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2020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何(解析版)

1、 1 / 36 2020 北京各区一模数学试题分类汇编北京各区一模数学试题分类汇编-立体几何立体几何 (2020 海淀一模)海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 13 【答案】C 【解析】 由三视图知,四棱锥底面是直角梯形,EA 底面ABCD,2EAABBC=,最长棱是EC, 在Rt ABC中, 222 ACABBC,在Rt EACD中, 222 ECEAAC=+, 2222 12ECEAABBC=+=, 2 3EC . 故选:D (2020 西城一模)西城一模)某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集

2、合,则( ) 2 / 36 A. 2 2 2 3SS,且 B. 2 2 2 3SS,且 C. 2 2 2 3SS,且 D. 2 2 2 3SS,且 【答案】D 【解析】如图所示:在边长为2的正方体 1111 ABCDABC D中,四棱锥 1 CABCD满足条件. 故 1 2ABBCCDADCC, 11 2 2BCDC, 1 2 3AC . 故 2,2 2,2 3S ,故2 2S,2 3 S . 故选:D. 3 / 36 (2020 东城一模)东城一模)某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的体积为_ 【答案】 4 3 【解析】由三视图知该几何体如图,V 1 2 1 2 3 4 3 4 / 36

3、 故答案为 4 3 (2020 丰台一模)丰台一模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积等于 3的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】该几何体对应直观图如下图所示 1 233 2 ABC S ; 1 233 2 ABD S ; 22 2( 3)7AC , 2 2( 3)7AD 1 233 2 BCD S , 22 1 2( 7)16 2 ACD S 则面积等于3的有 3个 故选:C 5 / 36 (2020 朝阳区一模)朝阳区一模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为_,它的体积为 _. 【答案】 (1). 5

4、 (2). 4 【解析】如图所示是三棱锥的直观图: 其中AF 平面BCD,垂足为F, 根据三视图可知,2BEED,2CEEF,3AF , 6 / 36 所以 2 2BFDFBCCD , 22 (2 2)317ABAD , 2222 345ACAFCF , 比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC , 它的体积为 111 34 24 332 BCD AFS , 故答案为: (1)5 (2)4 (2020 石景山一模)石景山一模)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三 视图,则该几何体的体积为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】如图

5、所示,题中的几何体是棱长为 2 的正方体被平面 ABCD 截得的正方体的下部分,很明显截得 的两部分是完全一致的几何体,则该几何体的体积为 3 1 24 2 V . 故选:B 7 / 36 (2020 丰台一模)丰台一模) 已知平面和三条不同的直线 m, n, l.给出下列六个论断: m; /m; /m l; n;/n;/n l.以其中两个论断作为条件,使得/m n成立.这两个论断可以是_.(填上你 认为正确的一组序号) 【答案】(或) 【解析】对,由线面垂直的性质定理可知,若m,n,则/m n,故可填 对,若m,/n,则mn; 对,若m,/n l,则无法判断 ,m n的位置关系; 对,若/m

6、,n,则mn; 对,若/m,/n,则 ,m n可能相交,平行或异面; 8 / 36 对,若/m,/n l,则无法判断 ,m n 位置关系; 对,若/m l,n,则无法判断 ,m n的位置关系; 对,若/m l,/n,则无法判断 ,m n的位置关系; 对,由平行的传递性可知,若/n l,/m l,则/m n,故可填 故答案为:(或) (2020 朝阳区一模)朝阳区一模)如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,M,N分别是棱AB, 1 BB的中点,点P在 对角线 1 CA上运动.当PMN的面积取得最小值时,点P的位置是( ) A. 线段 1 CA的三等分点,且靠近点 1 A B. 线段 1

7、 CA的中点 C. 线段 1 CA的三等分点,且靠近点C D. 线段 1 CA的四等分点,且靠近点C 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 1,以A 为原点, 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z轴,建立空间直角坐标系,如图所 示: 9 / 36 则 1 ( ,0,0) 2 M, 1 (1,0, ) 2 N,MN的中点 31 ( ,0, ) 44 Q, 1(0,0,1) A,(1,1,0)C,则 1 (1,1, 1)AC , 设( , , )P t t z,(1,1,)PCttz, 由 1 AC与PC共线,可得 11 111 ttz ,所以1tz ,所以(1,1, )Pzz z,其中

8、01z, 因为 222 1 |(1)(10)(0) 2 PMzzz 2 5 33 4 zz, 222 1 |(11)(10)() 2 PNzzz 2 5 33 4 zz, 所以| |PMPN,所以PQMN,即|PQ是动点P到直线MN的距离, 由空间两点间的距离公式可得 222 31 |(1)(10)() 44 PQzzz 2 9 33 8 zz 2 13 3() 28 z, 10 / 36 所以当 1 2 c 时,|PQ取得最小值 6 4 ,此时P为线段 1 CA的中点, 由于 2 | 4 MN 为定值,所以当PMN的面积取得最小值时,P为线段 1 CA的中点. 故选:B (2020 石景山一

9、模)石景山一模)点M,N分别是棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中棱BC, 1 CC的中点,动点 P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动.若 1/ / PA面AMN,则 1 PA的长度范围是( ) A. 2, 5 B. 3 2 , 5 2 C. 3 2 ,3 2 D. 2,3 【答案】B 【解析】取 11 BC, 1 B B中点E,F, 连接 1 AE、 1 AF . 则 1 AEAM.EFMN.又因为 1 AEEFE . 所以平面 1 AEF平面AMN. 又因为动点P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动, 所以点P的轨迹为线段EF. 11 / 36 又因为正方

10、体 1111 ABCDABC D的棱长为 2, 所以 11 5AEAF, 2EF . 所以 1 AEF为等腰三角形. 故当点P在点E或者P在点F处时,此时 1 PA最大,最大值 5. 当点P为EF中点时, 1 PA最小,最小值为 22 23 2 ( 5)() 22 . 故选:B. (2020 怀柔一模)怀柔一模)如图,网格纸上小正方形的边长均为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体 的体积为( ) 12 / 36 A. 2 3 B. 4 3 C. 3 D. 3 2 【答案】D 【解析】根据三视图可知,该几何体的直观图为三棱锥PABC, 如图 可知3,1,ABBCABBC,点P到平面AB

11、C的距离为3h 113 3 1 222 ABC SAB BC 所以 11 33 3 33 22 P ABCABC VSh 故选:D (2020 密云一模)密云一模)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为( ) 13 / 36 A. 8 B. 8 3 C. 8 2 2 D. 8 4 2 【答案】D 【解析】由三视图知几何体是四棱锥,如图, 且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为 2,棱锥的高为 2, 所以 11 2 222 222 2 284 2 22 S , 故选:D (2020 密云一模)密云一模)在正方体 1 AC中,E是棱 1 CC的中点,F是侧面 11 BC

12、C B内的动点,且 1 AF与平面 1 D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确 的是( ) A. 点 F的轨迹是一条线段 B. 1 AF与 BE 是异面直线 C. 1 AF与 1 D E不可能平行 D. 三棱锥 1 FABD体积为定值 【答案】C 【解析】对于A,设平面 1 ADE与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点 14 / 36 分别取 1 B B、 11 BC的中点M、N,连接AM、MN、AN, 11 / /AMD EQ , 1 AM 平面 1 D AE, 1 D E 平面 1 D AE, 1 / /AM 平面 1 D AE同理可得/MN平面 1 D AE, 1

13、AM、MN是平面 1 AMN内的相交直线 平面 1 / /AMN平面 1 D AE,由此结合 1 / /AF平面 1 D AE,可得直线 1 AF 平面 1 AMN, 即点F是线段MN上上的动点A正确 对于B,平面 1 / /AMN平面 1 D AE,BE和平面 1 D AE相交, 1 A F 与BE是异面直线,B正确 对于C,由A知,平面 1 / /AMN平面 1 D AE, 1 A F 与 1 D E不可能平行,C错误 对于D, 因为/MNEG, 则F到平面 1 ADE的距离是定值, 三棱锥 1 FAD E 的体积为定值, 所以D正确; 故选:C (2020 顺义区一模)顺义区一模)如图,

14、一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2的正三角形,俯 视图轮廓为正方形,则此几何体的侧面积是 15 / 36 A. 4 4 3 B. 12 C. 4 3 D. 8 【答案】D 【解析】由三视图知:原几何体是一个正四棱锥,正四棱锥的底面边长为 2,高为 3,所以侧面的斜高为 2 3+1=2,所以该几何体的侧面积为 1 =2 2 4=8 2 s 故选:D (2020 延庆一模)延庆一模)某四棱锥的三视图所示,已知该四棱锥的体积为 4 3 3 ,则它的表面积为( ) A. 8 B. 12 C. 4 4 3 D. 20 16 / 36 【答案】B 【解析】由三视图可知该四棱柱为正四棱

15、柱,如图所示,底面边长为 2, 设四棱锥的高为h,则依题意有 14 3 2 2 33 Vh 所以 3h ,所以侧面的高为 22 1 142hh 所以四棱锥的侧面积 1 1 =42 2=8 2 S , 所以该四棱锥的表面积为: 2=8+2 2=12 S. 故选:B (2020 延庆一模)延庆一模)已知直线, a b,平面,/ /baab ,那么“a”是“” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若/a,则在平面内必定存在一条直线 a 有/a a, 因为a b rr ,所以ab ,若a,则a , 17 / 36 又

16、a ,即可得,反之,若, 由b,ab ,a 可得a ,又/a a,则有a. 所以“a”是“”的充分必要条件. 故选:C (2020 海淀一模)海淀一模)如图,在三棱柱 111 ABCABC中,AB平面 1111 ,22,3BBC C ABBBBCBC,点 E 为 11 AC的中点. (I)求证: 1 C B 平面 ABC; (II)求二面角A BCE的大小. 【解析】 (I)ABQ平面 11 ,BB C C 1 C B 平面 11 CBBC, 1 ABC B, 在 1 CBC中, 111 2,1,3CCBBBCBC, 222 11 BCBCCC, 1 BCC B,ABBCB, 1 C B平面

17、ABC; (II)由(I)知 11 ABC BABCBBCC B,,则建立空间直角坐标系Bxyz, 则 1 (0,0,0),(, 3,1),(1,0,0) 2 BEC-, 18 / 36 1 (1,0,0),(, 3,1), 2 BCBE= - 设平面BEC的法向量为( , , )nx y z, 故 0 0 n BC n BE , 0 1 30 2 x xyz . 令3y ,0,3,3xyz=-, (0, 3, 3)n=-,又平面BAC的法向量为(0,1,0)m , 1 cos, 2 m n m n m n = . 由题知二面角A BCE为锐二面角,所以二面角A BCE的大小为 3 . (20

18、20 西城一模)西城一模) 如图, 在四棱柱 1111 ABCDABC D中, 1 AA 平面ABCD, 底面 ABCD 满足ADBC, 且 1 22 2.ABADAABDDC, 19 / 36 ()求证:AB 平面 11 ADD A; ()求直线AB与平面 11 BCD所成角的正弦值. 【解析】 () 1 AA 平面ABCD,AB平面ABCD,故 1 AAAB . 2ABAD, 2 2BD ,故 222 ABADBD ,故ABAD. 1 ADAAA,故AB 平面 11 ADD A. ()如图所示:分别以 1 ,AB AD AA为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系, 则0,0,0A,2,0

19、,0B, 1 2,0,2B,2,4,0C, 1 0,2,2D. 设平面 11 BCD的法向量, ,nx y z,则 1 11 0 0 n BC n B D ,即 420 220 yz xy , 取1x 得到1,1,2n ,2,0,0AB ,设直线AB与平面 11 BCD所成角为 故 26 sincos, 62 6 n AB n AB nAB . 20 / 36 (2020 东城一模)东城一模)16.如图 1,在ABC中, D, E分别为AB, AC的中点,O为DE的中点, 2 5ABAC ,4BC .将ABC沿DE折起到 1 ADE的位置,使得平面 1 ADE 平面BCED,如 图 2. (1

20、)求证: 1 AOBD; (2)求直线 1 AC和平面 1 ABD所成角的正弦值. 【解析】 (1)连接 1 AO.图 1中,ABAC,D, E分别为AB, AC的中点,ADAE, 即 11 ADAE,又O为DE的中点, 1 AODE. 21 / 36 又平面 1 ADE 平面BCED,且平面 1 ADE平面BCEDDE, 1 AO平面 1 ADE, 1 AO平面BCED,又BD 平面BCED, 1 AOBD. (2)取BC中点G,连接OG,则OGDE. 由(1)可知 1 AO 平面BCED,OG 平面BCED 11 ,AODE AOOG. 以O为原点,分别以 1 ,OG OE OA所在直线为

21、x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示 2 5ABAC ,4BC , 2 2 11 5,2,1,512ADDEODAO . 1 0,0,2 ,2, 2,0 ,2,2,0 ,0, 1,0ABCD, 1111 2, 2, 2 ,0, 1, 2 ,2,2, 22 3ABADACAC ,. 设平面 1 ABD的法向量为, ,nx y z, 则 1 1 0 0 n AB n AD ,即 2220 20 xyz yz ,令1z ,则2,1yx ,1, 2,16nn ,. 22 / 36 设直线 1 AC和平面 1 ABD所成的角为,则 1 1 1 82 2 sincos, 32 36 AC n AC

22、 n AC n , 所以直线 1 AC和平面 1 ABD所成角的正弦值为 2 2 3 . (2020 丰台一模)丰台一模)17.如图,在四棱锥MABCD中,/AB CD,90ADCBMC ,MB MC , 1 2 2 ADDCAB,平面BCM 平面ABCD. (1)求证:/CD平面ABM; (2)求证:AC 平面BCM; (3)在棱AM上是否存在一点 E,使得二面角EBCM的大小为 4 ?若存在,求出 AE AM 的值;若不存 在,请说明理由. 【解析】证明: (1)因为ABCD, AB平面ABM, CD平面ABM, 所以CD平面ABM. (2)取AB的中点 N,连接CN. 23 / 36 在

23、直角梯形ABCD中, 易知 2ANBNCD ,且CNAB. 在RtCNB中,由勾股定理得2BC . 在ACB中,由勾股定理逆定理可知ACBC. 又因平面BCM 平面ABCD, 且平面BCM平面ABCDBC, 所以AC 平面BCM. (3)取BC的中点 O,连接OM,ON. 所以ONAC, 因为AC 平面BCM, 所以ON 平面BCM. 因为BMMC, 所以OMBC. 如图建立空间直角坐标系Oxyz, 24 / 36 则0,0,1M,0,1,0B,0, 1,0C,2, 1,0A, 2,1,1AM ,0, 2,0BC ,2, 2,0BA. 易知平面BCM的一个法向量为1,0,0m . 假设在棱AM

24、上存在一点 E,使得二面角EBCM的大小为 4 . 不妨设AE AM (01) , 所以22 ,2,BEBAAE , 设, ,nx y z为平面BCE的一个法向量, 则 0, 0, n BC n BE 即 20, 220, y xz 令x,22z,所以,0,22n. 从而 2 cos, 2 m n mn m n . 25 / 36 解得 2 3 或2. 因为01,所以 2 3 . 由题知二面角EBCM为锐二面角. 所以在棱AM上存在一点 E,使得二面角EBCM的大小为 4 , 此时 2 3 AE AM . (2020 朝阳区一模)朝阳区一模)17.如图,在三棱柱 111 ABCABC中,平面

25、11 ACC A 平面ABC,四边形 11 ACC A是 正方形,点D,E分别是棱BC, 1 BB的中点, 4AB , 1 2AA , 2 5BC . (1)求证: 1 ABCC; (2)求二面角 1 DACC的余弦值; (3)若点F在棱 11 BC上,且 111 4BCB F= ,判断平面 1 AC D与平面 1 AEF是否平行,并说明理由. 【解析】 (1)证明:因为四边形 11 ACC A是正方形,所以 1 CCAC. 又因为平面ABC平面 11 ACC A, 26 / 36 平面ABC平面 11 ACC A AC, 所以 1 CC 平面ABC 又因为AB平面ABC, 所以 1 ABCC

26、. (2)由(1)知, 1 CCAB, 11 /AA CC,所以 1 AAAB. 又4AB , 1 2ACAA ,2 5BC , 所以 222 ABACBC .所以ACAB . 如图,以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz. 所以 (0,0,0)A , (4,0,0)B ,(0,0,2)C, 1(0,2,0) A. 27 / 36 则有(2,0,1)D, 1(0,2,2) C,(4,1,0)E, 平面 1 ACC的一个法向量为(1,0,0)u . 设平面 1 AC D的一个法向量为( , , )vx y z, 又(2,0,1)AD uuu r =, 1 (0,2,2)AC uuur =, 由

27、1 0, 0. v AD v AC 得 20, 220. xz yz 令1x ,则2z ,2y .所以 (1,2,2)v =- r . 设二面角 1 DACC的平面角为,则 |11 |cos | |1 33 u v uv = r r rr q . 由题知,二面角 1 DACC为锐角,所以其余弦值为 1 3 . (3)平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行.理由如下: 由(2)知,平面 1 AC D的一个法向量为(1,2,2)v =- r , 1 (4,1,0)AE uuu r =-, 所以 1 20AE v? uuu r r ,所以 1 AE与平面 1 AC D不平行. 28 / 36 又

28、因为 1 AE 平面 1 AEF, 所以平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行. (2020 石景山一模)石景山一模)16.如图,在正四棱锥PABCD中, 2 2ABPB ,ACBDO. (1)求证:BO平面PAC; (2)求二面角A PCB的余弦值. 【解析】 (1)证明:联结PO . 在正四棱锥PABCD中,PO底面ABCD. 因为BO平面ABCD,所以POBO. 在正方形ABCD中,BOAC, 又因为POACO,所以BO面PAC. 29 / 36 (2)解:由(1)知,PO,AO,BO两两垂直, 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD中,因为 2 2AB , 所

29、以2AO. 又因为 2 2PB , 所以2PO. 所以点P的坐标为002P,,点C的坐标为2,0,0C , 点B的坐标为0,2,0B. 则2,0, 2PC ,2,2,0CB . 由(1)知,BO平面PAC. 所以平面PAC的一个法向量为 1 0,2,0nOB. 设平面PBC的一个法向量 2 , ,nx y z. 则 2 2 0 0 nPC nCB ,即 220, 220. xz xy 令1y ,则1x,1z . 故平面PBC的一个法向量 2 1,1,1n . 12 12 12 3 cos, 3 n n n n n n 所以二面角A PCB的余弦值为 3 3 . (2020 怀柔一模)怀柔一模)

30、17.如图,已知四棱锥PABCD的底面 ABCD为正方形,PA 平面 ABCD,E、F分 别是 BC,PC的中点,2,2ABAP, 30 / 36 (1)求证:BD 平面PAC; (2)求二面角EAFC的大小 【解析】 (1) PAABCDPABD ABCDACBD BDPAC 平面 正方形 平面 (2)以 A为原点,如图所示建立直角坐标系 (0,0,0) (2,1,0) (1,1,1) (2,1,0)(1,1,1) AEF AEAF , , 设平面 FAE法向量为( , , )nx y z,则 20 0 xy xyz (1, 2,1)n ,( 2,2,0)BD , 31 / 36 243 c

31、os 22 2? 6 |? , 66 n BD nBD EAFC 即二面角的大小为 (2020 密云一模)密云一模) 18.如图, 在四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD 是边长为 2的菱形,60ADC, PAD 为等边三角形,平面PAD 平面 ABCD,M,N 分别是线段 PD 和 BC 的中点. (1)求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值; (2)求二面角 D-AP-B 的余弦值; (3)试判断直线 MN 与平面 PAB 的位置关系,并给出证明. 【解析】底面ABCD是边长为 2的菱形,60ADC, ACD为等边三角形 取AD中点O,连接OC,则OCAD, PAD为等边三角形,

32、 OPAD, 又平面PAD 平面ABCD,且平面PAD平面ABCDAD, OP平面ABCD 以O为坐标原点,分别以OC,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 32 / 36 则 (0A ,1,0), (0D ,1,0),( 3C,0,0),( 3B,2,0), (0P ,0,3), (0M , 1 2 , 3) 2 ,( 3N,1,0) (0,1, 3)AP , ( 3, 1,0)AB ,设平面PAB的一个法向量为n (x,y,z) 由 30 30 n APyz n ABxy ,取3y ,得 (1, 3, 1)n (1)证明:设直线CM与平面PAB所成角为, 13 (3,) 22

33、 CM , 则 |315 sin|cos,| 1052 | | n CM n CM nCM , 即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为 15 10 ; (2)设平面DAP的一个法向量为 (1,0,0)m , 由 15 cos, | |55 1 n m n m nm rr rr, 33 / 36 得二面角DAPB的余弦值为 5 5 ; (3) 33 ( 3,) 22 MN , 3 33 30 22 n MN , 又MN 平面PAB, 直线 /MN平面PAB (2020 顺义区一模)顺义区一模)16.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD 平面ABCD,PDAB, E是PB的中点. (

34、1)求证:平面PBC 平面PCD; (2)求二面角EADB的大小; (3)试判断AE所在直线与平面PCD是否平行,并说明理由. 【解析】 (1)证明:ABCD正方形BCCD PD平面ABCD, BC平面ABCD,PDBC PDCDD,PD CD 平面PCD BC平面PCD 34 / 36 又BC平面PBC 平面PBC 平面PCD (2)PD 平面ABCD, ,AD CD 平面ABCD ,PDAD PDCD 又ABCD是正方形ADCD ,DA DC DP两两垂直 以D为原点如图建系,设1PDAB= 0,0,0D (),(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P

35、, 1 1 1 , 2 2 2 E 1 1 1 (1,0,0), 2 2 2 DADE 又PD 平面ABCD 平面ADB的法向量(0,0,1)DP 设平面ADE 的法向量( , , )nx y z 则DA n ,DE n 35 / 36 0 111 0 222 DA nx DE nxyz 令1z ,得1,0yx (0, 1,1)n 12 cos, 2| |12 DP n DP n DPn 二面角EADB的大小为45 (3)PDAD,ADCD ,PDCDD 又,PD CD 平面PCD,AD 平面PCD 平面PCD的法向量为(1,0,0)DA 又 1 1 11 ,0 2 2 22 AEAE DA

36、AE与DA不垂直,AE与平面PCD不平行 (2020 延庆一模)延庆一模)16.如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,4ABPDPCO,是CD的 中点,PO平面ABCD,E是棱PC上的一点,/PA平面BDE. (1)求证:E是PC的中点; (2)求证:PD和BE所成角等于90 . 36 / 36 【解析】 (1)如图,联结AC,设AC与BD交于F,联结EF, 因/PA平面BDE,平面PAC平面BDE=EF,所以/PAEF. 又因为四边形ABCD是正方形,所以F是AC的中点, 所以EF是PAC的中位线,所以E是PC的中点 (2)因为PO平面ABCD,所以POBC. 因为四边形ABCD是正方形,所以BCCD 又POCDO,所以BC平面PDC,所以BCPD 又因为PDPC且BCPCC,所以PD 平面PBC 因为BE 平面PBC,所以PDBE, 所以PD与BE成90角.