1、 1 / 36 2020 北京各区一模数学试题分类汇编北京各区一模数学试题分类汇编-立体几何立体几何 （2020 海淀一模）海淀一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ） A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 13 【答案】C 【解析】 由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA 底面ABCD,2EAABBC=,最长棱是EC， 在Rt ABC中， 222 ACABBC，在Rt EACD中， 222 ECEAAC=+， 2222 12ECEAABBC=+=， 2 3EC . 故选：D （2020 西城一模）西城一模）某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集
2、合，则（ ） 2 / 36 A. 2 2 2 3SS，且 B. 2 2 2 3SS，且 C. 2 2 2 3SS，且 D. 2 2 2 3SS，且 【答案】D 【解析】如图所示：在边长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，四棱锥 1 CABCD满足条件. 故 1 2ABBCCDADCC， 11 2 2BCDC， 1 2 3AC . 故 2,2 2,2 3S ，故2 2S，2 3 S . 故选：D. 3 / 36 （2020 东城一模）东城一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为_ 【答案】 4 3 【解析】由三视图知该几何体如图，V 1 2 1 2 3 4 3 4 / 36
3、 故答案为 4 3 （2020 丰台一模）丰台一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】该几何体对应直观图如下图所示 1 233 2 ABC S ； 1 233 2 ABD S ； 22 2( 3)7AC ， 2 2( 3)7AD 1 233 2 BCD S ， 22 1 2( 7)16 2 ACD S 则面积等于3的有 3个 故选：C 5 / 36 （2020 朝阳区一模）朝阳区一模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为_，它的体积为 _. 【答案】 (1). 5
4、 (2). 4 【解析】如图所示是三棱锥的直观图： 其中AF 平面BCD，垂足为F， 根据三视图可知，2BEED，2CEEF，3AF ， 6 / 36 所以 2 2BFDFBCCD ， 22 (2 2)317ABAD ， 2222 345ACAFCF ， 比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC ， 它的体积为 111 34 24 332 BCD AFS ， 故答案为： （1）5 （2）4 （2020 石景山一模）石景山一模）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三 视图，则该几何体的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】如图
5、所示，题中的几何体是棱长为 2 的正方体被平面 ABCD 截得的正方体的下部分，很明显截得 的两部分是完全一致的几何体，则该几何体的体积为 3 1 24 2 V . 故选：B 7 / 36 （2020 丰台一模）丰台一模） 已知平面和三条不同的直线 m， n， l.给出下列六个论断： m； /m； /m l； n；/n；/n l.以其中两个论断作为条件，使得/m n成立.这两个论断可以是_.（填上你 认为正确的一组序号） 【答案】（或） 【解析】对，由线面垂直的性质定理可知，若m，n，则/m n，故可填 对，若m，/n，则mn； 对，若m，/n l，则无法判断 ,m n的位置关系； 对，若/m
6、，n，则mn； 对，若/m，/n，则 ,m n可能相交，平行或异面； 8 / 36 对，若/m，/n l，则无法判断 ,m n 位置关系； 对，若/m l，n，则无法判断 ,m n的位置关系； 对，若/m l，/n，则无法判断 ,m n的位置关系； 对，由平行的传递性可知，若/n l，/m l，则/m n，故可填 故答案为：（或） （2020 朝阳区一模）朝阳区一模）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N分别是棱AB， 1 BB的中点，点P在 对角线 1 CA上运动.当PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（ ） A. 线段 1 CA的三等分点，且靠近点 1 A B. 线段 1
7、 CA的中点 C. 线段 1 CA的三等分点，且靠近点C D. 线段 1 CA的四等分点，且靠近点C 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 1，以A 为原点， 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示： 9 / 36 则 1 ( ,0,0) 2 M， 1 (1,0, ) 2 N，MN的中点 31 ( ,0, ) 44 Q， 1(0,0,1) A，(1,1,0)C，则 1 (1,1, 1)AC ， 设( , , )P t t z，(1,1,)PCttz， 由 1 AC与PC共线，可得 11 111 ttz ，所以1tz ，所以(1,1, )Pzz z，其中
8、01z， 因为 222 1 |(1)(10)(0) 2 PMzzz 2 5 33 4 zz， 222 1 |(11)(10)() 2 PNzzz 2 5 33 4 zz， 所以| |PMPN，所以PQMN，即|PQ是动点P到直线MN的距离， 由空间两点间的距离公式可得 222 31 |(1)(10)() 44 PQzzz 2 9 33 8 zz 2 13 3() 28 z， 10 / 36 所以当 1 2 c 时，|PQ取得最小值 6 4 ，此时P为线段 1 CA的中点， 由于 2 | 4 MN 为定值，所以当PMN的面积取得最小值时，P为线段 1 CA的中点. 故选：B （2020 石景山一
9、模）石景山一模）点M，N分别是棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中棱BC， 1 CC的中点，动点 P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动.若 1/ / PA面AMN，则 1 PA的长度范围是（ ） A. 2, 5 B. 3 2 , 5 2 C. 3 2 ,3 2 D. 2,3 【答案】B 【解析】取 11 BC， 1 B B中点E，F， 连接 1 AE、 1 AF . 则 1 AEAM.EFMN.又因为 1 AEEFE . 所以平面 1 AEF平面AMN. 又因为动点P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动， 所以点P的轨迹为线段EF. 11 / 36 又因为正方
10、体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 所以 11 5AEAF， 2EF . 所以 1 AEF为等腰三角形. 故当点P在点E或者P在点F处时，此时 1 PA最大，最大值 5. 当点P为EF中点时， 1 PA最小，最小值为 22 23 2 ( 5)() 22 . 故选：B. （2020 怀柔一模）怀柔一模）如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为（ ） 12 / 36 A. 2 3 B. 4 3 C. 3 D. 3 2 【答案】D 【解析】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥PABC， 如图 可知3,1,ABBCABBC，点P到平面AB
11、C的距离为3h 113 3 1 222 ABC SAB BC 所以 11 33 3 33 22 P ABCABC VSh 故选：D （2020 密云一模）密云一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ） 13 / 36 A. 8 B. 8 3 C. 8 2 2 D. 8 4 2 【答案】D 【解析】由三视图知几何体是四棱锥，如图， 且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为 2,棱锥的高为 2， 所以 11 2 222 222 2 284 2 22 S ， 故选：D （2020 密云一模）密云一模）在正方体 1 AC中，E是棱 1 CC的中点，F是侧面 11 BC
12、C B内的动点，且 1 AF与平面 1 D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确 的是（ ） A. 点 F的轨迹是一条线段 B. 1 AF与 BE 是异面直线 C. 1 AF与 1 D E不可能平行 D. 三棱锥 1 FABD体积为定值 【答案】C 【解析】对于A，设平面 1 ADE与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点 14 / 36 分别取 1 B B、 11 BC的中点M、N，连接AM、MN、AN， 11 / /AMD EQ ， 1 AM 平面 1 D AE， 1 D E 平面 1 D AE， 1 / /AM 平面 1 D AE同理可得/MN平面 1 D AE， 1
13、AM、MN是平面 1 AMN内的相交直线 平面 1 / /AMN平面 1 D AE，由此结合 1 / /AF平面 1 D AE，可得直线 1 AF 平面 1 AMN， 即点F是线段MN上上的动点A正确 对于B，平面 1 / /AMN平面 1 D AE，BE和平面 1 D AE相交， 1 A F 与BE是异面直线，B正确 对于C，由A知，平面 1 / /AMN平面 1 D AE， 1 A F 与 1 D E不可能平行，C错误 对于D， 因为/MNEG， 则F到平面 1 ADE的距离是定值， 三棱锥 1 FAD E 的体积为定值， 所以D正确； 故选：C （2020 顺义区一模）顺义区一模）如图，
14、一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2的正三角形，俯 视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是 15 / 36 A. 4 4 3 B. 12 C. 4 3 D. 8 【答案】D 【解析】由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为 2，高为 3，所以侧面的斜高为 2 3+1=2，所以该几何体的侧面积为 1 =2 2 4=8 2 s 故选：D （2020 延庆一模）延庆一模）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为 4 3 3 ，则它的表面积为( ) A. 8 B. 12 C. 4 4 3 D. 20 16 / 36 【答案】B 【解析】由三视图可知该四棱柱为正四棱
15、柱，如图所示，底面边长为 2， 设四棱锥的高为h，则依题意有 14 3 2 2 33 Vh 所以 3h ，所以侧面的高为 22 1 142hh 所以四棱锥的侧面积 1 1 =42 2=8 2 S ， 所以该四棱锥的表面积为： 2=8+2 2=12 S. 故选：B （2020 延庆一模）延庆一模）已知直线, a b，平面,/ /baab ，那么“a”是“” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若/a，则在平面内必定存在一条直线 a 有/a a， 因为a b rr ，所以ab ，若a，则a ， 17 / 36 又
16、a ，即可得，反之，若， 由b，ab ，a 可得a ，又/a a，则有a. 所以“a”是“”的充分必要条件. 故选：C （2020 海淀一模）海淀一模）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，AB平面 1111 ,22,3BBC C ABBBBCBC，点 E 为 11 AC的中点. (I)求证： 1 C B 平面 ABC； (II)求二面角A BCE的大小. 【解析】 (I)ABQ平面 11 ,BB C C 1 C B 平面 11 CBBC， 1 ABC B， 在 1 CBC中， 111 2,1,3CCBBBCBC， 222 11 BCBCCC， 1 BCC B，ABBCB， 1 C B平面
17、ABC； (II)由(I)知 11 ABC BABCBBCC B，,则建立空间直角坐标系Bxyz， 则 1 (0,0,0),(, 3,1),(1,0,0) 2 BEC-， 18 / 36 1 (1,0,0),(, 3,1), 2 BCBE= - 设平面BEC的法向量为( , , )nx y z， 故 0 0 n BC n BE ， 0 1 30 2 x xyz . 令3y ，0,3,3xyz=-， (0, 3, 3)n=-，又平面BAC的法向量为(0,1,0)m ， 1 cos, 2 m n m n m n = . 由题知二面角A BCE为锐二面角，所以二面角A BCE的大小为 3 . （20
18、20 西城一模）西城一模） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 平面ABCD， 底面 ABCD 满足ADBC， 且 1 22 2.ABADAABDDC， 19 / 36 ()求证:AB 平面 11 ADD A; ()求直线AB与平面 11 BCD所成角的正弦值. 【解析】 () 1 AA 平面ABCD，AB平面ABCD，故 1 AAAB . 2ABAD， 2 2BD ，故 222 ABADBD ，故ABAD. 1 ADAAA，故AB 平面 11 ADD A. ()如图所示：分别以 1 ,AB AD AA为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 则0,0,0A，2,0
19、,0B， 1 2,0,2B，2,4,0C， 1 0,2,2D. 设平面 11 BCD的法向量, ,nx y z，则 1 11 0 0 n BC n B D ，即 420 220 yz xy ， 取1x 得到1,1,2n ，2,0,0AB ，设直线AB与平面 11 BCD所成角为 故 26 sincos, 62 6 n AB n AB nAB . 20 / 36 （2020 东城一模）东城一模）16.如图 1，在ABC中， D， E分别为AB， AC的中点，O为DE的中点， 2 5ABAC ，4BC .将ABC沿DE折起到 1 ADE的位置，使得平面 1 ADE 平面BCED，如 图 2. （1
20、）求证： 1 AOBD； （2）求直线 1 AC和平面 1 ABD所成角的正弦值. 【解析】 （1）连接 1 AO.图 1中，ABAC，D， E分别为AB， AC的中点，ADAE， 即 11 ADAE，又O为DE的中点， 1 AODE. 21 / 36 又平面 1 ADE 平面BCED，且平面 1 ADE平面BCEDDE， 1 AO平面 1 ADE， 1 AO平面BCED，又BD 平面BCED， 1 AOBD. （2）取BC中点G，连接OG，则OGDE. 由（1）可知 1 AO 平面BCED，OG 平面BCED 11 ,AODE AOOG. 以O为原点，分别以 1 ,OG OE OA所在直线为
21、x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示 2 5ABAC ，4BC ， 2 2 11 5,2,1,512ADDEODAO . 1 0,0,2 ,2, 2,0 ,2,2,0 ,0, 1,0ABCD， 1111 2, 2, 2 ,0, 1, 2 ,2,2, 22 3ABADACAC ，. 设平面 1 ABD的法向量为, ,nx y z， 则 1 1 0 0 n AB n AD ，即 2220 20 xyz yz ，令1z ，则2,1yx ，1, 2,16nn ，. 22 / 36 设直线 1 AC和平面 1 ABD所成的角为，则 1 1 1 82 2 sincos, 32 36 AC n AC
22、 n AC n ， 所以直线 1 AC和平面 1 ABD所成角的正弦值为 2 2 3 . （2020 丰台一模）丰台一模）17.如图，在四棱锥MABCD中，/AB CD，90ADCBMC ，MB MC ， 1 2 2 ADDCAB，平面BCM 平面ABCD. （1）求证：/CD平面ABM； （2）求证：AC 平面BCM； （3）在棱AM上是否存在一点 E，使得二面角EBCM的大小为 4 ？若存在，求出 AE AM 的值；若不存 在，请说明理由. 【解析】证明： （1）因为ABCD， AB平面ABM， CD平面ABM， 所以CD平面ABM. （2）取AB的中点 N，连接CN. 23 / 36 在
23、直角梯形ABCD中， 易知 2ANBNCD ，且CNAB. 在RtCNB中，由勾股定理得2BC . 在ACB中，由勾股定理逆定理可知ACBC. 又因平面BCM 平面ABCD， 且平面BCM平面ABCDBC， 所以AC 平面BCM. （3）取BC的中点 O，连接OM，ON. 所以ONAC， 因为AC 平面BCM， 所以ON 平面BCM. 因为BMMC， 所以OMBC. 如图建立空间直角坐标系Oxyz， 24 / 36 则0,0,1M，0,1,0B，0, 1,0C，2, 1,0A， 2,1,1AM ，0, 2,0BC ，2, 2,0BA. 易知平面BCM的一个法向量为1,0,0m . 假设在棱AM
24、上存在一点 E，使得二面角EBCM的大小为 4 . 不妨设AE AM （01） ， 所以22 ,2,BEBAAE ， 设, ,nx y z为平面BCE的一个法向量， 则 0, 0, n BC n BE 即 20, 220, y xz 令x，22z，所以,0,22n. 从而 2 cos, 2 m n mn m n . 25 / 36 解得 2 3 或2. 因为01，所以 2 3 . 由题知二面角EBCM为锐二面角. 所以在棱AM上存在一点 E，使得二面角EBCM的大小为 4 ， 此时 2 3 AE AM . （2020 朝阳区一模）朝阳区一模）17.如图，在三棱柱 111 ABCABC中，平面
25、11 ACC A 平面ABC，四边形 11 ACC A是 正方形，点D，E分别是棱BC， 1 BB的中点， 4AB ， 1 2AA ， 2 5BC . （1）求证： 1 ABCC； （2）求二面角 1 DACC的余弦值； （3）若点F在棱 11 BC上，且 111 4BCB F= ，判断平面 1 AC D与平面 1 AEF是否平行，并说明理由. 【解析】 （1）证明：因为四边形 11 ACC A是正方形，所以 1 CCAC. 又因为平面ABC平面 11 ACC A， 26 / 36 平面ABC平面 11 ACC A AC， 所以 1 CC 平面ABC 又因为AB平面ABC， 所以 1 ABCC
26、. （2）由（1）知， 1 CCAB， 11 /AA CC，所以 1 AAAB. 又4AB ， 1 2ACAA ，2 5BC ， 所以 222 ABACBC .所以ACAB . 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz. 所以 (0,0,0)A ， (4,0,0)B ，(0,0,2)C， 1(0,2,0) A. 27 / 36 则有(2,0,1)D， 1(0,2,2) C，(4,1,0)E， 平面 1 ACC的一个法向量为(1,0,0)u . 设平面 1 AC D的一个法向量为( , , )vx y z， 又(2,0,1)AD uuu r =， 1 (0,2,2)AC uuur =， 由
27、1 0, 0. v AD v AC 得 20, 220. xz yz 令1x ，则2z ，2y .所以 (1,2,2)v =- r . 设二面角 1 DACC的平面角为，则 |11 |cos | |1 33 u v uv = r r rr q . 由题知，二面角 1 DACC为锐角，所以其余弦值为 1 3 . （3）平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行.理由如下： 由（2）知，平面 1 AC D的一个法向量为(1,2,2)v =- r ， 1 (4,1,0)AE uuu r =-， 所以 1 20AE v? uuu r r ，所以 1 AE与平面 1 AC D不平行. 28 / 36 又
28、因为 1 AE 平面 1 AEF， 所以平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行. （2020 石景山一模）石景山一模）16.如图，在正四棱锥PABCD中， 2 2ABPB ，ACBDO. （1）求证：BO平面PAC； （2）求二面角A PCB的余弦值. 【解析】 （1）证明：联结PO . 在正四棱锥PABCD中，PO底面ABCD. 因为BO平面ABCD，所以POBO. 在正方形ABCD中，BOAC， 又因为POACO，所以BO面PAC. 29 / 36 （2）解：由（1）知，PO，AO，BO两两垂直， 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD中，因为 2 2AB ， 所
29、以2AO. 又因为 2 2PB ， 所以2PO. 所以点P的坐标为002P,，点C的坐标为2,0,0C ， 点B的坐标为0,2,0B. 则2,0, 2PC ，2,2,0CB . 由（1）知，BO平面PAC. 所以平面PAC的一个法向量为 1 0,2,0nOB. 设平面PBC的一个法向量 2 , ,nx y z. 则 2 2 0 0 nPC nCB ，即 220, 220. xz xy 令1y ，则1x，1z . 故平面PBC的一个法向量 2 1,1,1n . 12 12 12 3 cos, 3 n n n n n n 所以二面角A PCB的余弦值为 3 3 . （2020 怀柔一模）怀柔一模）
30、17.如图，已知四棱锥PABCD的底面 ABCD为正方形，PA 平面 ABCD，E、F分 别是 BC，PC的中点，2,2ABAP， 30 / 36 （1）求证：BD 平面PAC； （2）求二面角EAFC的大小 【解析】 （1） PAABCDPABD ABCDACBD BDPAC 平面 正方形 平面 （2）以 A为原点，如图所示建立直角坐标系 (0,0,0) (2,1,0) (1,1,1) (2,1,0)(1,1,1) AEF AEAF ， ， 设平面 FAE法向量为( , , )nx y z，则 20 0 xy xyz (1, 2,1)n ，( 2,2,0)BD ， 31 / 36 243 c
31、os 22 2? 6 |? , 66 n BD nBD EAFC 即二面角的大小为 （2020 密云一模）密云一模） 18.如图， 在四棱锥 P-ABCD中， 底面 ABCD 是边长为 2的菱形，60ADC， PAD 为等边三角形，平面PAD 平面 ABCD，M，N 分别是线段 PD 和 BC 的中点. （1）求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值； （2）求二面角 D-AP-B 的余弦值； （3）试判断直线 MN 与平面 PAB 的位置关系，并给出证明. 【解析】底面ABCD是边长为 2的菱形，60ADC， ACD为等边三角形 取AD中点O，连接OC，则OCAD， PAD为等边三角形，
32、 OPAD， 又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， OP平面ABCD 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 32 / 36 则 (0A ，1，0)， (0D ，1，0)，( 3C，0，0)，( 3B，2，0)， (0P ，0，3)， (0M ， 1 2 ， 3) 2 ，( 3N，1，0) (0,1, 3)AP ， ( 3, 1,0)AB ，设平面PAB的一个法向量为n (x,y,z) 由 30 30 n APyz n ABxy ，取3y ，得 (1, 3, 1)n （1）证明：设直线CM与平面PAB所成角为， 13 (3,) 22
33、 CM ， 则 |315 sin|cos,| 1052 | | n CM n CM nCM ， 即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为 15 10 ； （2）设平面DAP的一个法向量为 (1,0,0)m ， 由 15 cos, | |55 1 n m n m nm rr rr， 33 / 36 得二面角DAPB的余弦值为 5 5 ； （3） 33 ( 3,) 22 MN ， 3 33 30 22 n MN ， 又MN 平面PAB， 直线 /MN平面PAB （2020 顺义区一模）顺义区一模）16.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD 平面ABCD,PDAB, E是PB的中点. （
34、1）求证：平面PBC 平面PCD; （2）求二面角EADB的大小; （3）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行,并说明理由. 【解析】 （1）证明：ABCD正方形BCCD PD平面ABCD, BC平面ABCD,PDBC PDCDD,PD CD 平面PCD BC平面PCD 34 / 36 又BC平面PBC 平面PBC 平面PCD （2）PD 平面ABCD, ,AD CD 平面ABCD ,PDAD PDCD 又ABCD是正方形ADCD ,DA DC DP两两垂直 以D为原点如图建系,设1PDAB= 0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P
35、, 1 1 1 , 2 2 2 E 1 1 1 (1,0,0), 2 2 2 DADE 又PD 平面ABCD 平面ADB的法向量(0,0,1)DP 设平面ADE 的法向量( , , )nx y z 则DA n ,DE n 35 / 36 0 111 0 222 DA nx DE nxyz 令1z ,得1,0yx (0, 1,1)n 12 cos, 2| |12 DP n DP n DPn 二面角EADB的大小为45 （3）PDAD,ADCD ,PDCDD 又,PD CD 平面PCD,AD 平面PCD 平面PCD的法向量为(1,0,0)DA 又 1 1 11 ,0 2 2 22 AEAE DA
36、AE与DA不垂直,AE与平面PCD不平行 （2020 延庆一模）延庆一模）16.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，4ABPDPCO，是CD的 中点，PO平面ABCD，E是棱PC上的一点，/PA平面BDE. （1）求证：E是PC的中点； （2）求证：PD和BE所成角等于90 . 36 / 36 【解析】 （1）如图，联结AC，设AC与BD交于F，联结EF， 因/PA平面BDE，平面PAC平面BDE=EF,所以/PAEF. 又因为四边形ABCD是正方形，所以F是AC的中点， 所以EF是PAC的中位线，所以E是PC的中点 （2）因为PO平面ABCD，所以POBC. 因为四边形ABCD是正方形，所以BCCD 又POCDO，所以BC平面PDC，所以BCPD 又因为PDPC且BCPCC，所以PD 平面PBC 因为BE 平面PBC，所以PDBE， 所以PD与BE成90角.
