1、某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的 红烧牛肉方便面至少有（ ） A8 B9 C10 D11 4 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆（ ） A与 x 轴相交，与 y 轴相切 B与 x 轴相离，与 y 轴相交 C与 x 轴相切，与 y 轴相交 D与 x 轴相切，与 y 轴相离 5 （4 分）sin70，cos70，tan70的大小关系是（ ） Atan70cos70sin70 Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70 Dcos70sin70tan70 6 （4 分）如图，AB 是半圆 O 的直径
2、，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误 的是（ ） AACDDAB BADDE CAD2BDCD DCDABACBD 7 （4 分）已知ABC 是正三角形，点 D 是边 AC 上一动点（不与 A、C 重合） ，以 BD 为边 第 2 页（共 32 页） 作正BDE，边 DE 与边 AB 交于点 F，则图中一定相似的三角形有（ ）对 A6 B5 C4 D3 8 （4 分）如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全 等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直
3、三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最 大值是（ ） Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2 9 （4 分）对于二次函数 yx22mx3，有下列说法： 它的图象与 x 轴有两个公共点； 若当 x1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m1； 若将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m1； 若当 x4 时的函数值与 x2 时的函数值相等，则当 x6 时的函数值为3 其中正确的说法是（ ） A B C D 10 （4 分）已知ABC 的两条中线的长分别为 5、10若第三条中线的长也是整数，则第 三条中线长的最大值为（ ） A7 B8 C14 D15 二、填空题二、填空题 11 （5 分）已知 a4，b
4、9，c 是 a，b 的比例中项，则 c 12 （5 分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、C 都是格点，则 cos BAC 第 3 页（共 32 页） 13 （5 分）O 的半径为 1，弦 AB，弦 AC，则BAC 度数为 14 （5 分）如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与 圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 15 （5 分）RtABC 中，C90，AC5，BC12，如果以点 C 为圆心，r 为半径，且 C 与斜边 AB 仅有一个公共点，那么半径 r 的取值范围是 16 （5 分）如图，直角三角形 ABC 中，ACB90，A
5、B10，BC6，在线段 AB 上取 一点 D，作 DFAB 交 AC 于点 F，现将ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对 应点记为 A1；AD 的中点 E 的对应点记为 E1，若E1FA1E1BF，则 AD 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 个小题，共个小题，共 80 分）分） 17 （8 分）计算：如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优 弧上一点，求 tanOBC 的值 18 （8 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A（2，0） ，B（0，1） ，C（4，5）三 点求二次函数的表达式 19 （8 分）如
6、图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得ADG30， 第 4 页（共 32 页） 在 E 处测得AFG60，CE8 米，仪器高度 CD1.5 米，求这棵树 AB 的高度（结 果保留两位有效数字，1.732） 20 （8 分）一个口袋中放有 20 个球，其中红球 6 个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜 色外没有任何区别小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后取第二个）发 现，取得黑球的频率稳定在 0.4 左右 （1）请你估计袋中黑球的个数； （2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意 一个球，取出红球的概率是多少？ 21 （10 分
7、）如图 1，以ABC 的边 AB 为直径的O 交边 BC 于点 E，过点 E 作O 的切线 交 AC 于点 D，且 EDAC （1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如图 2，若线段 AB、DE 的延长线交于点 F，C75，CD2，求O 的 半径和 BF 的长 22 （12 分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两 坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线” 例如，点 M（1，3）的特征线有：x1， y3，yx+2，yx+4 第 5 页（共 32 页） 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别 在 x 轴和
8、 y 轴上，抛物线经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部 （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 yx+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落 在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛 物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？ 23 （12 分）如图 1 （1）已知ABC 中 ABAC，BAC36，BD 是角平分线，求证： 点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）如图 2，正五边形的边长为 2，连结对角线 AD、B
9、E、CE，线段 AD 分别与 BE 和 CE 相交于点 M、N，求 MN 的长； （3）设O 的半径为 r，直接写出它的内接正十边形的边长 （用 r 的代数式表 示） 24 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（1，0） 第 6 页（共 32 页） （1）请直接写出点 B、C 的坐标：B 、C ；并求经过 A、B、C 三点的抛 物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF90，DEF60） ， 把顶点 E 放在线段 AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合
10、的动点） ，并使 ED 所在直线经过 点 C此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点 M 设 AEx，当 x 为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使PEM 是等腰三角形？若存 在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 32 页） 2020 年浙江省绍兴市上虞实验中学中考数学一模试卷年浙江省绍兴市上虞实验中学中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若，则的值为（ ） A1 B C D 【分析】根据合分比性质求解 【解答】解：， 故选
11、：D 【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比 性质；合分比性质；等比性质 2 （4 分）展览馆有 A，B 两个入口，D、E、F 三个出口，则从 A 入口进，F 出口出的概率 是（ ） A B C D 【分析】根据两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件发生概率的积直接算出答 案即可 【解答】解：A，B 两个入口，D、E、F 三个出口， 从 A 入口进的概率为：；从 F 出口出的概率为：， 从 A 入口进，F 出口出的概率是， 故选：C 【点评】考查了独立事件概率的求法，解答时要牢记两个独立事件同时发生的概率等于 两个独立事件发生概率的积，也可通过列表或树
12、状图法将所有情况全部列举出来 3 （4 分）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的 红烧牛肉方便面至少有（ ） 第 8 页（共 32 页） A8 B9 C10 D11 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：易得第一层有 4 碗，第二层最少有 3 碗，第三层最少有 2 碗，所以至少共 有 9 个碗 故选：B 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方 面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得 到答案 4 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以点
13、（3，4）为圆心，4 为半径的圆（ ） A与 x 轴相交，与 y 轴相切 B与 x 轴相离，与 y 轴相交 C与 x 轴相切，与 y 轴相交 D与 x 轴相切，与 y 轴相离 【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到 X 轴的距离是 4，到 Y 轴的距离是 3， 根据直线与圆的位置关系即可求出答案 【解答】解：圆心到 X 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3， 44，34， 圆与 x 轴相切，与 y 轴相交， 故选：C 【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握， 能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键 5 （4 分）sin70，cos
14、70，tan70的大小关系是（ ） Atan70cos70sin70 Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70 Dcos70sin70tan70 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70和 cos70都小于 1，tan70大于 1， 故 tan70最大； 只需比较 sin70和 cos70，又 cos70sin20，再根据正弦值随着角的增大而增大， 进行比较 第 9 页（共 32 页） 【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701 又 cos70sin20，正弦值随着角的增大而增大， sin70cos70sin20 故选：
15、D 【点评】首先要明确锐角三角函数中的变化规律，同时掌握正余弦转换的方法 6 （4 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误 的是（ ） AACDDAB BADDE CAD2BDCD DCDABACBD 【分析】由ADCADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等 且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用 【解答】解：如图，ADCADB， A、ACDDAB， ADCBDA，故 A 选项正确； B、ADDE， ，
16、DAEB， ADCBDA，故 B 选项正确； C、AD2BDCD， AD：BDCD：AD， ADCBDA，故 C 选项正确； D、CDABACBD， CD：ACBD：AB， 但ACDABD 不是对应夹角，故 D 选项错误 第 10 页（共 32 页） 故选：D 【点评】此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握数形 结合思想的应用 7 （4 分）已知ABC 是正三角形，点 D 是边 AC 上一动点（不与 A、C 重合） ，以 BD 为边 作正BDE，边 DE 与边 AB 交于点 F，则图中一定相似的三角形有（ ）对 A6 B5 C4 D3 【分析】 根据相似三角形的判定定理
17、， 两个等边三角形的 3 个角分别相等， 可推出ABC EDB，根据对应角相等推出BDCBFEDFABDFBAD 【解答】解：图中的相似三角形是ABCEDB，BDCBFE，BFEDFA， BDCDFA，BDFBAD 理由：ABC 和BDE 是正三角形， ACABC60，EBDEEBD60， ABCEDB， 可得EBFDBC，EC， BDCBFE， BDCBFEAFD， BDCDFA， BFEDFA， DBFABD，BDFBAD， BDFBAD 故选：B 【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两 个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，得出结论 8
18、 （4 分）如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全 等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最 第 11 页（共 32 页） 大值是（ ） Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2 【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出ABC60，由三个筝形全等 就可以得出 ADBEBFCGCHAK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出 DO PEPFQGQHOK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 为矩形，且全 等 连结 AO 证明AODAOK 就可以得出OADOAK30， 设 ODx， 则 AO 2x，由勾股定理就可以求
19、出 ADx，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积， 由二次函数的性质就可以求出结论 【解答】解：ABC 为等边三角形， ABC60，ABBCAC 筝形 ADOK筝形 BEPF筝形 AGQH， ADBEBFCGCHAK 折叠后是一个三棱柱， DOPEPFQGQHOK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩 形 ADOAKO90 连结 AO， 在 RtAOD 和 RtAOK 中， ， RtAODRtAOK（HL） OADOAK30 设 ODx，则 AO2x，由勾股定理就可以求出 ADx， DE62x， 纸盒侧面积3x（62x）6x2+18x， 第 12 页（共 32 页）
20、6（x）2+， 当 x时，纸盒侧面积最大为 故选：C 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股 定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧 面积是关键 9 （4 分）对于二次函数 yx22mx3，有下列说法： 它的图象与 x 轴有两个公共点； 若当 x1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m1； 若将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m1； 若当 x4 时的函数值与 x2 时的函数值相等，则当 x6 时的函数值为3 其中正确的说法是（ ） A B C D 【分析】根据4m24（3）4m2+120，根据的意义对进行判断
21、；由 a1 0 得抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线 xm，由于当 x1 时 y 随 x 的增 大而减小，则直线 x1 在直线 xm 的左侧，于是可对进行判断；配方得到 y（x m）2m23，则抛物线向左平移 3 个单位的解析式为 y（xm+3）2m23，把原点 坐标代入计算出 m 的值，则可对进行判断；根据抛物线的对称性由当 x4 时的函数 值与 x2 时的函数值相等得到抛物线的对称轴为直线 x3，则 m3，所以抛物线解析 式为 yx26x3，然后计算 x6 时的函数值，则可对进行判断 【解答】解：4m24（3）4m2+120，抛物线与 x 轴有两个公共点，所 以正确； a10，抛物线开口向
22、上，抛物线对称轴为直线 xm，当在对称轴左侧 第 13 页（共 32 页） 时，y 随 x 的增大而减小，而当 x1 时 y 随 x 的增大而减小，m1，所以错误； y（xm）2m23，抛物线向左平移 3 个单位的解析式为 y（xm+3）2m2 3，把（0，O）代入得（m3）2m230，解得 m1，所以错误； 当 x4 时的函数值与 x2 时的函数值相等，抛物线的对称轴为直线 x3，则 xm 3，抛物线解析式为 yx26x3，当 x6 时的函数值为3，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象为抛物线， 当 a0， 抛物线开口
23、向上； 对称轴为直线 x， 抛物线顶点坐标为 （ ，） ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有 两个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴没 有交点 10 （4 分）已知ABC 的两条中线的长分别为 5、10若第三条中线的长也是整数，则第 三条中线长的最大值为（ ） A7 B8 C14 D15 【分析】先作出图形，由重心的性质和三角形三边关系进而解答即可求解 【解答】解：如图，AD5，BC10，延长 OD 至 G，使 DGOD， 则 CG2OE，OG2OD， 则 OCOG+CG+10， O 是重心， CF
24、1015， 第三条中线的长是整数， 第三条中线长的最大值为 14 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系的综合应用用到的知识点为：组成三角形 第 14 页（共 32 页） 的两小边之和大于最大的边长 二、填空二、填空题题 11 （5 分）已知 a4，b9，c 是 a，b 的比例中项，则 c 6 【分析】根据比例中项的概念，得 c2ab，再利用比例的基本性质计算得到 c 的值 【解答】解：c 是 a，b 的比例中项， c2ab， 又a4，b9， c2ab36， 解得 c6 【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项根据比 例的基本性质进行计算 12 （5 分）
25、如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、C 都是格点，则 cos BAC 【分析】分别利用勾股定理求出 AB、BC、AC 的长度，然后判断ABC 的形状，得出 BAC 的度数，求出 cosBAC 的值 【解答】解：ABBC， AC， 则 AB2+BC25+510AC2， 则ABC 为等腰直角三角形， BAC45， 则 cosBAC 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判 断三角形 ABC 为直角三角形 13 （5 分）O 的半径为 1，弦 AB，弦 AC，则BAC 度数为 75或 15 第 15 页（共 32 页） 【分析】连
26、接 OA，过 O 作 OEAC 于 E，OFAB 于 F，根据垂径定理求出 AE、FA 值， 根据解直角三角形的知识求出OAB 和OAC，然后分两种情况求出BAC 即可 【解答】解：有两种情况： 如图 1 所示：连接 OA，过 O 作 OEAC 于 E，OFAB 于 F， OEAOFA90， 由垂径定理得：AECE，AFBF， cosOAE，cosOAF， OAE30，OAF45， BAC30+4575； 如图 2 所示 连接 OA，过 O 作 OEAC 于 E，OFAB 于 F， OEAOFA90， 由垂径定理得：AECE，AFBF， cosOAE，cosOAF， OAE30，OAF45，
27、BAC453015； 故答案为：75或 15 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关 键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况此题比较好，但是一道比较容易出 第 16 页（共 32 页） 错的题目 14 （5 分）如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与 圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 【分析】连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB，根据题意 OMAB 且 OCMC， 继而求出AOC60、AB2AC，然后根据 S弓形ABMS扇形OABSAOB、S阴影S 半圆2S弓形ABM计算可得答案 【解答】解：如图
28、，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB， 由题意知，OMAB，且 OCMC， 在 RTAOC 中，OA1，OC， cosAOC，AC AOC60，AB2AC， AOB2AOC120， 则 S弓形ABMS扇形OABSAOB ， S阴影S半圆2S弓形ABM 122（） 故答案为： 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形 第 17 页（共 32 页） 的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键 15 （5 分）RtABC 中，C90，AC5，BC12，如果以点 C 为圆心，r 为半径，且 C 与斜边 AB 仅有一个公共
29、点，那么半径 r 的取值范围是 r或 5r12 【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只 有一个交点在斜边上 若 dr，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是13 当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长 直角边，则 5r12 故半径 r 的取值范围是 r或 5r12 故答案为：r或 5r12 【点评】考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有 一个公共点即可 16 （5 分
30、）如图，直角三角形 ABC 中，ACB90，AB10，BC6，在线段 AB 上取 一点 D，作 DFAB 交 AC 于点 F，现将ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对 应点记为 A1；AD 的中点 E 的对应点记为 E1，若E1FA1E1BF，则 AD 【分析】利用勾股定理列式求出 AC，设 AD2x，得到 AEDEDE1A1E1x，然后 求出 BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出 DF，然后利用勾股定理列式求出 E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值，从而可得 AD 的值 【解答】解：ACB90，AB10，BC6， AC8， 设 AD2x，
31、第 18 页（共 32 页） 点 E 为 AD 的中点，将ADF 沿 DF 折叠，点 A 对应点记为 A1，点 E 的对应点为 E1， AEDEDE1A1E1x， DFAB，ACB90，AA， ABCAFD， ， 即， 解得 DFx， 在 RtDE1F 中，E1F， 又BE1ABAE1103x，E1FA1E1BF， ， E1F2A1E1BE1， 即（）2x（103x） ， 解得 x， AD 的长为 2 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似 三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 个
32、小题，共个小题，共 80 分）分） 17 （8 分）计算：如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优 弧上一点，求 tanOBC 的值 第 19 页（共 32 页） 【分析】连接 CD，如图，根据圆周角定理得到 CD 为A 的直径，OBCODC，在 RtOCD 中利用勾股定理计算出 OD4，然后根据正切的定义求出 tanODC 即可 【解答】解：连接 CD，如图， 点 C（0，2） ， OC2， COD90， CD 为A 的直径， 在 RtOCD 中，CD6，OC2， OD4， tanODC， OBCODC， tanOBC 【点评】本题考查了圆周角定理
33、：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角 所对的弦是直径也考查了解直角三角形 18 （8 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A（2，0） ，B（0，1） ，C（4，5）三 点求二次函数的表达式 【分析】把 A、B、C 三点的坐标分别代入 yax2+bx+c 得到关于 a、b、c 的方程组，然 后解方程组求出 a、b、c 的值即可 【解答】解：根据题意得： ， 第 20 页（共 32 页） 解得：， 二次函数的解析式为 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关
34、键 19 （8 分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得ADG30， 在 E 处测得AFG60，CE8 米，仪器高度 CD1.5 米，求这棵树 AB 的高度（结 果保留两位有效数字，1.732） 【分析】首先根据题意可得 GBEFCD1.5 米，DFCE8 米，然后设 AGx 米， GFy 米，则在 RtAFG 与 RtADG，利用正切函数，即可求得 x 与 y 的关系，解方程 组即可求得答案 【解答】解：根据题意得：四边形 DCEF、DCBG 是矩形， GBEFCD1.5 米，DFCE8 米， 设 AGx 米，GFy 米， 在 RtAFG 中，tanAFGtan60
35、， 在 RtADG 中，tanADGtan30， x4，y4， AG4米，FG4 米， ABAG+GB4+1.58.4（米） 这棵树 AB 的高度约为 8.4 米 【点评】本题考查仰角的定义注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此 第 21 页（共 32 页） 题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用 20 （8 分）一个口袋中放有 20 个球，其中红球 6 个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜 色外没有任何区别小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后取第二个）发 现，取得黑球的频率稳定在 0.4 左右 （1）请你估计袋中黑球的个数； （2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在
36、桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意 一个球，取出红球的概率是多少？ 【分析】 （1）可估计取出黑球的概率稳定为 0.4，乘以球的总数即为所求的球的数目； （2）让红球的个数除以剩余球的总数，即为所求的概率 【解答】解： （1）估计袋中黑球的个数为 200.48（个） ； （2）小王取出的第一个球是白球，则袋子中还剩余 19 个球，其中红球有 6 个， 所以从袋中余下的球中再任意一个球，取出红球的概率是 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比部分的具体数目总体数目相应频率 21 （10 分）如图 1，以ABC 的边 AB 为直
37、径的O 交边 BC 于点 E，过点 E 作O 的切线 交 AC 于点 D，且 EDAC （1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如图 2，若线段 AB、DE 的延长线交于点 F，C75，CD2，求O 的 半径和 BF 的长 【分析】 （1）连接 OE，根据切线性质得 OEDE，与已知中的 EDAC 得平行，由此得 1C，再根据同圆的半径相等得1B，可得出三角形为等腰三角形； （2）通过作辅助线构建矩形 OGDE，再设与半径有关系的边 OGx，通过 ABAC 列等 量关系式，可求得结论 第 22 页（共 32 页） 【解答】解： （1）ABC 是等腰三角形，理由是： 如图 1，连接 OE
38、， DE 是O 的切线， OEDE， EDAC， ACOE， 1C， OBOE， 1B， BC， ABC 是等腰三角形； （2）如图 2，过点 O 作 OGAC，垂足为 G，则得四边形 OGDE 是矩形， ABC 是等腰三角形， BC75， A180757530， 设 OGx，则 OAOBOE2x，AGx， DGOE2x， 根据 ACAB 得：4xx+2x+2， x1， OEOB2， 在直角OEF 中，EOFA30， cos30，OF2， BF2，O 的半径为 2 第 23 页（共 32 页） 【点评】本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径， 构造定理图，得出垂直关
39、系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等 腰三角形可得ABC 是等腰三角形；第二问运用了直角三角形 30角的性质及等腰三角 形和矩形的有关性质，关键是找出恰当的等量关系式：ACAB，设未知数，列关于 x 的 一元一次方程得出结论 22 （12 分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两 坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线” 例如，点 M（1，3）的特征线有：x1， y3，yx+2，yx+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别 在 x 轴和 y 轴上，抛物线经过 B、C 两点，顶点 D 在正方
40、形内部 （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 yx+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落 在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛 物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？ 【分析】 （1）根据特征线直接求出点 D 的特征线； （2）由点 D 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于 x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可 第 24 页（共 32 页） 【解答】解：
41、（1）点 D（m，n） ， 点 D（m，n）的特征线是 xm，yn，yx+nm，yx+m+n； （2）点 D 有一条特征线是 yx+1， nm1， nm+1 抛物线解析式为， y（xm）2+m+1， 四边形 OABC 是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（m，n） ， B（2m，2m） ， （2mm）2+n2m，将 nm+1 代入得到 m2，n3； D（2，3） ， 抛物线解析式为 y（x2）2+3 （3）如图，当点 A在平行于 y 轴的 D 点的特征线时， 根据题意可得，D（2，3） ， OAOA4，OM2， AOM60， AOPAOP30， MN， 抛物线需要向下平移的距离3 如图，当
42、点 A在平行于 x 轴的 D 点的特征线时，设 A（p，3） ， 第 25 页（共 32 页） 则 OAOA4，OE3，EA， AF4， 设 P（4，c） （c0） ， 在 RtAFP 中， （4）2+（3c）2c2， c， P（4，） 直线 OP 解析式为 yx， N（2，） ， 抛物线需要向下平移的距离3， 即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在 OP 上 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理 解，解本题的关键是用正方形的性质求出点 D 的坐标 23 （12 分）如图 1 （1）已知ABC 中 ABAC，BAC36，BD 是角平分线，求证： 点 D 是
43、线段 AC 的黄金分割点； （2）如图 2，正五边形的边长为 2，连结对角线 AD、BE、CE，线段 AD 分别与 BE 和 CE 相交于点 M、N，求 MN 的长； （3）设O 的半径为 r，直接写出它的内接正十边形的边长 r （用 r 的代数 式表示） 第 26 页（共 32 页） 【分析】 （1）如图 1，先证 ADBDBC，再证BCDACB，即可得出点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）利用正五边形的性质，证 BMBAAE，再证AEMBEA，推出， 再证EMNEBC，即可求出 MN 的长； （3）正十边形的中心角为：36，利用图 1，可设BAC 是正十边形的一个中 心角，则 AB
44、，AC 为正十边形外接圆的半径 r，BD 是ABC 的平分线，由（1）知 ，可用含 r 的代数式表示出 AD 的长，即正十边形的边长 【解答】 （1）证明：如图 1， 在ABC 中 ABAC，BAC36， ABCC（18036）72， BD 是角平分线， CBDABDABC36， ADBDBC， 在BCD 中，BDC180CCBD72， BDBC， ACBD36，CC， BCDACB， ， ADBDBC， ， 点 D 是线段 AC 的黄金分割点； 第 27 页（共 32 页） （2）在正五边形 ABCDE 中， AED108，AEDE， EADEDA（180108）36， 同理可求，AEBABE36， EAMEBA，AEMBEA， AEM
