2018-2019学年北京师大附中高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

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1、矩形两边长分别为 a、b,且 a+2b6,则矩形面积的最大值是( ) A4 B C D2 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 20 分分 16 (4 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2(nN*) ,则 a8的值是 17 (4 分)若三数成等比数列,其积为 8,首末两数之和为 4,则公比 q 的值为 18 (4 分)已知 an是等差数列,a2+a4+a6+a816,求 S9 19 (4 分)已知 x0,则函数的最大值是 20 (4 分)已知实数 x,y 满足则 z2x+4y 的最大值为 三、解答题:共三、解答题:共 2 道大题,每大题道

2、大题,每大题 10 分,共分,共 20 分,请写出解题步骤分,请写出解题步骤 21 (10 分)已知等差数列an的公差不为 0,a13,且 a2,a4,a7成等比数列, (1)求an的通项公式; (2)求 a2+a4+a6+a2n 22 (10 分)某单位计划建一长方体状的仓库,底面如图,高度为定值仓库的后墙和底部 第 3 页(共 14 页) 不花钱,正面的造价为 40 元/m,两侧的造价为 45 元/m,顶部的造价为 20 元/m2设仓 库正面的长为 x(m) ,两侧的长各为 y(m) (1)用 x,y 表示这个仓库的总造价 t(元) ; (2)若仓库底面面积 S100m2时,仓库的总造价

3、t 最少是多少元,此时正面的长应设 计为多少 m? 第 4 页(共 14 页) 2018-2019 学年北京师大附中高二(下)期中数学试卷(学年北京师大附中高二(下)期中数学试卷(AP) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 15 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 60 分分 1 (4 分)在等差数列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7450,则 a2+a8的值为( ) A45 B90 C180 D300 【分析】根据等差数列的性质可知,项数之和相等的两项之和相等,化简已知的等式即 可求出 a5的值, 然后把所求的式子也利用等差数列的性质

4、化简后,将 a5的值代入即可求 出值 【解答】解:由 a3+a4+a5+a6+a7(a3+a7)+(a4+a6)+a55a5450, 得到 a590, 则 a2+a82a5180 故选:C 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道基础题学生化简已 知条件时注意项数之和等于 10 的两项结合 2 (4 分)等比数列an中,a29,a5243,an的前 4 项和为( ) A81 B120 C168 D192 【分析】根据等比数列的性质可知等于 q3,列出方程即可求出 q 的值,利用即可 求出 a1的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前 n 项和的公式即可求 出an的

5、前 4 项和 【解答】解:因为q327,解得 q3 又 a13,则等比数列an的前 4 项和 S4120 故选:B 【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值, 是一道中档题 3 (4 分)如果1,a,b,c,9 成等比数列,那么( ) 第 5 页(共 14 页) Ab3,ac9 Bb3,ac9 Cb3,ac9 Db3,ac9 【分析】由等比数列的等比中项来求解 【解答】解:由等比数列的性质可得 ac(1)(9)9, bb9 且 b 与奇数项的符号相同, b3, 故选:B 【点评】本题主要考查等比数列的等比中项的应用 4 (4 分)设等差数列an的前 n

6、 项和为 Sn,若 a111,a4+a66,则当 Sn取最小值时, n 等于( ) A6 B7 C8 D9 【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得 【解答】解:设该数列的公差为 d,则 a4+a62a1+8d2(11)+8d6,解得 d 2, 所以,所以当 n6 时,Sn取最小值 故选:A 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的 求法及计算能力 5 (4 分)已知数列an的前 n 项和 Sn2n+12,则 a12+a22+an2( ) A4(2n1)2 B4(2n 1+1)2 C D 【分析】利用数列的第 n 项

7、与前 n 项和减去前 n1 项和转化求解数列的通项公式,判断 数列是等比数列,然后求解新数列的和即可 【解答】解:当 n2 时,; 当 n1 时,适合上式 , 是首项为 4,公比为 4 的等比数列, , 第 6 页(共 14 页) 故选:C 【点评】本题考查数列通项公式的求法,数列的判断,数列求和的方法,考查计算能力 6 (4 分)正项等比数列an中,a2a510,则 lga3+lga4( ) A1 B1 C2 D0 【分析】等比数列的定义和性质,得到 a3a410,故有 lga3+lga4lga3a4lg101 【解答】解:正项等比数列an中,a2a510,a3a410,lga3+lga4l

8、ga3a4lg10 1, 故选:B 【点评】本题考查等比数列的定义和性质,得到 a3a410,是解题的关键 7 (4 分)数列 0.3,0.33,0.333,0.3333,的一个通项公式是( ) A(10n1) B(10n1) C(1) D(10n1) 【分析】根据所给的这个数列的特点,先写出 9,99,999,9999 的通项公式,由此可得 数列 0.9, 0.99, 0.999, 9999 的通项, 对其每一项都乘以, 即可得数列 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333,的一个通项公式,分析可得答案 【解答】解:根据题意,数列 9,99,999,9999,的通项是 10n1, 则

9、数列 0.9,0.99,0.999,0.9999,的通项是(10n1)1, 则数列 0.3,0.33,0.333,0.3333,的一个通项公式是(1) ; 故选:C 【点评】本题考查数列的通项的求法,需要掌握常见数列的通项及求法 8 (4 分)已知数列,则是这个数列的( ) A第六项 B第七项 C第八项 D第九项 【分析】本题通过观察可知:原数列每一项的平方组成等差数列,且公差为 3,即 an2 an123 从而利用等差数列通项公式 an22+(n1)33n120,得解,n7 【解答】解:数列, 各项的平方为:2,5,8,11, 521183, 即 an2an123, 第 7 页(共 14 页

10、) an22+(n1)33n1, 令 3n120,则 n7 故选:B 【点评】本题通过观察并利用构造法,构造了新数列an2为等差数列,从而得解,构造 法在数列中经常出现,我们要熟练掌握 9 (4 分)等比数列an中,a1+a2+a330,a4+a5+a6120,则 a7+a8+a9( ) A240 B240 C480 D480 【分析】根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式,整体代入后即可求出 q3的值, 然后把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后,把 a1(1+q+q2)30 和求出 q3 的值代入即可求出值 【解答】解:因为 a1+a2+a3a1(1+q+q2)30,a4+a5+a6

11、a1q3(1+q+q2)120, 所以 q34, 则 a7+a8+a9a1q6(1+q+q2)a1(1+q+q2) (q3)23016480 故选:C 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质, 是一道基础题 10 (4 分)已知 ma+(a2) ,n(b0) ,则 m,n 的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn D不确定 【分析】分别判断出 m,n 的大小,然后比较即可 【解答】解:ma+(a2)+2+24(a2) , n224(b0) , 故 mn 故选:A 【点评】本题主要考查基本不等式的性质,主要应用条件,还有指数函数的性质,属于 基础题 11 (

12、4 分)已知 a,b,cR,且 ab,ab0,则下列不等式一定成立的是( ) Aa3b3 Bac2bc2 C Da2b2 【分析】根据不等式的基本性质,结合已知中 ab,逐一分析四个答案中的不等式是否 第 8 页(共 14 页) 一定成立,可得答案 【解答】解:a,b,cR,且 ab,ab0, 故 a3b3成立,故 A 正确; 当 c0 时,则 ac2bc2,故 B 不一定成立; 由于 ab 符号不确定,故与的大小不能确定,故 C 不一定成立, 由于 a,b 符号不确定,故 a2与 b2的大小不能确定,故 D 不一定成立; 故选:A 【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质,熟练掌握不等式的

13、基本性质,是解答 的关键 12 (4 分)已知0,则下列结论错误的是( ) Aa2b2 B Cabb2 Dlga2lgab 【分析】根据题目给出的不等式,断定出 a、b 的大小和符号,然后运用不等式的基本性 质分析判断 【解答】解:由,得:ba0, 所以有 a2b2,所以 A 正确; 因为 ba0,所以,且,所以,所以 B 正 确; 因为 ab,b0,所以 abb2,所以 C 不正确; 因为 ab,a0,所以 a2ab,所以 lga2lgab,所以 D 正确 故选:C 【点评】本题考查了不等关系与不等式,解答此题的关键是掌握不等式的基本性质,特 别注意的是只有在 a、b 同号时才有 ab,是易

14、错题 13 (4 分)已知 x、y 满足,则 3xy 的最小值为( ) A4 B6 C12 D16 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线 y2x 可得 第 9 页(共 14 页) 【解答】解:作出 x、y 满足所对应的可行域(如图OAB) , 变形目标函数可得 y3xz,平移直线 y3x 可知, 当直线经过点 A(2,2)时,截距z 取最大值, 目标函数 z 取最小值 3224, 故选:A 【点评】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题 14 (4 分)不等式组表示的平面区域是( ) A B C D 【分析】根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论 【解答】解:先在坐标

15、系中画出直线 y2x 和直线 yx 的图象, 由已知,不等式组表示的平面区域应为:在直线 y2x 的左下侧(包括直线 y2x)且在直线 yx 的左上侧部分(包括直线 yx) 故选:C 第 10 页(共 14 页) 【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,体现了数形结合的数学思想, 属于基础题 15 (4 分)矩形两边长分别为 a、b,且 a+2b6,则矩形面积的最大值是( ) A4 B C D2 【分析】根据两个数字的和是一个定值,利用基本不等式写出两个数的积的形式存在最 大值,整理出最大值的形式,得到结果 【解答】解:a+2b6 a+2b2, 2, , 2ab9, ab 即矩形的面

16、积的最大值是, 故选:B 【点评】本题考查基本不等式的应用,是一个较简单的基本不等式的应用,注意不等式 的使用条件,本题是一个送分题目 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 20 分分 16 (4 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2(nN*) ,则 a8的值是 15 【分析】利用 a8S8S7,可得结论 【解答】解:数列an的前 n 项和, a8S8S7644915 故答案为:15 【点评】本题考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于基础题 17 (4 分)若三数成等比数列,其积为 8,首末两数之和为 4,则公比 q 的值为 1

17、【分析】 根据题意, 设三个数中中间项为 a, 由等比数列的性质可得 a38, 解可得 a2; 进而可得+2q4,解可得 q 的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,若三数成等比数列,设其中间项为 a, 若三个数的积为 8,则有 a38,解可得 a2; 第 11 页(共 14 页) 又由首末两数之和为 4,则有+2q4, 解可得:q1; 故答案为:1 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的通项,属于基础题 18 (4 分)已知 an是等差数列,a2+a4+a6+a816,求 S9 36 【分析】根据等差数列的性质,由 a2+a4+a6+a816,即可得到关于第 5 项的方程,求出 方程

18、的解即可得到第 5 项的值,然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出 S9,再利用 等差数列的性质化为关于第 5 项的式子,把第 5 项的值代入即可求出值 【解答】解:由 a2+a4+a6+a84a516,解得 a54, 则 S99a536 故答案为:36 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质及前 n 项和的公式化简求值,是一道基 础题 19 (4 分)已知 x0,则函数的最大值是 【分析】由函数 变形为 ,再由基本不等式求得 t 从而有 得到结果 【解答】解:函数 由基本不等式得 t 故函数 的最大值是 故答案为: 【点评】本题主要考查函数最值的求法,一般有两种方法,一是函数法,二是

19、基本不等 式法,本题应用的是基本不等式法,要注意一正,二定,三相等 20 (4 分)已知实数 x,y 满足则 z2x+4y 的最大值为 14 第 12 页(共 14 页) 【分析】1画可行域 XY+20 并判断区域同理画其他两个边界并判断区域 2 目标函数 z 为该直线纵截距的 4 倍纵截距最大 在就最大 3 平移目标函数找纵截距的最大值 【解答】解:画可行域如图三角形 ABC,令 z0 得直线 l 图中蓝线,平移 l 过点 A(1, 3)时 z 有最大值 14,故答案为 14 【点评】本题考查线性规划问题:可行域画法 目标函数几何意义 三、解答题:共三、解答题:共 2 道大题,每大题道大题,

20、每大题 10 分,共分,共 20 分,请写出解题步骤分,请写出解题步骤 21 (10 分)已知等差数列an的公差不为 0,a13,且 a2,a4,a7成等比数列, (1)求an的通项公式; (2)求 a2+a4+a6+a2n 【分析】 (1)设等差数列的公差为 d,且不为 0,运用等比数列的中项性质和等差数列的 通项公式,解方程可得公差,进而得到所求通项公式; (2)求得 a2n2n+2,再由等差数列的求和公式,计算可得所求和 【解答】解: (1)设等差数列an的公差为 d,且 d0, ,a7成等比数列, 即, 化简得(a13d)d0, 公差 d0,a13d, 第 13 页(共 14 页) a

21、13,d1, ana1+(n1)dn+2; (2)由(1)知 a2n2n+2,故a2n是首项为 4、公差为 2 的等差数列, 所以 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查等比数列的中项性质, 考查方程思想和运算能力,属于基础题 22 (10 分)某单位计划建一长方体状的仓库,底面如图,高度为定值仓库的后墙和底部 不花钱,正面的造价为 40 元/m,两侧的造价为 45 元/m,顶部的造价为 20 元/m2设仓 库正面的长为 x(m) ,两侧的长各为 y(m) (1)用 x,y 表示这个仓库的总造价 t(元) ; (2)若仓库底面面积 S100m2时,仓库的总造价 t 最少是多少

22、元,此时正面的长应设 计为多少 m? 【分析】 (1)仓库的总造价 t正面造价+两侧造价+顶部造价,代入即可; (2) 把仓库底面面积 Sxy100m2 代入函数 t, 利用基本不等式求其最小值以及 x 的值 即可 【解答】解: (1)如图所示, 由题意,仓库的总造价为:t40x+452y+20xy(元) ; ( 2 ) 仓 库 底 面 面 积 S xy 100m2 时 , t 40x+45 2y+20xy 40x+90y+2000 1200+20003200,当且仅当 40x90y 时,等号成立, 又xy100,x15(m) 所以,当仓库底面面积 S100m2 时,仓库的总造价最少是 3200 元,此时正面的长应设 计为 15m 【点评】 本题考查了利用基本不等式 a+b2(其中 a0, b0) 求函数最值的问题, 第 14 页(共 14 页) 属于基础题目

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