1、第第 26 讲讲 追及问题追及问题 根据“路程和速度和 时间”解决简单的直线上的追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计 算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度 追及时间-乙的速度 追及时间 （甲的速度-乙的速度） 追及时间 速度差 追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：
2、追及路程=速度差 追及时间，即=tSV 差差 例如：假设甲乙两人站在 100 米的跑道上，甲位于起点(0 米)处，乙位于中间 5 米处，经过时间 t 后甲乙同 时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间 t 后，甲比乙多跑了 5 米，或者可以 说，在时间 t 内甲的路程比乙的路程多 5 米，甲用了时间 t 追了乙 5 米 例例 1、小明步行上学，每分钟行 70 米离家 12 分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒， 立即骑自行车以每分钟 280 米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离 家多远？ 【解析】 典例分析 知识梳理 教学目
3、标 小明12分钟走的路程 70米/分 200米/分 当爸爸开始追小明时，小明已经离家： 70 12=840(米)， 即爸爸要追及的路程为 840 米,也就是爸爸与小明的距离是 840 米， 我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过 1 分， 他们之间的距离就缩短 280-70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为 280-70=210 (米/分), 爸爸追及的时间：840 210=4 (分钟)当爸爸追上小明时，小明已经出发 12+4=16 (分钟)， 此时离家的距离是：70 16=1120(米) 例例 2、下午放学时，弟弟以每分钟 40 米的速度步行回家.5 分钟后，哥哥
4、以每分钟 60 米的速度也从学校步行 回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有 回到家）. 【解析】若经过 5 分钟，弟弟已到了 A 地，此时弟弟已走了 40 5=200（米）； 哥哥每分钟比弟弟多走 20 米，几分钟可以追上这 200 米呢？ 40 5 （60-40）=200 20=10（分钟），哥哥 10 分钟可以追上弟弟. 例例 3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行 300 千米，乙机每小时行 340 千米，飞行 4 小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用 2 小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少 千米
5、？ 【解析】（1）4 小时后相差多少千米：（340-300） 4=160（千米） （2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米： 160 2+340=420（千米） 例例 4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走 110 米，李华每分钟走 70 米，出 发 5 分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了 2 分钟，然后追赶李华求多少分钟后追上李华？ 【解析】已知二人出 2 分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了 5 分钟， 在学校又耽误了 2 分钟，王芳一共耽误了 5 2+2= 12(分钟) 李华在这段时间比王芳多走：70 12= 840(米)， 速度差为：110-70=4
6、0 (米/秒)， 王芳追上李华的时间是：840 40=21(分钟) 例例 5、两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米， 当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 【解析】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标 当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行， 把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加， 就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：900 100 9 (分钟)， 甲 9 分钟走的路程：80 9720 (米)， 甲距目标还有：900 720180 (米)， 相遇时间：180 (10080)1
7、 (分钟)， 共用时间：9+1=10 (分钟) 例例 6、龟、兔进行 1000 米的赛跑小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑 100 米，而你乌龟每分钟 只能跑 10 米，哪是我的对手”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介 意地躺在旁边睡着了当乌龟跑到距终点还有 40 米时，小兔醒了，拔腿就跑请同学们解答两个问题： 它 们谁胜利了？为什么？ 1000米 40米 500米 乌龟兔子 终点起点 【解析】（1） 乌龟胜利了因为兔子醒来时，乌龟离终点只有 40 米，乌龟需要40 104 (分钟)就能到达 终点，而兔子离终点还有 500 米，需要500 100 5 (分
8、钟)才能到达，所以乌龟胜利了 （2） 乌龟跑到终点还要40 104 (分钟)， 而小兔跑到终点还要1000 21005 (分钟)， 慢 1 分钟 当 胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100 1 100 (米) 例例 7、小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑 4 秒钟，则小红跑 6 秒钟就能追上小蓝小红、小蓝二人的速度各是多少？ 【解析】小红让小蓝先跑 20 米，则 20 米就是小红、小蓝二人的路程差， 小红跑 5 秒钟追上小蓝，5 秒就是追及时间， 据此可求出他们的速度差为20 54 (米/秒)； 若小红让小蓝先跑 4 秒，则小
9、红 6 秒可追上小蓝， 在这个过程中，追及时间为 6 秒， 根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差， 这个路程差即是小蓝 4 秒钟所行的路程， 路程差就等于4 624 (米)，也即小蓝在 4 秒内跑了 24 米， 所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度 综合列式计算如下：小蓝的速度为：20 5646 (米/秒)， 小红的速度为：6 410 (米/秒) 例例 8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以 10 千米/时的速度行进，下午 1 点到；以 15 千米/时的速度 行进，上午 11 点到.如果希望中午 12 点到，那么应以怎样的速度行进？ 【解析】这道题没有出发时间，没
10、有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求 速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程. 假设有 A，B 两人同时从学校出发到韩丁家， A 每小时行 10 千米，下午 1 点到； B 每小时行 15 千米，上午 11 点到.B 到韩丁家时，A 距韩丁家还有 10 2=20（千米）， 这 20 千米是 B 从学校到韩丁家这段时间 B 比 A 多行的路程.因为 B 比 A 每小时多行 15-10=5（千 米）， 所以 B 从学校到韩丁家所用的时间是 20 （15-10）=4（时）. 由此知，A，B 是上午 7 点出发的，学校离韩丁家的距离是 15 4=60（千米） .刘老师要想
11、中午 12 点到，即想（12-7=）5 时行 60 千米， 刘老师骑车的速度应为 60 （12-7）=12（千米/时） 例例 9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是 20 米/分，下山的速 度都是 30 米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息 30 分钟后返回，两人在距山顶 480 米处再次相遇。 山道长多少米。 【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走480 2024 （分钟）后可以返回山顶， 如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚， 所以这个时候乙还需要 30 分钟到达山脚， 也就是距离山脚还有30 30 900 （米）， 所以山顶到山脚的距离为90
12、0 24203090012002100（） （米）。 例例 10、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A甲在路口A南边 560 米的B点，乙在路口A甲向 北，乙向东同时匀速行走4 分钟后二人距A的距离相等再继续行走 24 分钟后，二人距A的距离恰又相 等问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【解析】本题总共有两次距离A相等， 第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程 那么甲、乙两人共走了 560 米，走了 4 分钟，两人的速度和为：560 4140 (米/分)。 第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点， 且在A点以北走的路程乙走的总路程 那么，从第二次甲比乙共多走了 560 米
13、，共走了4 2428 (分钟)， 两人的速度差：560 2820 (米/分)， 甲速乙速 140 ，显然甲速要比乙速要快； 甲速乙速 20 ，解这个和差问题， 甲速 14020280（） (米/分)，乙速 1408060 (米/分) 例例 11、早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两 人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 15 千米下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨_出发 【解析】由“下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米”可知： 两人的速度
14、差是每小时 30 千米，由 3 点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程， 在这一小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时多走 15+30 千米， 故小张的速度是 15 千米/小时，小王的速度是 45 千米/小时 全程是45 3 135 (千米)，135 15 72 (小时)，即上午 10 点出发 例例 12、甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行， 6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离. 先画图如下： 【解析】若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为 D，则由题意可知甲从 A 到
15、 C 用 6 分钟. 而从 A 到 D 则用 26 分钟，因此，甲走 C 到 D 之间的路程时，所用时间应为： （26-6）=20（分）。 同时，由上图可知，C、D 间的路程等于 BC 加 BD. 即等于乙在 6 分钟内所走的路程与在 26 分钟内所走的路程之和，为 50 （266）=1600（米）. 所以，甲的速度为 1600 2080（米/分）， 由此可求出 A、B 间的距离。 50 （26+6） （26-6）=50 32 2080（米/分）， （80+50） 6130 6=780（米） 课堂狙击课堂狙击 1、哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走 65 米，弟弟每分钟走 40 米，有一天
16、弟弟先走 5 分钟后， 哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远? 【解析】哥哥出发的时候弟弟走了：40 5200 （米）， 哥哥追弟弟的追及时间为：200 (6540)8 （分钟）， 所以家离学校的距离为：8 65 520 （米）. 2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲 地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】慢车先行的路程是：40 5200 (千米)， 快车每小时追上慢车的千米数是：90 4050 (千米)， 追及的时间是：200 504 (小时)， 快车行
17、至中点所行的路程是：90 4360 (千米)， 甲乙两地间的路程是：360 2720 (千米) 3、六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师 骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 实战演练 【解析】同学们 15 分钟走72 15 1080 （米），即路程差 然后根据速度差路程差 追及时间， 可以求出李老师和同学们的速度差， 又知道同学们的速度是每分钟72米， 就可以得出李老师的速度即1080 972192 （米） 4、甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶 10 千米后乙才开始出发，甲每小时行驶 15
18、千米，乙每小时行驶 10 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 【解析】出发时甲、乙二人相距 10 千米，以后两人的距离每小时都缩短 15-105（千米）， 即两人的速度的差（简称速度差）， 所以 10 千米里有几个 5 千米就是几小时能追上. 10 （15-10）10 52（小时），还需要 2 个小时。 5、小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理 72 份，小李每分钟整理 60 份，小王迟到了 1 分钟，当小王、 小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务一共有多少份报纸？ 【解析】本题可用追及问题思路解题，类比如下： 路程差：小王迟到 1 分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60 份）， 速
19、度差：72 6012 （份/分钟）此时可求两人整理同样多份报纸时， 小王所用时间，即追及时间是60 125 （分钟） 共整理报纸：5 72 2720 （份） 6、甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行 38 千米，乙每小时行 34 千米，开出 1 小时后，甲车因 有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地， 求A、B两地的路程 【解析】根据题意画出线段图： 乙 ？千米 乙2小时行 B A 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的 2 小时的路程， 那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间， 而追及时间正好是甲车从A地
20、到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程, 追及路程为：34 268 (千米), 追及时间为：68 383417（） (小时), A、B两地的路程为：38 17 646 (千米). 课后反击课后反击 1、上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟 先跑 10 分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到 5 倍，那么这一次谁将获得胜利呢？ 【解析】由乌龟速度提高到 5 倍，可知乌龟现在的速度为10 550 (米/分)， 乌龟先跑 10 分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了50 10 500 (米)， 还剩1000 500500 (米)，需
21、要500 5010 (分钟)就可以到达终点， 而兔子到达终点需要的时间是：1000 100 10 (分钟)， 所以，兔子和乌龟同时到达终点 2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行 28 千米， 汽车在后，每小时行 65 千米，经过 4 小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 方法一：根据题意，画出线段示意图： 追及地点追及地点乙地乙地甲地甲地 摩托车摩托车（28千米千米/小时小时） 汽车汽车（65千米千米/小时小时） 【解析】从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差 先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程
22、， 即65 4284260112148 (千米) 3、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒钟可追上乙；若甲让乙先跑 2 秒钟，则甲跑 4 秒钟就能追上乙问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【解析】若甲让乙先跑 10 米，则 10 米就是甲、乙二人的路程差，5 秒就是追及时间， 据此可求出他们的速度差为10 52 (米/秒)； 若甲让乙先跑 2 秒，则甲跑 4 秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为 4 秒， 因此路程差就等于2 48 (米)，也即乙在 2 秒内跑了 8 米， 所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度 综合列式计算如下： 乙的速度为：10 5424 (米/秒)， 甲的
23、速度为：10 546 (米/秒) 4、甲、乙二人沿着同一条 100 米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后 8 米处起跑，当甲离终点还有 12 米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？ 【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以， 甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以， 乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍 12 8 乙乙 甲甲 100米米 终点终点 起点起点 由图可知，甲跑100 1288 (米)，乙跑88 896 (米)， 所以当乙跑8 100108 (米)时，甲跑：108 96 8899 (米)， 即当乙跑到终点时，甲离终点还有100 9
24、91 (米) 5、小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用 50 分钟，如果往返都步行，则全程需要 70 分钟，求往返都 骑车所需的时间是多少？ 【解析】一个单程步行比骑车多用 70-50=20（分钟）， 骑车单程（50-20） 2=15（分钟）， 往返骑车的时间 15 2=30（分钟） 6、八戒和悟空两家相距 255 千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行 45 千米，八戒每小 时行 40 千米两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 【解析】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间： 255 （45+40）=3（小时） 悟空：45 3 135 （千米）， 八戒：40 3
25、 120 （千米） 1、甲、乙两车同时从 A、B 两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙 车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶_千米(假设乙车 直击赛场 的行驶速度保持不变)。 【解析】利用追及路程一样有，5 (60-乙速)=3 (70-乙速)，解得乙速=45 千米/小时 追及问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多用 时间=追这所用时间； 追及路程 速度差=追及时间 追及路程 追及时间=速度差 速度差 追及时间=追及路程 追及路程 速度差=追及时间 追及路程 追及时间=速度差 速度差 追及时间=追及路程 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
