记为 m， 再由乙猜这个小球上的数字， 记为 n 如果 m， n 满足|mn|1， 那么就称甲、乙两人“心领神会” ，则两人“心领神会”的概率是（ ） A B C D 7 （4 分）关于 x 的方程的解为非正数，且关于 x 的不等式组无解， 那么满足条件的所有整数 a 的和是（ ） A19 B15 C13 D9 8 （4 分）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万 元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是 3990 万元若设月平均增长率是
3、x，那 么可列出的方程是（ ） A1000（1+x）23990 B1000+1000（1+x）+1000（1+x）23990 C1000（1+2x）3990 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3990 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，以 C 为圆心、CE 为半径作弧，交 CD 于点 F，连接 AE、AF若 AB6，B60，则阴影部分的面积为（ ） A93 B92 C189 D186 10 （4 分）下列命题错误的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三角形一定有外接圆和内切圆 C等弧对等弦 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 11 （4
4、分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20； 3b+2c0； 4a+c2b； m （am+b） +ba （m1） ， 其中结论正确的个数是 （ ） 第 3 页（共 31 页） A1 B2 C3 D4 12 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延长线 上，BFE90，连接 AF、CF，CF 与 AB 交于 G有以下结论： AEBC AFCF BF2FGFC EGAEBGAB 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13
5、（4 分）计算： （3.14）0+2cos60 14 （4 分）在 RtABC 中，C90，AB2，BC，则 sin 15 （4 分）一次函数 ykx3k+1 的图象必经过一个定点，该定点的坐标是 16 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 BC 边的中点，、的圆心分别在边 AB、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点 F，则 E、F 间的距离为 17 （4 分）已知 x，y 为实数，y，则 x6y 的值 第 4 页（共 31 页） 18 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处， BM 为折痕，连接 MN；再将
6、 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为 折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P，若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于 三、解答题三、解答题 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程2x2x+30 的解 20 （10 分）如图，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 C，D 两点， 与 x，y 轴交于 B，A 两点，CEx 轴于点 E，且 tanABO，OB4，OE1 （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式 （2）求OCD 的面积； （3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量 x 的取值范围 21
7、（10 分）2019 年 4 月 23 日是第二十四个“世界读书日“某校组织读书征文比赛活动， 评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ， 请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传 第 5 页（共 31 页） 活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 22 （12 分）如图，已知 A、B 是O 上两点，OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CD AB 交
8、AB 的延长线于 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）E 为的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tanAFE，BEBG，EG 3，求O 的半径 23 （10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣已知购买 甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元 （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划 购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8
9、台机器人每小时分 拣快递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低 费用是多少万元？ 24 （14 分）如图 1，抛物线 y（x2）2+n与 x 轴交于点 A（m2，0）和 B（2m+3， 0） （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连结 BC （1）求 m、n 的值； 第 6 页（共 31 页） （2）如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值； （3）如图 3，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、PC，是否存在 这样的点 P，使PCM 为等腰三角形，P
10、MB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （14 分）已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O （1）如图 1，E，G 分别是 OB，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F若 DF CE，求证：OEOG； （2）如图 2，H 是 BC 上的点，过点 H 作 EHBC，交线段 OB 于点 E，连结 DH 交 CE 于点 F，交 OC 于点 G若 OEOG， 求证：ODGOCE； 当 AB1 时，求 HC 的长 第 7 页（共 31 页） 2020 年山东省泰安市新泰市西部中考数学一模试卷年山东省泰安市新泰市西部中考数学一模试卷
11、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）计算（）23（）22之值为何？（ ） A1 B C （）2 D （）4 【分析】先算乘方，再算乘法即可 【解答】解：原式（）6（）4 （）6（） 4， （）2 故选：C 【点评】本题考查的是整式的混合运算，整式的混合运算顺序和有理数的混合运算顺序 相似，即先算乘方，再算乘法，最后算加减，有括号的先算括号里面的 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） A2x22xy4x3y4 B3x2y5xy22x2y Cx 1x2x1 D （3a2） （3a+2）9a24 【分析】根据整
12、式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式判断即可 【解答】解：A、2x22xy4x3y，错误； B、不是同类项不能合并，错误； C、x 1x2x，错误； D、 （3a2） （3a+2）9a24，正确； 故选：D 【点评】此题考查整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式，关键是根据 法则解答 3 （4 分）桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东 北部，行政区域总面积 27 809 平方公里将 27 809 用科学记数法表示应为（ ） A0.278 09105 B27.809103 C2.780 9103 D2.780 9104 第 8 页（共 31
13、页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：27 8092.780 9104故选 D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ） A60cm2 B65cm2 C120cm2 D13
14、0cm2 【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为 5cm，圆锥的高为 12cm，再根据勾股定理计 算出母线长为 13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 10cm，即底面圆的半径为 5cm，圆 锥的高为 12cm， 所以圆锥的母线长13， 所以这个圆锥的侧面积251365（cm2） 故选：B 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了三视图 5 （4 分）已知抛物线 yx2+2x
15、m1 与 x 轴没有交点，则函数 y的大致图象是（ ） A B 第 9 页（共 31 页） C D 【分析】由题意可求 m2，即可求解 【解答】解：抛物线 yx2+2xm1 与 x 轴没有交点， 44（m1）0 m2 函数 y的图象在第二、第四象限， 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键 6 （4 分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有 6，7，8，9 四个数字，这 些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球， 将小球上的数字记为 m， 再由乙猜这个小球上的数字， 记为 n 如果 m， n 满足|
16、mn|1， 那么就称甲、乙两人“心领神会” ，则两人“心领神会”的概率是（ ） A B C D 【分析】 画出树状图列出所有等可能结果， 由树状图确定出所有等可能结果数及两人 “心 领神会”的结果数，根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中满足|mn|1 的有 10 种结果， 两人“心领神会”的概率是， 故选：B 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步 或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 第 10 页（共 31
17、 页） 7 （4 分）关于 x 的方程的解为非正数，且关于 x 的不等式组无解， 那么满足条件的所有整数 a 的和是（ ） A19 B15 C13 D9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出 a 的范围，再 根据不等式组无解求出 a 的范围，确定出满足题意整数 a 的值，求出之和即可 【解答】解：分式方程去分母得：axx12， 整理得： （a1）x3， 由分式方程的解为非正数，得到0，且1， 解得：a1 且 a2， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到4， 解得：a6， 满足题意 a 的范围为6a1，且 a2，即整数 a 的值为5，4，3，1，0， 则满足条件的
18、所有整数 a 的和是13， 故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 8 （4 分）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万 元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是 3990 万元若设月平均增长率是 x，那 么可列出的方程是（ ） A1000（1+x）23990 B1000+1000（1+x）+1000（1+x）23990 C1000（1+2x）3990 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3990 【分析】设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 1000（1+x）万元，
19、三 月份的营业额为 1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是 3990 万元，即 可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 第 11 页（共 31 页） 【解答】解：设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 1000（1+x）万元， 三月份的营业额为 1000（1+x）2万元， 依题意，得 1000+1000（1+x）+1000（1+x）23990 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二 次方程是解题的关键 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，以 C 为圆心、CE 为半径作弧，交 CD
20、于点 F，连接 AE、AF若 AB6，B60，则阴影部分的面积为（ ） A93 B92 C189 D186 【分析】连接 AC，根据菱形的性质求出BCD 和 BCAB6，求出 AE 长，再根据三角 形的面积和扇形的面积求出即可 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC6， B60，E 为 BC 的中点， CEBE3CF，ABC 是等边三角形，ABCD， B60， BCD180B120， 由勾股定理得：AE3， SAEBSAEC634.5SAFC， 第 12 页（共 31 页） 阴影部分的面积 SSAEC+SAFCS扇形CEF4.5+4.59 3， 故选：A 【点评】本题考
21、查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点， 能求出AEC、AFC 和扇形 ECF 的面积是解此题的关键 10 （4 分）下列命题错误的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三角形一定有外接圆和内切圆 C等弧对等弦 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是假命题； B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题； C、等弧对等弦，是真命题； D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题； 故选：A 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外
22、接圆、 圆的有关概念等知识解答，难度不大 11 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20； 3b+2c0； 4a+c2b； m （am+b） +ba （m1） ， 其中结论正确的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0， 可判断； 根据对称轴是 x1， 可得 x2、0 时，y 的值相等，所以 4a2b+c0，可判断；根据1，得出 b2a，再根据 a+b+c0，可得b+b+c0，所以 3b+2c0，可判断；x1 时该二 次函数取得最大值，据此可判断 第 13 页（共 31 页） 【解答】解：图
23、象与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根， b24ac0， 4acb20， 正确； 1， b2a， a+b+c0， b+b+c0，3b+2c0， 是正确； 当 x2 时，y0， 4a2b+c0， 4a+c2b， 错误； 由图象可知 x1 时该二次函数取得最大值， ab+cam2+bm+c（m1） m（am+b）ab故正确 正确的有三个， 故选：C 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结 合的思想解答 12 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延长线 上，BFE90，连
24、接 AF、CF，CF 与 AB 交于 G有以下结论： AEBC AFCF BF2FGFC 第 14 页（共 31 页） EGAEBGAB 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】只要证明ADE 为等腰直角三角形即可 只要证明AEFCBF（SAS）即可； 假设 BF2FGFC， 则FBGFCB， 推出FBGFCB45， 由ACF45， 推出ACB90，显然不可能，故错误， 由ADFGBF，可得，由 EGCD，推出，推出 ，由 ADAE，EGAEBGAB，故正确， 【解答】解：DE 平分ADC，ADC 为直角， ADE9045， ADE 为等腰直角三角形， ADAE， 又四边形 A
25、BCD 矩形， ADBC， AEBC BFE90，BFEAED45， BFE 为等腰直角三角形， 则有 EFBF 又AEFDFB+ABF135，CBFABC+ABF135， AEFCBF 在AEF 和CBF 中，AEBC，AEFCBF，EFBF， AEFCBF（SAS） AFCF 假设 BF2FGFC，则FBGFCB， 第 15 页（共 31 页） FBGFCB45， BCD90， DCF45， CDF45， DFC90，显然不可能，故错误， BGF180CGB，DAF90+EAF90+（90AGF）180 AGF，AGFBGC， DAFBGF，ADFFBG45， ADFGBF， ， EGCD
26、， ， ，ADAE， EGAEBGAB，故正确， 故选：C 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）计算： （3.14）0+2cos60 2 【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值 【解答】解：原式1+21+12， 故答案为：2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14 （4 分）在 RtABC 中，C90，AB2，BC，则 sin 第 16 页（共 31
27、 页） 【分析】根据A 的正弦求出A60，再根据 30的正弦值求解即可 【解答】解：sinA， A60， sinsin30 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60角的三角函数值是解 题的关键 15 （4 分）一次函数 ykx3k+1 的图象必经过一个定点，该定点的坐标是 （3，1） 【分析】把一次函数解析式转化为 yk（x3）+1，可知点（3，1）在直线上，且与系 数无关 【解答】解：根据题意可把直线解析式化为：yk（x3）+1， 故函数一定过点（3，1） 故答案为： （3，1） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是把一次函数进行 整
28、理变形 16 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 BC 边的中点，、的圆心分别在边 AB、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点 F，则 E、F 间的距离为 【分析】作 EF 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为的圆心，H 为的圆心，连接 EF，GH， 交于点 O， 连接 GF， FH， HE， EG， 依据勾股定理可得 GEFG， 根据四边形 EGFH 是菱形，四边形 BCGH 是矩形，即可得到 RtOEG 中，OEa，即可得到 EFa 【解答】解：如图，作 EF 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为的圆心，同理可得，H 为 的圆心， 连接 EF，GH，交于点 O，连接
29、GF，FH，HE，EG， 第 17 页（共 31 页） 设 GEGDx，则 CG2ax，CEa， RtCEG 中， （2ax）2+a2x2， 解得 x， GEFG， 同理可得，EHFH， 四边形 EGFH 是菱形，四边形 BCGH 是矩形， GOBCa， RtOEG 中，OEa， EFa， 故答案为：a 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过 两个圆心的直线） ，垂直平分两圆的公共弦注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间 建立联系 17 （4 分）已知 x，y 为实数，y，则 x6y 的值 2 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列不等式求出
30、 x 的值，再求出 y 的值， 然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：由题意得， 解得 x3， y， 第 18 页（共 31 页） x6y363+12 故答案为：2 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否 则二次根式无意义 18 （4 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处， BM 为折痕，连接 MN；再将 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为 折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P，若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于 【分析】根据折叠可得 A
31、BNM 是正方形，CDCF5，DCFE90，EDEF， 可求出三角形 FNC 的三边为 3，4，5，在 RtMEF 中，由勾股定理可以求出三边的长， 通过作辅助线，可证FNCPGF，三边占比为 3：4：5，设未知数，通过 PGHN， 列方程求出待定系数，进而求出 PF 的长，然后求 PE 的长 【解答】解：过点 P 作 PGFN，PHBN，垂足为 G、H， 由折叠得：ABNM 是正方形，ABBNNMMA5， CDCF5，DCFE90，EDEF， NCMD853， 在 RtFNC 中，FN4， MF541， 在 RtMEF 中，设 EFx，则 ME3x，由勾股定理得， 12+（3x）2x2， 解
32、得：x， CFN+PFG90，PFG+FPG90， FNCPGF， FG：PG：PFNC：FN：FC3：4：5， 第 19 页（共 31 页） 设 FG3m，则 PG4m，PF5m， GNPHBH43m，HN5（43m）1+3mPG4m， 解得：m1， PF5m5， PEPF+FE5+， 故答案为： 【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知 识的综合性较强，是有一定难度的题目 三、解答题三、解答题 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程2x2x+30 的解 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再根据 a 是方程2x2x+30 的解，
33、可以求得 a 的值，再将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入的 a 的 值必须使得原分式有意义 【解答】解： ， 由2x2x+30，得 x1，x21， 当 a1 时，原分式无意义， 第 20 页（共 31 页） 当 a时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化 简求值的方法 20 （10 分）如图，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 C，D 两点， 与 x，y 轴交于 B，A 两点，CEx 轴于点 E，且 tanABO，OB4，OE1 （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式 （2）求OCD 的面积； （3）根据图
34、象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）根据已知条件求出 A、B、C 点坐标，用待定系数法求出直线 AB 和反比例 函数的解析式； （2） 联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点 D 的坐标， 从而根据三角形 面积公式求解； （3）根据函数的图象和交点坐标即可求解 【解答】解： （1）OB4，OE1， BE1+45 CEx 轴于点 E，tanABO， OA2，CE2.5 点 A 的坐标为（0，2） 、点 B 的坐标为 C（4，0） 、点 C 的坐标为（1，2.5） 一次函数 yax+b 的图象与 x，y 轴交于 B，A 两点， ， 第 21
35、 页（共 31 页） 解得 直线 AB 的解析式为 yx+2 反比例函数 y的图象过 C， 2.5， k2.5 该反比例函数的解析式为 y； （2）联立反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得， 解得点 D 的坐标为（5，） ， 则BOD 的面积41， BOC 的面积45， OCD 的面积为 1+56； （3） 由图象得， 一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围：x1 或 0x5 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交 点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无 解，则两者无交点 21 （10 分）2019
36、年 4 月 23 日是第二十四个“世界读书日“某校组织读书征文比赛活动， 评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ， 请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； 第 22 页（共 31 页） （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传 活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 【分析】 （1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人 数求出二等奖人数即可补全图形； （2）用 36
37、0乘以二等奖人数所占百分比可得答案； （3）画出树状图，由概率公式即可解决问题 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为 410%40（人） ， 二等奖人数为 40（4+24）12（人） ， 补全条形图如下： （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360108； （3）树状图如图所示， 第 23 页（共 31 页） 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能， 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意， 画出相应的树状图，求出相应的概率 22 （12 分）如图，已知 A、B 是O 上两点，
38、OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CD AB 交 AB 的延长线于 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）E 为的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tanAFE，BEBG，EG 3，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OC，先证明OCBCBD 得到 OCAD，再利用 CDAB 得到 OC CD，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OEAB，再利用圆周角定理 得到ABEAFE，在 RtBEH 中利用正切可设 EH3x，BH4x，则 BE5x，所以 BGBE5x，GHx，接着在 RtEHG 中利用勾股定理得
39、到 x2+（3x）2（3）2， 解方程得 x3，接下来设O 的半径为 r，然后在 RtOHB 中利用勾股定理得到方程（r 9）2+122r2，最后解关于 r 的方程即可 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， BC 平分OBD， OBCCBD， OBOC， OBCOCB， 第 24 页（共 31 页） OCBCBD， OCAD， 而 CDAB， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图， E 为的中点， OEAB， ABEAFE， tanABEtanAFE， 在 RtBEH 中，tanHBE 设 EH3x，BH4x， BE5x， BGBE5x， GHx，
40、 在 RtEHG 中，x2+（3x）2（3）2，解得 x3， EH9，BH12， 设O 的半径为 r，则 OHr9， 在 RtOHB 中， （r9）2+122r2，解得 r， 即O 的半径为 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点” 或“过圆心作这条直线的垂线” ；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径” 也考查了 圆周角定理、垂径定理和解直角三角形 第 25 页（共 31 页） 23 （10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣已知购买 甲型机器人 1 台，
41、乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元 （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划 购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8 台机器人每小时分 拣快递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低 费用是多少万元？ 【分析】 （1）利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值 【解答】解： （1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，
42、乙型机器人每台价格是 y 万元，根 据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、4 万元 （2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8a）台，根据题意得 解这个不等式组得 a 为正整数 a 的取值为 2，3，4， 该公司有 3 种购买方案，分别是 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台 购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台 购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台 设该公司的购买费用为 w 万元，则 w6a+4（8a）2a+32 k20 第 26 页（共 31 页） w 随 a 的增大而增大 当 a2 时，w 最小，w最小22+3236（
43、万元） 该公司购买甲型机器人 2 台， 乙型机器人 6 台这个方案费用最低， 最低费用是 36 万元 【点评】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次 方程组和不等式组的应用 24 （14 分）如图 1，抛物线 y（x2）2+n与 x 轴交于点 A（m2，0）和 B（2m+3， 0） （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连结 BC （1）求 m、n 的值； （2）如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值； （3）如图 3，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、P
44、C，是否存在 这样的点 P，使PCM 为等腰三角形，PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线 x2，再利用对称性得到 2（m 2）2m+32，解方程可得 m 的值，从而得到 A（1，0） ，B（5，0） ，然后把 A 点 坐标代入 y（x2）2+n可求出 n 的值； （2）作 NDy 轴交 BC 于 D，如图 2，利用抛物线解析式确定 C（0，3） ，再利用待定系 数法求出直线 BC 的解析式为 yx+3， 设 N （x， x2+x+3） ， 则 D （x， x+3） ， 根据三角形面积公式，利用 SNBCSNDC+SNDB可得 SBCNx2+x，然后利用 二次函数的性质求解； （3） 先利用勾股定理计算出 BC， 再分类讨论： 当PMB90， 则PMC90， 第 27 页（共 31 页） PMC 为等腰直角三角形，MPMC，设 PMt，则 CMt，MBt，证明BMP BOC， 利用相似比可求出 BP 的长， 再计算 OP 后可得到 P 点坐标； 当MPB90， 则 MP
