1、i 是虚数单位，则复数等于（ ） Ai Bi C1 D1 3 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）下列函数中，与函数 y的定义域相同的函数为（ ） A B Cyxex D 5 （5 分）已知 a21.2，b（） 0.8，c2log 52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 6 （5 分）二项式的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C40 D40 7 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a813，S735，则 a8（ ） A8 B9 C
2、10 D11 8 （5 分）函数 yxcosx+sinx 的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 9 （5 分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足 x+y的概率是 （ ） A B C D 10 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 ； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点； 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象； 函数在0，上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A B C D 11 （5 分）设 F1、F2分别是双曲线 C：的左、右焦点，
3、若双曲 线右支上存在一点 P，使|OP|OF1|（O 为原点） ，且，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+sinx（xR） ，函数 g（x）满足 g（x）+g（2x）0（xR） ， 若函数 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021 个零点，则所有这些零点之和为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，an0，且 a1a1027，log3a2+log3a9 14 （5 分）若向量 ， 夹角为，且，则
4、与的夹角为 第 3 页（共 21 页） 15 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）1 的解集为 16 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 三三.解答题： （共解答题： （共 70 分 解答应写出分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分 1
5、7 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均 增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 （）分别计
6、算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积 Sabc， sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC （）求角 C； （）求ABC 周长的取值范围 19 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为 边长等于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中； （）证明：平面 PAC平面 ABC； 第 4 页（共 21 页） （）若点 M 在棱 PA 上运动，当直
7、线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角 P BCM 的余弦值 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 M（m，9）到其焦点 F 的距离为 10 （）求抛物线 C 的方程； （）设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线 分别交 x 轴于 P，Q 两点，求|AP|BQ|的取值范围 21 （12 分）设函数 f（x）exax+3（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间1，2上的最小值是 4，求 a 的值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题
8、中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1
9、 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年广西南宁三中高三（上）学年广西南宁三中高三（上）9 月月考数学试卷（理月月考数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一分在每小题给的四个选项中，只有一 项符合）项符合） 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，集合 B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1 B0，1，2 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x|
10、2x|2x2， B1，0，1，2，3， AB1，0，1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用 2 （5 分）i 是虚数单位，则复数等于（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由1，解得 a0 或 a1即可判断出结论 【解答】解：由1，解得 a0 或 a1 a1 是1 的充分不必要条件 第
11、 6 页（共 21 页） 故选：A 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （5 分）下列函数中，与函数 y的定义域相同的函数为（ ） A B Cyxex D 【分析】可以求出的定义域为x|x0，然后求每个选项函数的定义域即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， 的定义域为x|x0；的定义域为x|x0； yxex的定义域为 R； 的定义域为x|x0， 与函数定义域相同的函数为 故选：D 【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数和对数函数的定义域 5 （5 分）已知 a21.2，b（） 0.8，c2log 52，则 a，b，c 的大小
12、关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解 【解答】解：a21.22， b（） 0.820.8212， clog54log551， cba 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、 对数函数性质的合理运用 6 （5 分）二项式的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C40 D40 第 7 页（共 21 页） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得展开式中的常数项的值 【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为 Tr+1 （2） r ， 令0，求
13、得 r2， 可得展开式中常数项为440， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 7 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a813，S735，则 a8（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，由题设条件列出方程组，能求出等 差数列的首项和公差，由此能求出 a8 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且 a3+a813，S735， ， 解得 a12，d1， a82+719 故选：B 【点评】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项
14、 公式的合理运用 8 （5 分）函数 yxcosx+sinx 的图象大致为（ ） A B 第 8 页（共 21 页） C D 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用 区特值排除 A 和 C，则答案可求 【解答】解：因为函数 yxcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B， 由当 x时， 当 x 时，ycos+sin0 由此可排除选项 A 和选项 C 故正确的选项为 D 故选：D 【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题 9 （5 分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足 x+y的概率是 （ ） A B C D 【
15、分析】求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为 2，对应的面积 S22 4， 不等式 x+y对应的区域如图： 对应三角形 OAB， 当 x0 时，y，当 y0 时，x， 即 A（0，） ，B（，0） ， 则， 则所取的点恰好满足 x+y的概率 P， 故选：C 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的图形的面积是解决本 题的关键 10 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 ； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数
16、 yx 的图象有三个公共点； 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象； 函数在0，上是减函数； 其中真命题的序号是（ ） A B C D 【分析】函数 ysin4xcos4xcos2x， ； 终边在 y 轴上的角的集合是； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和 yx 的图象只有原点这一个公共点； 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象； 函数cosx 在（0，）上是增函数，故可得结论 【解答】解：函数 ysin4xcos4xcos2x，可知最小正周期是 ，故正确； 终边在 y 轴上的角的集合是，故不正确； 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和 yx
17、的图象只有原点这一个公共点，sinx x 只有一个解， x0 时，sinxx；x0 时，sinxx；x0 时，sinxx，故不成立； 第 10 页（共 21 页） 把函数的图象向右平移个单位得到 y3sin2x 的图象，故正确； 函数cosx 在（0，）上是增函数，故不正确； 故正确命题是： 故选：B 【点评】本题考查诱导公式的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数 的恒等变换 11 （5 分）设 F1、F2分别是双曲线 C：的左、右焦点，若双曲 线右支上存在一点 P，使|OP|OF1|（O 为原点） ，且，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 【分析】依题意可知|OF1|O
18、F2|OP|判断出F1PF290，设出|PF2|t，则|F1P| t，进而利用双曲线定义可用 t 表示出 a，根据勾股定理求得 t 和 c 的关系，最后可求 得双曲线的离心率 【解答】解：|OF1|OF2|OP| F1PF290 设|PF2|t，则|F1P|t，a t2+3t24c2，则 tc e+1 故选：D 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运 用 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+sinx（xR） ，函数 g（x）满足 g（x）+g（2x）0（xR） ， 若函数 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021 个零点，则所有这些零点之和为（ ） A2
19、018 B2019 C2020 D2021 【分析】根据 f（x）为奇函数得到 f（x1）关于（1，0）对称，g（x）+g（2x）0， 得 g（x）关于（1，0）对称，所以 h（x）关于（1，0）对称，通过对称性可得答案 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：因为 f（x）3x3 2sinxf（x） ，所以函数 f（x）为奇函数； 所以函数 f（x）关于（0，0）对称，则 f（x1）关于（1，0）对称； 又因为函数 g（x）满足 g（x）+g（x2）0，所以 g（x）关于（1，0）对称； 所以 h（x）f（x1）g（x）关于（1，0）对称， 又因为 h（x）f（x1）g（x）恰有 2021
20、 个零点，所有这些零点之和为 2021 故选：D 【点评】本题考查了函数的对称中心，找出对称中心点的坐标是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，an0，且 a1a1027，log3a2+log3a9 3 【分析】由等比数列的性质可得：a2a9a1a10，再利用对数运算性质即可得出 【解答】解：由等比数列的性质可得：a2a9a1a1027， log3a2+log3a9log3（a2a9）3 故答案为：3 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了推理能力与 计算能
21、力，属于中档题 14 （5 分）若向量 ， 夹角为，且，则 与的夹角为 【分析】根据题意，设 与的夹角为 ，由数量积的计算公式计算可得 （） 、 |的值，又由 cos，代入数据计算可得 cos 的值，结合 的范围， 计算可得答案 【解答】解：根据题意，设 与的夹角为 ， 向量 ， 夹角为，且，则 211， （） 2+2 6， 则（）2 2+4 +4212，则| |2， 则有 cos， 又由 0， 第 12 页（共 21 页） 则 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的计算公式，涉及向量夹角的计算，关键是掌握向量数据 积的计算公式 15 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）1 的解集
22、为 （， 0）（4，+） 【分析】本题为分段函数为载体的不等式解法问题，在作答过程中要分两段分别求解， 并注意分段条件在解题过程中的作用 【解答】解： f（x）1 ， x0； x1，x0； 20当 x1 时，函数 f（x）log4x， f（x）1， log4x1log44， x4 又x1 x4 综上不等式的解集为（，0）（4，+） 【点评】在解以分段函数为载体的不等式时候，要注意分段点的限制此题培养学生分 类整合的数学思想 16 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 9 【分析】由 PB平面
23、 ABC，ABAC 可得四个直角三角形，可知 PC 的中点 O 为外接球 球心，不难求解 【解答】解：由 PB平面 ABC，ABAC， 第 13 页（共 21 页） 可得图中四个直角三角形， 且 PC 为PBC，PAC 的公共斜边， 故球心 O 为 PC 的中点， 由 AC1，ABPB2， PC3， 球 O 的半径为， 其表面积为：9 故答案为：9 【点评】此题考查了线面垂直，三棱锥的外接球面积，难度不大 三三.解答题： （共解答题： （共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都
24、必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均 增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 服用 B 药的 20 位患
25、者日平均增加的睡眠时间： 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 （）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ 第 14 页（共 21 页） （）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 【分析】 （）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； （）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成 【解答】解： （）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设 B 药观测数据的平均数 据的平均数为 ， 则 （0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.
26、5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4） 2.3 （3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5） 1.6 由以上计算结果可知：由此可看出 A 药的效果更好 （）根据两组数据得到下面茎叶图： 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2，3 上而 B 药疗效的 试验结果有的叶集中在 0，1 上由此可看出 A 药的疗效更好 【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键 18 （12 分）在ABC 中，角
27、A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积 Sabc， sin2A+sin2B+sinAsinB2csinC （）求角 C； 第 15 页（共 21 页） （）求ABC 周长的取值范围 【分析】 （）由已知利用三角形的面积公式可得 2csinC，由正弦定理化简已知等式可 得 a2+b2+abc2由余弦定理得 cosC，即可得解 C 的值 （）由（）知 2csinC，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 a+b+csin （A+）+，由范围 A（0，） ，可求 A+（ ，） ，利用正弦函数的 图象和性质可求ABC 的周长的取值范围 【解答】解： （）由 SabcabsinC，可
28、知：2csinC， sin2A+sin2B+sinAsinBsin2C由正弦定理得 a2+b2+abc2 由余弦定理得 cosC， C （）由（）知 2csinC， 2asinA，2bsinB ABC 的周长为 a+b+c（sinA+sinB+sinC） sinA+sin（A）+ （sinA+cosAsinA）+ （sinA+cosA）+ sin（A+）+ A（0，） ， A+（，） ， sin（A+）（，1， ABC 的周长的取值范围为（， 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换 的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思
29、想， 属于中档题 19 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为 第 16 页（共 21 页） 边长等于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中； （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角 P BCM 的余弦值 【分析】 （1）取 AC 中点 O，连结 PO，BO，则 POAC，BOAC，POBO，由此能 证明平面 PAC平面 ABC （）由 BOPO，BOAC，得 BO平面 PAC，从而BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成角，且
30、tanBMO，进而当 OM 最短时，即 M 是 PA 中点时，BMO 最 大，由 PO平面 ABC，OBAC，得 POOB，POOC，以 OC，OB，OP 所成直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 PBCM 的余 弦值 【解答】证明： （1）三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中， 四边形 ABCD 为边长等于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形， PAPBPCBCAB，APCABC90，APBBPC60， 取 AC 中点 O，连结 PO，BO， 则 POAC，BOAC，且 POAOCOBO1， PO2+BO2PB2，POBO， 第
31、17 页（共 21 页） 平面 PAC平面 ABC 解： （）由（）知，BOPO，BOAC， POACO，BO平面 PAC， BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成角，且 tanBMO， 当 OM 最短时，即 M 是 PA 中点时，BMO 最大， 由 PO平面 ABC，OBAC，得 POOB，POOC， 以 OC，OB，OP 所成直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，B（0，1，0） ，A（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（ ） ， （1，1，0） ，（1，0，1） ，（，0，） ， 设平面 MBC 的法向量 （x，y，
32、z） ， 则，取 x1，得 （1，1，3） ， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 设二面角 PBCM 的平面角为 ， 则 cos 二面角 PBCM 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 M（m，9）到其焦点 F 的距离为 10 （）求抛物线 C 的方程； （）设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线 分别交 x 轴于 P，Q
33、 两点，求|AP|BQ|的取值范围 【分析】 （）可得抛物线的准线为，解得，p2，即可得抛物线的 第 18 页（共 21 页） 方程 （ ） 设l ： y kx+1 设A （）， B （ x2，）， 可 得 同理可得， ，即可得|AP|BQ|的取值范围 【解答】解： （）已知 M（m，9）到焦点 F 的距离为 10，则点 M 到其准线的距离为 10 抛物线的准线为， 解得，p2，抛物线的方程为 x24y（5 分） （）由已知可判断直线 l 的斜率存在，设斜率为 k，因为 F（0，1） ，则 l：ykx+1 设 A（） ，B（x2，） ，由消去 y 得，x24kx40， x1+x24k，x1x2
34、4 由于抛物线 C 也是函数的图象，且，则 令 y0，解得，P，从而 同理可得， k20，|AP|BQ|的取值范围为2，+） （12 分） 【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化 思想以及计算能力，属于中档题 21 （12 分）设函数 f（x）exax+3（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间1，2上的最小值是 4，求 a 的值 【分析】 （1）求出函数的导数通过 a 的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即 可 （2）由（1）知，当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增，当 lna1，当 lna2， 第 19
35、 页（共 21 页） 当 1lna2 求出 f（lna）elnaalna+34 即 aalna10令 h（a）aalna 1（eae2） ，则 h（a）lna0，转化求解即可 【解答】解： （1）f（x）exa 当 a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，f（x）0 解得 xlna，由 f（x）0 解得 xlna 综上所述：当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在（lna，+）上单调递增， 函数 f（x）在（，lna）上单调递减 （2）由（1）知，当 a0 时，函数 f（x）在 R 上单调递增， 函数 f（x）在1，2上的最小值
36、为 f（1）ea+34， 即 ae10，矛盾 当 a0 时，由（I）得 xlna 是函数 f（x）在 R 上的极小值点 当 lna1 即 oae 时，函数 f（x）在1，2上单调递增， 则函数 f（x）的最小值为 f（1）ea+34，即 ae1，符合条件 当 lna2 即 ae2时，函数 f（x）在1，2上单调递减， 则函数 f（x）的最小值为 f（2）e22a+34 即，矛盾 当 1lna2 即 eae2时，函数 f（x）在1，lna上单调递减，函数 f（x）在lna， 2上单调递增， 则函数 f（x）的最小值为 f（lna）elnaalna+34 即 aalna10 令 h（a）aalna
37、1（eae2） ，则 h（a）lna0， h（a）在（e，e2）上单调递减， 而 h（e）1， h（a）在（e，e2）上没有零点， 即当 eae2时，方程 aalna10 无解 综上，实数 a 的值为 e1 【点评】本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法， 考查转化思想以及计算能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 20 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系
38、 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点 的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 【分析】 （I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求出 曲线 C2的方程； （II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线 与 C1的交点 A 的极 径为 1，以及射线 与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|21|求出所求 【解答】解： （I）设 P（x，y） ，
39、则由条件知 M（，） 由于 M 点在 C1上， 所以即 从而 C2的参数方程为 （ 为参数） （）曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin， 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 所以|AB|21| 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量， 属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1， 证明： （1）ab+bc+ca； （2）+1 【分析】 （1）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca
40、，由累加法，再由三个数的完全平方 第 21 页（共 21 页） 公式，即可得证； （2）+b2a，+c2b，+a2c，运用累加法和条件 a+b+c1，即可得证 【解答】证明： （1）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1，则 ab+bc+ca； （2）+b2a，+c2b，+a2c， 故+（a+b+c）2（a+b+c） ， 即有+a+b+c （当且仅当 abc 取得等号） 故+1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力， 属于中档题
