【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第24讲差倍问题(教师版)

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1、第第 24 讲讲 差差倍问题倍问题 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题. 熟练应用通过图示来表示数量关系 差倍问题就是已知大小两数的差,以及大小两数的倍数关系,求大小两数的问题 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差,一 般情况下,在题目中不直接给出,需要经过调整和计算才能得到。 解题思路:首先要在题目中找到 1 倍量,然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相 对应,相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式:差 (倍数1)=1倍数(较小数) 1倍数 几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题,关键是学会画

2、线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 例例 1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只,鸭的只数是鹅的3倍,你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗? 【解析】引导学生画图,但是一定要强调差所对应的份数, 这样我们就可以求一份量(一倍量),从而解决题目 与18只相对应,这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数, 求出了鹅的只数,鸭的只数就容易求出来了 鸭与鹅只数的倍数差是3 12 (倍), 鹅有1829 (只),鸭有 9327(只). 例例 2、箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球每次取出 5 个乒乓球和 3 个羽毛球,取了几次之后,乒乓球 恰好没有了,羽毛球还

3、有 6 个,则一共取了_次,原来有乒乓球和羽毛球各_个 【解析】共取了6(53)3(次),原有乒乓球5315(个), 典例分析 知识梳理 教学目标 所以原有羽毛球也是 15 个 取3次,羽毛球15个,乒乓球15个 例例 3、甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小 时,则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间问:甲、乙原定每天自学的时间是多少? 【解析】改变后,甲每天比乙多自学1小时,即60分钟 它是乙现在五天自学的时间, 即乙现在每天自学:60(6 1)12(分), 原来每天自学的时间是:123042(分) 例例 4、思考乐学校买来白粉笔比彩色

4、粉笔多15箱,白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱,学而思学校买来 白粉笔和彩色粉笔各多少箱? 【解析】这不是一道典型的“差倍问题”,但我们可以通过适当的变形,将其作为一个典型的“差倍问题”来解 决见上图。 由于白笔比彩笔的4倍多3箱,故把彩笔看做1倍数,(白笔3)就相当于彩笔的4倍, 即彩笔比(白笔3)少3倍,注意此时白笔比彩笔多15312(箱) 彩色粉笔的箱数1234(箱),白色粉笔的箱数:4+15=19(箱) 例例 5、有两根铁丝,第一根长18米,第二根长10米,两根铁丝用去同样长的一段后,第一根剩下的长度是 第二根剩下长度的3倍,两根铁丝各剩下多少米? 【解析】用去同样长的一段后,两段长

5、度差为:18 108(米), 且 第一根比第二根多:3 12 (倍), 则 第二根剩下:824(米), 第一根剩下:4312(米) 例例 6、某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的 6 倍,后来公鸡、母鸡各增加 60 只,母鸡的只数变为公鸡只数的 4 倍,则养鸡场原来一共养了_只鸡。 【解析】要保持母鸡是公鸡的 6 倍,母鸡增加 60,公鸡就要增加 360, 所以 36060300 就是差的 2 倍, 现在有 150 只母鸡,原来有 90 只母鸡,一共养了 630 只鸡。 例例 7、为了支援西部,1 班班长小明和 2 班班长小光带了同样多的钱买了同一种书 44 本,钱全部用完,小 明要了 26 本书,

6、小光要了 18 本书。回校后,小明补给小光 28 元。小明、小光各带了_ 元,每本书 价_ 元。 【解析】小明比小光多拿 26-18=8 本书,同时小明多掏了 28 2=56 元钱, 所以一本书,56 8=7 元,他们各自带了 18 7-28=154 元钱 例例 8、爸爸今年 38 岁,佳佳今年 2 岁,问:几年后,父亲的年龄是佳佳的 5 倍? 【解析】父女年龄差是:38236(岁),这个数量是不会变化的,这一点很关键. 当父亲的年龄恰好是女儿年龄的 5 倍时,父亲仍比女儿大 36 岁, 这 36 岁是父亲比女儿多的514 倍所对应的年龄. (382)(5 1)9(岁),927(年), 即 7

7、 年后,父亲的年龄是佳佳的 5 倍 例例 9、姐姐今年 13 岁,弟弟今年 9 岁,几年后姐弟俩岁数和是 40 岁?姐姐到时多少岁了? 【解析】由题意,姐弟俩今年的年龄和是13922(岁), 用几年后姐弟俩的岁数和 40 岁减去今年姐弟俩的年龄和 22 岁, 就得到姐弟俩经过的年数和,即为402218(年),最后再除以 2, 就求出姐弟俩每人经过的年数.经过的年数都是:1829(年) 可以求出姐姐的年龄是13922 用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是1394(岁), 不管经过多少年,姐弟年龄的差仍是 4 岁, 由图可见,如果从 40 岁中减去姐弟年龄的差,再除以 2 就得到所求的弟弟的年

8、龄, 也就可以求出姐姐的年龄了. 弟弟的年龄:(404)218(岁), 姐姐的年龄:18422(岁) 例例 10、红星学校花坛放有红黄蓝三种颜色的花,已知蓝花比红花多 20 盆;黄花比红花的 4 倍多 30 盆,又 是蓝花数量的 3 倍,则有_盆黄花。 【解析】设红花是 3 份,黄花是 12 份多 30,是蓝花的 3 倍, 所以蓝花就是 4 份多 10,蓝花比红花多 20,那么 1 份就是 10, 红花 30 盆,黄花 150 盆,蓝花 50 盆。 例例 11、 小丸子家养了一些鸡,黄鸡比黑鸡多 13 只,比白鸡少 18 只,白鸡的只数是黄鸡 2 倍,白鸡、黄鸡、 黑鸡一共多少只? 【解析】以

9、黄鸡的只数为标准,画图如下: 白鸡的只数是黄鸡的 2 倍,所以黄鸡:18 (21)18(只),白鸡:18 236(只), 黑鸡:18135(只),三种鸡共有:18+36+559(只) 例例 12、小明、小红、小玲共有73块糖如果小玲吃掉3块,那么小红与小玲的糖就一样多;如果小红给小 明2块糖,那么小明的糖就是小红的糖的2倍问小红有多少块糖? 【解析】如果小玲吃掉3块,那么小红与小玲的糖就一样多, 说明小玲比小红多3块;如果小红给小明2块糖,那么小明的糖就是小红的糖的2倍, 即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍, 说明小明的糖是小红的糖的2倍少2226块 所以,小红有(7336)(1 12)19

10、 块糖。 课堂狙击课堂狙击 1、甲班的图书本数比乙班多 80 本,甲班的图书本数是乙班的 3 倍,甲班和乙班各有图书多少本? 【解析】乙班的本数: 80 (3-1)=40(本) 甲班的本数: 40 3=120(本)或 4080=120(本)。 2、两个书架,甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍,甲书架比乙书架存书多120本,则乙书架存书多少 本? 【解析】多的120本相当于乙书架的4倍,则乙书架的书为:120430(本) 3、 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人, 现在把室内活动的50人改为室外活动, 实战演练 这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍,则参加室内、室外活动

11、的共有多少人? 【解析】原来室外、室内活动人数相差480人,现把室内的50人改为室外活动, 这样室外活动人数比室内人数多480502580(人), 这时室外活动人数正好是室内人数的5倍,580人相当于现在室内活动人数的514 (倍), 这样可先求出现在室内活动人数为5804145, 再求出室内、外人数之和:145 (5 1)870人 4、小云比小雨少 20 本书,后来小云丢了 5 本书,小雨新买了 11 本书,这时小雨的书比小云的书多 2 倍. 问:原来两人各有多少本书? 【解析】 小雨的书比小云的书多 2 倍”,即小雨的书是小云的书的 3 倍.这个“倍数”是变化后的, 所以“1 倍”数应是小

12、云变化后的书(见下图).“差”是 2051136(本)., 小云现有书:(20511) (3-1)18(本); 小云原来有书 18523(本), 小雨原来有书 232043(本). 5、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱,白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱,学而思学校买来白粉 笔和彩色粉笔各多少箱? 【解析】把彩笔看做1倍数,(白笔3)就相当于彩笔的4倍, 即彩笔比(白笔3)少3倍, 注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱 彩色粉笔的箱数:1836 (箱), 白色粉笔的箱数:61521 (箱) 6、有两条纸带,一条长21厘米,一条长13厘米,两条纸带都剪下同样的一段后,长纸带剩下的长度是短 纸

13、带剩下的3倍,问剪下的一段有多长? 【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长:21 138(厘米), 短纸带剩下:8(3 1)4(厘米), 剪下:1349(厘米) 7、两根绳,第一根长64米,第二根长52米,剪去同样长后,第一根是第二根的3倍,求每根绳减去几米? 【解析】 剪去同样长后,第一根比第二根长(6452)米, 因此,第二根剩下的长为(6452)(3 1)6米, 从而剪去的长度为52646米 课后反课后反击击 1、两块同样长的花布,第一块卖出 31 米,第二块卖出 19 米后,第二块是第一块的 4 倍,求每块花布原有 多少米? 【解析】已知两块花布同样长,由于第一块卖出的多,第二块卖

14、出的少,因此第一块剩下的少,第二块剩 下的多.所剩的布第二块比第一块多 31-19=12(米).又知第二块所剩下的布是第一块的 4 倍,那么第二块比 第一块多出的 12 米正好相当于所剩布的(4-1)倍,这 样,第一块所剩布的长度即可求出: 第二块布比第一块布多剩多少米?31-1912(米), 第一块布剩下多少米?12 (4-1)=4(米) 第一块布原有多少米?4+31=35(米)(两块布原有长度相等), 综合列式:(31-19) (4-1)+31=12 3+31=431=35(米) 2、甲、乙两桶油重量相等,甲桶取走16千克油,乙桶加入14千克油后,乙桶油的重量是甲桶油的重量的4 倍甲桶原来

15、有油多少千克? 【解析】后来乙比甲多141630千克油, 所以这时甲桶油的重量是:30(4 1)10(千克), 甲桶原来有油101626(千克) 3、 食堂里有 94 千克面粉, 138 千克大米, 每天用掉面粉和大米各 9 千克, 几天后剩下的大米是面粉的 3 倍? 【解析】 因每天用掉的面粉和大米数量相等, 不论经过多少天,面粉和大米的数量差都不变,仍然是:138-94=44(千克)。 我们把几天后剩下的面粉重量看作 1 份,大米重量也就是 3 份, 则几天后剩下面粉:44 (3-1)=22(千克)。 用掉的面粉总量除以每天用面粉数量, 可以得出所求的天数:(94-22) 9=8(天)。

16、4、兄妹俩人去买文具,哥哥带的钱是妹妹的两倍,哥哥用去 300 元,妹妹用去 40 元,这时兄妹俩人剩下 的钱正好相等哥哥带了 元钱,妹妹带了 元钱 【解析】哥哥用去 300 元,妹妹用去 40 元,这时兄妹俩人剩下的钱正好相等 可以得到妹妹带了30040260元)钱, 那么哥哥带了260260520(元)钱 5、两个筐中各有苹果若干千克,第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的 4 倍,如果从第一个筐中取出 26 千克苹果,从第二个筐中取出 2 千克苹果,则两筐苹果的重量相等这两个筐中原来各有苹果多少千克? 【解析】从图中可以看出 第一个筐中的苹果是第二筐的 4 倍,则第二筐的苹 果数是一倍数 如

17、果第二筐中少取出 2 千克,剩下的重量就正好相当于 1 倍, 那么两筐苹果的相差数 26224(千克),相当于第二筐原来重量的 3 倍 两筐苹果的差和倍差都知道了,就可以求出两筐苹果原来的重量 两筐苹果的倍数差是 413(倍), 两筐苹果相差 26224(千克), 第二筐原来有苹果重量 24 38(千克), 第一筐原来有苹果重量 8 432(千克). 6、小新家有大小两个书架,大书架上的书的本数是小书架的 3 倍,如果从大书架上取走 150 本放到小 书架上,那么两个书架上的书一样多,大小书架上原来各有多少本书? 【解析】根据从大书架上取出 150 本书放人小书架,两个架上的书的本数相等, 知

18、大书架比小书架多 150 2300 本 这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了 由于大书架上的书是小书架的 3 倍,把小书架上书的本数看做1倍量, 大书架比小书架多 300 本对应于小书架的(31)倍量 大书架比小书架多的书数:150 2300(本), 两个书架相差几倍:312 倍, 小书架原有书:300 2150(本), 大书架原有书:150 3450(本) 7、爸爸妈妈现在的年龄和是 72 岁;六年后,爸爸比妈妈大 4 岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁? 【解析】六年后,爸比妈大 4 岁,即爸妈的年龄差是 4 岁.它是一个不变量. 所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是 4 岁. 这样原问

19、题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是 72 岁,他们的年龄差是 4 岁,求二人各是几岁” 的和差问题 爸爸年龄:(724)238(岁),妈妈的年龄:38434(岁) 1、为了过冬,小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的 3 倍。它们各吃了 5 个胡萝卜后,小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的 4 倍。那么它们剩下的胡萝 卜共有 个。 【解析】小黑兔剩下胡萝卜的数量是 3 5-5=10 个, 它们剩下的胡萝卜共有 10+10 4=50 个。 2、由图知,小芳原来有球 个。 【解析】根据题意,如果首先我们把小华给小芳 1 个球后小华的球的个数看作 1 倍量, 那么此时小芳的球的个数就是 2 倍量。 然后,小芳再给小华 10 个球,小华应该是小芳的 3 倍, 即就是 1 倍量加 10 等于 2 倍量减 10 的 3 倍, 也就是 1 倍量加 10 等于 6 倍量减 30. 所以(30+10) (6-1)=8(个)为 1 倍量, 故小芳原来的球的个数就是 8 2-1=15(个)。 解决差倍问题,关键是学会画线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 直击赛场 名师点拨 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验

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