1、第第 1111 讲讲 盈亏问题盈亏问题 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型 掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法 熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题 一、基本方法一、基本方法 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配 不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均 分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不 足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)两次分得之差=人数或单位数 (盈
2、盈)两次分得之差=人数或单位数 (亏亏)两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况， 都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。 二、方法技巧二、方法技巧 注意 1.条件转换 2.关系互换 考点一：直接计算型盈亏问题考点一：直接计算型盈亏问题 例例 1 1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬 4 块砖，还剩 7 块；如果每人搬 5 块，则 少 2 块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬 4 块，还剩 7 块砖；每人搬 5 块，就少 2 块这两 次搬砖，每人相差
3、 5-4=1（块）。第一种余 7 块，第二种少 2 块，那么第二次与第 教学目标 知识梳理 典例分析 一次总共相差砖数： 7+2=9 （块） ， 每人相差 1 块， 结果总数就相差 9 块， 所以有少先队员 91=9 （人）共有砖：49+7=43（块） 例例 2 2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出 8 元，就多出了 8 元；每人出 7 元，就 多出了 4 元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【解析】“多 8 元”与“多 4 元”两者相差 8-4=4（元），每个人要多出 8-7=1（元），因此 就知道，共有 41=4（人），蛋糕价钱是 84-8=24（元） 例例 3
4、3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分 10 个桃，就多出 9 个桃，每只小猴分 11 个桃则多出 2 个桃， 那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 【解析】 老猴子的第一种方案盈 9 个桃子， 第二种方案盈 2 个， 所以盈亏总和是 9-2=7 （个） ， 两次分配 之差是 11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：71=7=（只），老猴子有 710+9=79（个）桃子 例例 4 4、猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分 5 个，小猴分 3 个， 猴王可留 10 个 若大、 小猴都分 4 个， 猴王能留下 20 个 在这群猴子中， 大猴 （不包括猴王） 比小
5、猴多少只？ 【解析】当大猴分 5 个，小猴分 3 个时，猴王可留 10 个若大、小猴都分 4 个，猴王能留下 20 个也就是盈亏问题说在大猴分 5 个，小猴分 3 个后，每只大猴都拿出 1 个，分给每只小 猴 1 个后，还剩下 20-10=10 个，所以大猴比小猴多 10 只 考点二：条件关系转换型盈亏问题考点二：条件关系转换型盈亏问题 例例 1 1、一位老师给学生分糖果，如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分 5 粒正好分完，问：有 多少位 学生？共多少粒糖果？ 【解析】第一种分配方案盈 9 粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是 9 粒，两次分配之 差是 5-4=1（粒），由盈亏问题
6、公式得，参与分糖的同学有：91=9（人），有糖果 95=45 （粒） 例例 2 2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分 10 条鱼，就多出 8 条鱼，每只小猫分 11 条鱼则正好分 完，那 么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？ 【解析】 猫妈妈的第一种方案盈 8 条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是 8 条，两次 分配之差是 11-10=1 （条） ， 由盈亏问题公式得， 有小猫： 81=8 （只） ， 猫妈妈有 810+8=88 （条）鱼 例例 3 3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人， 恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个
7、学生？ 【解析】每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65 人，则多出一辆车，也就是差 65 人。此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）。学生人数为：60（16-1）+15=60 15+15=900+15=915（人） 考点三：复杂的盈亏问题考点三：复杂的盈亏问题 例例 1 1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆如果每人摆 5 盆花，还有 3 盆没人摆；如果 其中 2 人各摆 4 盆，其余的人各摆 6 盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆活 动，一共摆多少花盆？ 【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中 2 人
8、各摆 4 盆，其 余的人各摆 6 盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况 2 人各摆 4 盆， 其余的人各摆 6 盆 如果我们把它统一成一种情况， 让每人都摆 6 盆， 那么， 就么还差 62-24=4(盆) 因此， 原问题就转化为： 如果每人各摆 5 盆花， 还有 3 盆没人摆； 如果每人 摆 6 盆花， 还缺 4 盆 问有多少少先队员， 一共摆多少花盆？ 人数： （3+4） （6-5） =7 (人)， 盆数：57+3=38(盆)或 67-4=38(盆) 例例 2 2、 妈妈买来一篮橘子分给全家人， 如果其中两人分 4 个， 其余人每人分 2 个， 则多出 4 个； 如果 其
9、中一人分 6 个，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多 少人? 【解析】由“其中两人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个”转化为全家每人都分 2 个，这 分 4 个的两 人每人都拿出 2 个，共拿出 4 个，结果就多了 4+4=8 个；由“一人分 6 个，其余 每人分 4 个， 则缺少 12 个” 转化为全家每人都分 4 个， 分 6 个的人拿出 2 个， 结果就缺 12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一般类型，则： 全家的人数：(8+10)(4-2)= 9(人), 橘 子的个数：29+8=26 (个) 例例 3 3、 堂采购员小李到集贸市场去买肉
10、， 如果买牛肉 18 千克， 则差 4 元； 如果买猪肉 20 千克， 则 多 2 元.已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？ 【解析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条 件，买牛肉 18 千克差 4 元，而买猪肉 20 千克还多 2 元，说明牛肉贵一些.每千克贵 8 角，如 果 18 千克牛肉换成 18 千克猪肉，就要少花 818=144（角）=14 元 4 角.这样就会多出 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角。因此问题就可变为：“小李买猪肉 18 千克多余 10 元 4 角，买 20 千克 多余 2 元，求猪肉单价和钱
11、数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的 差两次千克量差。 解： 由已知条件知牛肉比猪肉贵， 每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵 818=144 （角） =14 元 4 角. 因此小李若买 18 千克猪肉就会多余 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角。由已知小李买 20 干克猪肉多余 2 元，所以猪肉每千克价格为 （104-20）（20-18）=842=42（角）=4 元 2 角. 所以牛肉每千克价格为：4 元 2 角+8 角=5 元. 小李带的钱为：4.220+2=86（元） 例例 4 4、四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果如果买芒果 1
12、3 千克， 还差 4 元； 如果买奶糖 15 千克，则还剩 2 元已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，那么，辅导员 老师带了 多少元钱？ 【解析】 这笔钱买 13 千克芒果还差4元， 若把这 13 千克芒果换成奶糖就会多出 132=26元， 所以这笔钱买 13 千克奶糖会多出 26-4=22 元。而这笔钱买 15 千克奶糖会多出 2 元，所以每千 克奶糖的价格为：(22-2)(15-13)=10（元）辅导老师共带了 1015+2=152 元 课堂狙击课堂狙击 1、有一批练习本发给学生，如果每人 5 本，则多 70 本，如果每人 7 本，则多 10 本，那么这 个班 有多少学生，多少练习本呢？ 【解
13、析】 由题意知：第一种方案：每人发 5 本多出 70 本；第二种方案：每人发 7 本多出 10 本；两种方案 分配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差： 7-5=2 （本） ， 相差 60 本的学生有： 602=30 （人） 。 练习本有： 305+70=220 （本） 或 （307+10=220） 2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把，则所带的钱还 多 30 元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？ 【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买 7 把差 110 元，第二个方案：买 5 把还多 30 元，
14、从买 7 把变成买 5 把，少买了 7-5=2（把），而钱的差额为：110+30=140（元），即 140 元可以买 2 把小提琴，可见小提琴的单价是每把 70 元， 王老师一共带了 707-110=380 （元） 3、工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运到目的地一个给运费 20 元，损坏一个倒赔 100 元运 完这 批花瓶后，工人共得 4400 元，则损坏了多少个？ 【解析】本题中“损坏一个倒赔 100 元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏 1 个花瓶相差 100+20=120（元），即损 1 个花瓶不但得不到 20 元的运费，而且要付出 120 元本例可假设 250 个花瓶都完好， 这样可
15、得运费 20250=5000 元） 。 这样比实际多得 5000-4400=600 （元） ， 就是因为有损坏的瓶子，损坏 1 个花瓶相差 120 元现共相差 600 元，从而求出共损坏多少个 花瓶。根据以上分析，可得损坏了（20250-4400）（100+20）=5（个） 4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分 5 个，则余下 10 个。 如全 部分给小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹 果共有多少个？ 实战演练 【解析】 先把大班人数和小班人数转化为一样。 大班减少 3 人， 则苹果又收回 35=15 个苹果， 人数一
16、样， 根据盈亏问题公式， 小班人数为： (15+10+2)(8-5)=9 人， 苹果总数是 89-2=70 个。 5、有一些糖，每人分 5 块则多 10 块，如果现有人数增加到原有人数的 1.5 倍，那么每人 4 块 就少两 块，这些糖共有多少块？ 【解析】 第一次每人分 5 块，第二次每人分 4 块，可以认为原有的人每人拿出 5-4=1 块糖分 给新增加的人， 而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到 2 块糖果，这 些人每人还差 4-2=2 块， 一共差了 10+2=12 块， 所以新增加了 122=6 人， 原有 62=12 人 糖 果数为：125+10=70 (块) 6、
17、 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫， 每只大熊猫分5个还多余10棵竹子， 如 果大熊猫数增加到 3 倍还少 5 只，那么每只大熊猫分 2 棵竹子还缺少 8 棵竹子，问有大熊 猫多少只，竹子多少棵？ 【解析】使同学们感到困难的是条件“3 倍还少 5 只大熊猫”。先要转化这一条件，假设还有 10 棵竹子， 102=5，就可以多有 5 个大熊猫，把“少 5 只大熊猫”这一条件暂时搁置一边， 只考虑 3 倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给 23=6(棵)竹子，每只大熊猫给 5 棵与给 6 棵，总数相差 10+10+8=28(棵)，所以原有大熊猫数 28(6-5)=28 (只)，
18、竹子总数是 528+10=150 (棵) 7、 小明妈妈带着一笔钱去买肉， 若买 10 千克牛肉则还差 6 元， 若买 12 千克猪肉则还剩 4 元 已 知每千克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？ 【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵 3 元”，所以同样买 10 千克猪肉的话，就剩了 310 624（元）， 这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是： （244）（1210）10（元）， 所以小明妈妈带的钱数是：12104124（元） 8、小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，就 可以比 上课时间提前 2 分钟到校。小强家到学校的路程是多
19、少米？ 【解析】迟到 3 分钟转化成米数：503=150（米），提前 2 分钟到校转化成米数：602=120 （米） ， 距离上课时间为： (150+120)(60-50)=27 （分钟） ， 家到学校的路程为： 50(27+3)=1500 （米） 课课后反后反击击 1、某校安排学生宿舍，如果每间住 5 人则有 14 人没有床位；如果每间住 7 人，则多出 4 个床 位，问宿舍几间?住宿生几人? 【解析】 由已知条件每间 5 人,少 14 个床位,每间 7 人,多 4 个床位。比较两次分配的方案， 可以看出，由于第二种方案比第一种每间多 7-5=2 人，一共要多出 14+4=18 个床位，根据
20、两种 方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数。 解：(4+14)(7-5)=9(间)， 59+14=59(人)或 79-4=59（人) 2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4 个，要 多出 48 个萝卜；如果每天吃 6 个，则又少 8 个萝卜那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划 吃多少天？ 【解析】 题中告诉我们每天吃 4 个，多出 48 个萝卜；每天吃 6 个，少 8 个萝卜观察每天吃 的个数与萝 卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃 4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2 个时，萝卜从多出 48 个到少 8
21、 个，也就是所需的萝卜总数要相差 48856（个）从这个 对应的变化中可以看出，只要求 56 里面含有多少个 2，就是所求的计划吃的天数；有了计划 吃的天数， 就不难求出共有多少个萝卜了 吃的天数： （488） （64） 56228 （天） ， 萝卜数：6288160（个）或 42848160（个） 3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张 信纸， 一段时间后， 甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸， 乙用完所有信纸还剩下 10 个 信封，则他们每人各买了多少张信纸？ 【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸这是盈亏问
22、题，盈亏总额为 (2030)张信 纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(2030)(32)50(个)， 有信纸 25020=120(张） 4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每 人分 7 个，少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【解析】 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个. 又已知苹果 每人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13 （人） 。苹果个数为 137-5=86 （个）， 桔子数为 133+4=43（个） 答：有 13 个小朋友，8
23、6 个苹果和 43 个桔子 5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8 元和 10 元，李妈妈带的钱买雕牌 洗衣 粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩余的钱问：李妈妈带了多少钱？ 【解析】 （法 1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋”，这三袋洗衣 粉多花 8324 （元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱 补上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数 24212（件）。这样李妈妈带 的钱数是 1012120（元）。 （法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3824（元）， 根据普通的盈亏
24、问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24（108）24212（件），所以 李妈妈带的钱数是：1210120（元） 6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车 500 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟骑车 600 米， 就可以比上课时间提前 2 分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？ 【解析】迟到 3 分钟转化成米数：5003=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：6002 1200（米）王老师家到学校需要（15001200）（60-50）=270（分钟），王老师家到学 校的路程：500（270+3）136500（米） 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配 不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均 分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不 足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。 1.条件转换 2.关系互换 这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验
