1、2020 年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x240，B1，0，2，3，4，则 AB（ ） A1，0，2 B1，0，2，3 C0，2，3 D1，0，2，3， 4 2复数 z（1+i）（2i）（i 为虚数单位），则|z|（ ） A2 B1 C D 3某商场推出消费抽现金活动，顾客消费满 1000 元可以参与一次抽奖，该活动设置了一等 奖、二等奖、三等奖以及参与奖，奖金分别为：一等奖 200 元、二等奖 100 元、三等奖 50 元、参与奖 20 元，具体获奖比例分配如图，则下列说法错误的是（ ） A获得
2、参与奖的人数最多 B各个奖项中一等奖的总奖金最高 C二等奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍 D奖金平均数为 46 元 4已知an是公差为 的等差数列，S n为an的前 n 项和若 a2、a5、a17成等比数列，则 S7（ ） A B C9 D7 5设 P 是椭圆 上一点，M、N 分别是两圆：x 2+（y+4）21 和 x2+（y4）2 1 上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A8 B14 C16 D20 6已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x） ，则曲线 yf（x）在点（1， f（1）处的斜率为（ ） A B Cln2 D 7在ABC 中，点 D 为 BC 延长线上一点，且
3、 ，则（ ） A B C D 8已知三棱锥 ABCD 的三视图均为边长为 1 的正方形，如图所示，此三棱锥的所有顶点 都在一个球面上，则此求的表面积是（ ） A B C3 D 9在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地 理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科 参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（ ） A24 B30 C48 D60 10在区间0，1内随机取两个数分别为 a、b，则使得关于 x 的方程 x2+2（a1）x（b2 2b）0 有实数根的概率为（ ） A1 B C 1 D1 11 已知抛物线 C： y
4、24x 的焦点为 F， 过点 F 且斜率为1 的直线与抛物线 C 交于两点 A、 B， 若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M、 N， 在直线 l： 2x+3y+m0 上存在一点 Q， 使得MQN90，则实数 m 的取值范围（ ） A ， B ， C ， D11，11 12已知函数 f（x）ex（x23x+1），则关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0（mR） 的实根个数（ ） A3 B3 或 4 C4 或 5 D3 或 5 二、填空题： 13若 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 z2xy 的最小值为 14已知函数 f（x）2 的最小正周期为 ，最大值为 4，则 15记 Sn为数
5、列an的前 n 项和若 a11，a22，2nSn（n+1）Sn+1+（n1）Sn1（n 2），则的通项公式 an 16点 D 是 RtABC 斜边 AB 上异于 A、B 的一动点，AC1，BC2，连结 CD，将BCD 沿着 CD 翻折到BDC，使得BDC 与ADC 所在的平面构成直二面角，则翻折后 的 AB最小值是 三、解答题： 17在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 （1）求 的值； （2）若 D 为线段 AB 的中点， ， ，求 b 18如图，在多面体中 ABCDEF，正方形 ABCD 与梯形 ADEF 所在的平面互相垂直，已知 AFDE，ADAF，AFAD DE
6、1 （1）求证：EF平面 CDF； （2）求平面 CDF 与平面 BCE 所成角的正弦值 19设抛物线 C：x22py（p0）的准线被圆 O：x2+y24 所截得的弦长为 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设点 F 是抛物线 C 的焦点，过 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，已知ABO 的面积为 ，求直线 l 的方程 20某科研团队对 1050 例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析其中 130 名吸 烟患者中，重症人数为 30 人，重症比例为 23.1%；920 名非吸烟患者中，重症人数为 120 人，重症比例为 13.0%根据以上数据绘制了 22 列联表，如表： 吸烟人数
7、非吸烟人数 总计 重症人数 30 120 150 非重症人数 100 800 900 总计 130 920 1050 （1）根据列联表数据，能否在犯错率不超过 0.01 的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有 关？ （2）已知每列重症患者平均治疗费用约为 15 万元，每列非重症患者平均治疗费用约为 1.7 万元现有吸烟确诊患者 20 人，记这 20 名患者的治疗费用总和为 X，求 E（X） 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21已知函数 f（x）exa（x2）2，a0，f（x）为 f（x）的导函数 （1）讨论 f（x）的单调性，设 f（
8、x）的最小值为 m，并求证：me2； （2）若 f（x）有三个零点，求 a 的取值范围 （二）选考题： 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： 1，曲线 C2： （ 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 （0），若 l 分别与 C1，C2交于异于极点的 A，B 两 点，求 的最大值 23已知 a，b，cR，且 a2+b2+c21 （1）求 a+2b+c 的最大值； （2）若 a+2b+c1，证明： 参考答案 一、选择题： 1已知集合 Ax|x240，B1，0，2，3，4，则 AB（ ）
9、A1，0，2 B1，0，2，3 C0，2，3 D1，0，2，3， 4 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x240x|2x2， B1，0，2，3，4， AB1，0，2 故选：A 2复数 z（1+i）（2i）（i 为虚数单位），则|z|（ ） A2 B1 C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：z（1+i）（2i）2i+2ii23+i， |z| 故选：D 3某商场推出消费抽现金活动，顾客消费满 1000 元可以参与一次抽奖，该活动设置了一等 奖、二等奖、三等奖以及参与奖，奖金分别为：一等奖 200 元、二等奖 100 元、三等奖 50
10、 元、参与奖 20 元，具体获奖比例分配如图，则下列说法错误的是（ ） A获得参与奖的人数最多 B各个奖项中一等奖的总奖金最高 C二等奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍 D奖金平均数为 46 元 【分析】观察扇形频率分布图，利用扇形频率分布图的性质能求出结果 解：由扇形频率分布图得： 对于 A，获得参与奖的比例为 55%，获得参与奖的人数最多，故 A 正确； 对于 B，各个奖项中一等奖的总奖金为 2005%a10a， 二等奖的总奖金为 10010%a10a，三等奖的总奖金为 5030%a15a， 参与奖的总奖金为 2055%a11a， 各个奖项中二等奖的总奖金最高，故 B 错误； 对于 C，二等
11、奖获奖人数是一等奖获奖人数的两倍，故 C 正确； 对于 D，奖金平均数为：2005%+10010%+5030%+2055%46 元，故 D 正确 故选：B 4已知an是公差为 的等差数列，S n为an的前 n 项和若 a2、a5、a17成等比数列，则 S7（ ） A B C9 D7 【分析】运用等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由 等差数列的求和公式，计算可得所求和 解：an是公差 d 为 的等差数列， 若 a2、a5、a17成等比数列，则 a52a2a17， 即（a1+4d）2（a1+d）（a1+16d）， 化为 9a1d0，由 d 可得 a10， 则 S7 70
12、 76 7 故选：D 5设 P 是椭圆 上一点，M、N 分别是两圆：x 2+（y+4）21 和 x2+（y4）2 1 上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A8 B14 C16 D20 【分析】 由椭圆方程求得焦点坐标， 可知两圆的圆心分别为椭圆的两个焦点， 作出图形， 数形结合得答案 解：由椭圆 ，得 a 225，b29， 则 c 两圆：x2+（y+4）21 和 x2+（y4）21 的圆心分别为椭圆的两个焦点坐标 则|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|21028 故选：A 6已知函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x） ，则曲线 yf（x）在点（1， f（1）处的
13、斜率为（ ） A B Cln2 D 【分析】利用奇函数的导数为偶函数，可知 f（1）f（1），由当 x0 时，f（x） ，可求出 f（x），进而可求得 f（1），得出结论 解：因为函数 f（x）是奇函数，所以 f（x）为偶函数，所以 f（1）f（1）； 当 x0 时，f（x） ，所以 ，由此可得 ； 故选：B 7在ABC 中，点 D 为 BC 延长线上一点，且 ，则（ ） A B C D 【分析】先由三角形的面积公式可得， ，所以 ，而 ，然后结合平面向量的减法和数乘运算即可得解 解：由题意可知， ， ， 故选：C 8已知三棱锥 ABCD 的三视图均为边长为 1 的正方形，如图所示，此三棱锥的
14、所有顶点 都在一个球面上，则此求的表面积是（ ） A B C3 D 【分析】 首先把三视图转换为几何体， 进一步求出外接球的半径， 最后求出球的表面积 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为边长为 1 的正方体中切出一个三 棱锥体 ABCD， 如图所示： 设外接球的半径为 r，则：（2r）212+12+123，解得 ， 所以： 表面积 故选：C 9在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地 理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科 参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（ ） A24 B30 C48 D60
15、 【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合 公式和基本原理可求 解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有 C C C 12 种选法； 第二类物理、历史两科中没相同学科，则有 A C A 48 种选法， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有 12+4860 种， 故选：D 10在区间0，1内随机取两个数分别为 a、b，则使得关于 x 的方程 x2+2（a1）x（b2 2b）0 有实数根的概率为（ ） A1 B C 1 D1 【分析】 试验发生包含的事件是在区间0， 1上任取两个数 a 和 b， 写出事件对应的集合， 做出面积，满足条件的事件是关于
16、 x 的方程 xx2+2（a1）x（b22b）0 有实数根， 根据二次方程的判别式写出 a， b 要满足的条件， 写出对应的集合， 做出面积， 得到概率 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是在区间0，1上任取两个数 a 和 b， 事件对应的集合是 （a，b）|0a1，0b1， 对应的面积是 s1， 满足条件的事件是关于 x 的方程 x2+2（a1）x（b22b）0 有实数根， 即 4（a1）2+4（b22b）0， （a1）2+（b1）21， 事件对应的集合是 A（a，b）|0a1，0b1，（a1）2+（b1）21 对应的图形的面积是 sA1 1 21 ， 根据等可能事
17、件的概率得到 P 1 故选：A 11 已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过点 F 且斜率为1 的直线与抛物线 C 交于两点 A、 B， 若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M、 N， 在直线 l： 2x+3y+m0 上存在一点 Q， 使得MQN90，则实数 m 的取值范围（ ） A ， B ， C ， D11，11 【分析】 求得在以线段 AB 为直径的圆的方程， 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 圆心 D（3，2）到直线 l 的距离小于或等于 4 ，再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解 解：过点 F（1，0）且斜率为 1 的直线方程为：yx+1 联立 x26x+
18、10，解得 x132 ，x23+2 ， AB 的中点坐标为（3，2）， |AB|x1+x2+p6+28， 所以以线段 AB 为直径的圆 D：（x3）2+（y+）216，圆心 D 为：（3，2），半 径为 r4， 在圆 C 上存在两点 M，N，在直线 l 上存在一点 Q，使得MQN90， 即在直线 l 上存在一点 Q，使得 Q 到 D（3，2）的距离等于 r4 ， 只需 D（3，2）到直线 l 的距离小于或等于 4 ， 4 4 m4 故选：B 12已知函数 f（x）ex（x23x+1），则关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0（mR） 的实根个数（ ） A3 B3 或 4 C4 或 5 D
19、3 或 5 【分析】先利用导数研究函数 f（x）的单调性和极值，画出函数 f（x）的大致图象，令 f （x）t，则 t2+mt5e0，由0 可知方程 t2+mt5e0 有两个不相等的实根设为 t1，t2， 由韦达定理得：t1+t2m，t1t25e0，不妨设 t10，t20，对 t1，t2的大小分情况 讨论，结合函数 f（x）的图象即可判断关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0（mR） 的实根个数 解：函数 f（x）ex（x23x+1），xR， f（x）ex（x23x+1）+ex（2x3）ex（x2x2）ex（x+1）（x2）， 令 f（x）0 得：x1 或 x2， 当 x（，1）时，f（
20、x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（1，2）时，f（x） 0，函数 f（x）单调递减；当 x（2，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， 又 f（1） ，f（2）e 2， 函数 f（x）的大致图象，如图所示： ， 令 f（x）t，则关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0 变为 t2+mt5e0， m2+20e0，方程 t2+mt5e0 有两个不相等的实根设为 t1，t2， 由韦达定理得：t1+t2m，t1t25e0，不妨设 t10，t20， 当 t1 时，t1t25e，t2e 2，此时关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0 的 实根个数为 3 个， 当 0t1 ，t1t2
21、5e，t2e 2，此时关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0 的实根个数为 3 个， 当 t1 ，t1t25e，e 2t 20，此时关于 x 的方程f（x） 2+mf（x）5e0 的实根个数为 3 个， 综上所述，关于 x 的方程f（x）2+mf（x）5e0 的实根个数为 3 个， 故选：A 二、填空题： 13若 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 z2xy 的最小值为 6 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小 值 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） 由 z2xy，得 y2xz， 平移直线 y2xz，由图象可知当直线 y2xz 经过点
22、A（2，2）时，直线 y2xz 的截距最大，此时 z 最小 此时 z 的最小值为 z2226， 故答案为：6 14已知函数 f（x）2 的最小正周期为 ，最大值为 4，则 3 【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性 质可求 解：f（x）2 sinxcosx2cos2x+a， xcos2x1+a2sin（2x ）+a1， 由 T 可得 1，f（x）2sin（2x ）+a1， 由最大值可得 2+a14，即 a3， 所以 f（ ）2sin 23 故答案为：3 15记 Sn为数列an的前 n 项和若 a11，a22，2nSn（n+1）Sn+1+（n1）Sn1（n
23、2），则的通项公式 an ， ， 【分析】利用 2nSn（n+1）Sn+1+（n1）Sn1（n2）可得 （n2），再 利用累乘法可得 an （n2），从而可得 an 解：2nSn（n+1）Sn+1+（n1）Sn1（n2）， （n1）Sn+（n+1）Sn（n+1）Sn+1+（n1）Sn1（n2）， （n1）Sn（n1）Sn1（n+1）Sn+1（n+1）Sn （n2）， （n1）an（n+1）an+1 （n2）， （n2）， an a2 （n2）， ， ， ， 故答案为： ， ， 16点 D 是 RtABC 斜边 AB 上异于 A、B 的一动点，AC1，BC2，连结 CD，将BCD 沿着 CD 翻
24、折到BDC，使得BDC 与ADC 所在的平面构成直二面角，则翻折后 的 AB最小值是 【分析】过点 B作 BECD 于 E，连结 BE，AE，设BCDBCD，则有 B E2sin， CE2cos， ACE ， 由此利用余弦定理、 勾股定理能求出当 时， AB 取得最小值 解：过点 B作 BECD 于 E，连结 BE，AE， 设BCDBCD， 则有 BE2sin，CE2cos，ACE ， 在AEC 中，由余弦定理得： AE21+4cos24coscos（ ）1+4cos24sincos， 在 RtAEB中，由勾股定理得： AB2AE2+BE21+4cos24sincos+4sin252sin2，
25、 当 时，AB取得最小值 故答案为： 三、解答题： 17在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 （1）求 的值； （2）若 D 为线段 AB 的中点， ， ，求 b 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得 sinA，sinB 的关系，然后 结合正弦定理可求； （2）由已知利用余弦定理分别表示 cosA，即可求解 解：（1）由已知结合正弦定理可得，sinBcosC3sinAcosC3sinCcosAsinCcosB， 所以 sin（B+C）3sin（A+C）即 sinA3sinB， 由正弦定理可得， 3， （2）由余弦定理可得，cosA ， 解可得，b 1
26、8如图，在多面体中 ABCDEF，正方形 ABCD 与梯形 ADEF 所在的平面互相垂直，已知 AFDE，ADAF，AFAD DE1 （1）求证：EF平面 CDF； （2）求平面 CDF 与平面 BCE 所成角的正弦值 【分析】 （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 EF平面 CDF （2）求出平面 BCE 的法向量和平面 CDF 的法向量，利用向量法能求出平面 CDF 与平 面 BCE 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在多面体中 ABCDEF，正方形 ABCD 与梯形 ADEF 所在的平面互相 垂直， AFD
27、E，ADAF，AFAD DE1 DA，DC，DE 两两垂直，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空 间直角坐标系， E（0，0，2），F（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0）， （1，0，1）， （0，1，0）， （1，0，1）， 0， 0，EFDC，EFDF， DCDFD，EF平面 CDF （2）解：由 EF平面 CDF，得平面 CDF 的法向量 （1，0，1）， （0，1，2），B（1，1，0）， （1，0，0）， 设平面 BCE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z1，得 （0，2，1）， 设平面 CDF 与平面 BCE 所成角为 ，
28、 则|cos| 平面 CDF 与平面 BCE 所成角的正弦值为 19设抛物线 C：x22py（p0）的准线被圆 O：x2+y24 所截得的弦长为 （1）求抛物线 C 的方程； （2）设点 F 是抛物线 C 的焦点，过 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，已知ABO 的面积为 ，求直线 l 的方程 【分析】（1）求得抛物线的准线方程，联立圆的方程，可得弦长，解方程可得 p，进而 得到抛物线的方程； （2）求得抛物线的焦点 F 的坐标，可知直线 l 的斜率存在，设为 k，过 F 的直线方程为 ykx+1，联立抛物线的方程，消去 y，运用韦达定理，再由ABO 的面积 S |OF| |x1 x2
29、|，可得 k 的方程，解方程可得 k，进而得到所求直线的方程 解： （1） 抛物线 C： x22py （p0） 的准线为 y ， 圆 O： x 2+y24 的圆心 O （0， 0） ， 半径 r2， 联立准线方程和圆的方程可得 x ， 可得 2 2 ，解得 p2， 则抛物线的方程为 x24y； （2）抛物线 C：x24y；的焦点 F（0，1），可知直线 l 的斜率存在，设为 k， 过 F 的直线方程为 ykx+1， 联立抛物线的方程 x24y， 可得 x24kx40， 16k2+16 0 恒成立， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x24k，x1x24， 知ABO 的面积 S
30、 |OF| |x1x2 | 2 ， 解得 k ， 则直线 l 的方程为 y x+1 或 y x+1 20某科研团队对 1050 例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析其中 130 名吸 烟患者中，重症人数为 30 人，重症比例为 23.1%；920 名非吸烟患者中，重症人数为 120 人，重症比例为 13.0%根据以上数据绘制了 22 列联表，如表： 吸烟人数 非吸烟人数 总计 重症人数 30 120 150 非重症人数 100 800 900 总计 130 920 1050 （1）根据列联表数据，能否在犯错率不超过 0.01 的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有 关？ （2）已知每列重症患
31、者平均治疗费用约为 15 万元，每列非重症患者平均治疗费用约为 1.7 万元现有吸烟确诊患者 20 人，记这 20 名患者的治疗费用总和为 X，求 E（X） 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）由列联表中数据和 K2的公式计算出其观测值，并与附表中的参考数据对 比即可作出判断； （2）设随机抽取一名患者，其治疗费用为 Y，则 Y 的可能取值为 1.7，15，且 X20Y， 然后根据已知条件写出Y的每个取值所对应的概率， 再根据数学期望的公式即可得E （Y） ， 而 E（X）20E（Y），从而得解 解：（1）由表可知，
32、6.635， 故能在犯错率不超过 0.01 的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关 （2）设随机抽取一名患者，其治疗费用为 Y，则 Y 的可能取值为 1.7，15，且 X20Y， P（Y1.7）23.1%，P（Y15）123.1%76.9%， E（Y）1.723.1%+1576.9%11.9277， E（X）20E（Y）238.554（万元） 21已知函数 f（x）exa（x2）2，a0，f（x）为 f（x）的导函数 （1）讨论 f（x）的单调性，设 f（x）的最小值为 m，并求证：me2； （2）若 f（x）有三个零点，求 a 的取值范围 【分析】（1）函数 f（x）exa（x2）2，a0，f（
33、x）ex2a（x2）g（x）， g（x）ex2a， 令 g（x）ex2a0，解得 x0ln（2a）可得 g（x）ming（x0）g（ln（2a） 6a2aln（2a）对 a 分类讨论可得其单调性 由上面可得：x0ln（2a）时，f（x）取得最小值，m6a2aln（2a），令 2at 0u（t）3ttlnt，利用导数研究函数的单调性即可得出结论 （2）函数 f（x）exa（x2）2，a0，f（2）e20，可得 2 不是函数 f（x）的零 点由 f（x）exa（x2）20，化为：a （x2）令 G（x） （x 2），利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象即可得出结论 解：（1）函数 f（x）
34、exa（x2）2，a0， f（x）ex2a（x2）g（x）， g（x）ex2a， 令 g（x）ex2a0，解得 x0ln（2a） 可得函数 g（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增 g（x）ming（x0）g（ln（2a）2a2a（ln（2a）2）6a2aln（2a）， 令 6a2aln（2a）0，化为：ln（2a）3，解得 a 0a 时，f（x）0，函数 f（x）在 R 上单调递增 令 6a2aln（2a）0，化为：ln（2a）3，解得 a x时，f（x）+；x+时，f（x）+ 存在 2x1x2，使得 f（x1）f（x2）0 可得：函数 f（x）在（，x1）单调递增，在（x1
35、，x2）上单调递减，在（x2，+）上 单调递增 综上可得：0a 时，函数 f（x）在 R 上单调递增 a 时函数 f（x）在（，x1）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+） 上单调递增 其中 f（x1）f（x2）0 由上面可得：x0ln（2a）时，f（x）取得最小值，m6a2aln（2a），令 2at 0 u（t）3ttlnt，令 u（t）3lnt12lnt0，解得 te2mu（e2）3e2 e2lne2e2 me2 （2）函数 f（x）exa（x2）2，a0， f（2）e20，2 不是函数 f（x）的零点 由 f（x）exa（x2）20，化为：a （x2） 令 G（x） （x2
36、），可得 G（x） 可得函数 G（x）在（，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减，在（4，+）上 单调递增 G（4） 画出图象：可得 a a 的取值范围是（ ，+） 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： 1，曲线 C2： （ 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 （0），若 l 分别与 C1，C2交于异于极点的 A，B 两 点，求 的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性
37、质的应用求出结果 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的 应用求出结果 解：（1）因为 xcos，ysin， 曲线 C1： 1，转换为极坐标方程为 ， 整理得： 曲线 C2： （ 为参数），化为普通方程为 x2+y26x0，极坐标方程 6cos （2）由（1）知 由 得 ，由 得|OB|236cos2， ， 当 时， ，即 的最大值为 23已知 a，b，cR，且 a2+b2+c21 （1）求 a+2b+c 的最大值； （2）若 a+2b+c1，证明： 【分析】（1）运用三个数的完全平方公式，结合重要不等式和不等式的性质，计算可得 所求最大值； （2）由
38、条件可得 a2+b21c2，a+2b1c，再由柯西不等式可得（a2+b2）（12+22） （a+2b）2，化为 c 的二次不等式，解不等式，即可得证 【解答】（1）解：（a+2b+c）2a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc（a2+4b2+c2）+（4a2+b2）+ （a2+c2）+（b2+4c2）6（a2+b2+c2）6， 当且仅当 2ab2c 时即 ac ，b 等号成立， 所以 a+2b+c 的最大值为 ； （2）证明：因为 a2+b2+c21，a+2b+c1，所以 a2+b21c2，a+2b1c， （a2+b2）（12+22）（a+2b）2，当且仅当 2ab 时，等号成立 有 5（1c2）（1c）2，即 3c2c20， 故 c1
