1、2020 年高考（文科）数学一模试卷年高考（文科）数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1已知集合 M1，0，1，2，NxZ|（x+2）（x1）0，则 MN（ ） A1，0，1 B0，1，2 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2 2已知 x，yR，若 x+yi 与互为共轭复数，则 x+y（ ） A0 B3 C1 D4 3记 Sn为等差数列an的前 n 项和、若 a25，S416，则 a6（ ） A5 B3 C12 D13 4已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1）在角 的终边上，则 sin（2）（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，若
2、输入 m2020，n520，则输出的 i（ ） A4 B5 C6 D7 6已知椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线 2x+y 40 与 y 轴交于点 A，线段 AF2与 E 交于点 B若|AB|BF1|，则 E 的方程为（ ） A+ 1 B+ 1 C+ 1 D+y2 1 7已知函数 f（x），af（20.3），bf（0.20.3），cf（log0.32），则 a，b，c 的 大小关系为（ ） Abac Bcba Cbca Dcab 8ABC 中，BC2，D 为 BC 的中点，BAD，AD1，则 AC（ ） A2 B2 C6 D2 9若 x0，1时，ex|2xa
3、|0，则 a 的取值范围为（ ） A2ln22，1 B2e，e2 C2e，1 D1，1 10若双曲线 E：1（mn0）绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则 E 的离心率等于（ ） A B C2 或 D2 或 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分， 只选出部分正确选项得3 分， 选出全部正确选项得 5 分. 11PM2.5 是衡量空气质量的重要指标如图是某地 9 月 1 日到 10 日的 PM2.5 日均值（单 位：g/m3）的折线图，则下列说法正确的是（ ） A这 10 天中 PM
4、2.5 日均值的众数为 33 B这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 32 C这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数大于平均数 D这 10 天中 PM2.5 日均值前 4 天的方差大于后 4 天的方差 12 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， E是DD1的中点， 则下列选项中正确的是 （ ） AACB1E BB1C平面 A1BD C三棱锥 C1B1CE 的体积为 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分、将答案填在答题卡的相应位置、 13已知向量 （1，1）， （1，k）， ，则| + | 14 若函数 f
5、（x） ， 则使得不等式 f （f （a） ） 0 成立的 a 的取值范围为 15 函数 f （x） |3sinxcosx|2 （x0， 2） 的最大值为 ， 所有零点之和为 16正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AA12，若 M 是侧面 BCC1B1内的动点， 且 AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正切值的最大值为 四、 解答题： 共 70 分、 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤、 第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答、（一）必考题：共 60 分. 17记 Sn为数列an的前 n 项和已知 Snn
6、2，等比数列bn满足 b1a1，b3a5， （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 Tn 18唐诗是中国文学的瑰宝为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究 人员将唐诗分成 7 大类别，并从全唐诗48900 多篇唐诗中随机抽取了 500 篇，统计了 每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到如表： 爱情婚 姻 咏史怀 古 边塞战 争 山水田 园 交游送 别 羁旅思 乡 其他 总计 篇数 100 64 55 99 91 73 18 500 含“山”字的篇数 51 48 21 69 48 30 4 271 含“帘”字的篇数 21 2 0 0 7 3 5 38
7、 含“花”字的篇数 60 6 14 17 32 28 3 160 （1）根据上表判断，若从全唐诗含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个 类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的 概率； （2）已知检索关键字的选取规则为： 若有超过 95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的 关键字； 若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的 K2的观测值越大，排 名就越靠前； 设“山” “帘” “花”和“爱情婚姻”对应的 K2观测值分别为 k1，k2，k3已知 k10.516， k231.962，请完成下面列联表，并从上述三个
8、字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排 名 属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 总计 含“花”字的篇数 不含“花”字的篇数 总计 附：K2 ，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.05 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 19如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，E 为 CD 的中点，以 BE 为 折痕将BCE 折起到PBE 的位置，使得平面 PBE平面 ABCD，如图 2 （1）证明：平面 PAB平面 PBE； （2）求点 D 到平面 PAB 的距离 20已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点， 点 A 在 C 上，A 到
9、 y 轴的距离比|AF|小 1 （1）求 C 的方程； （2） 设直线 AF 与 C 交于另一点 B， M 为 AB 的中点， 点 D 在 x 轴上， |DA|DB|， 若|DM| ，求直线 AF 的斜率 21已知函数 f（x）ex+sinxax22x （1）当 a0 时，判断 f（x）在0，+）上的单调性并加以证明； （2）若 x0，f（x）1，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选 的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t
10、为参数），圆 C 的 方程为 x2+（y1）21以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 l 和 C 的极坐标方程； （2）过 O 且倾斜角为 的直线与 l 交于点 A，与 C 交于另一点 B若， 求的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23记函数 f（x）|x+|+|2x1|的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 abcm，证明：ab+bc+ca 参考答案 一、选择题：共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的、 1已知集合 M1，0，1，2，NxZ|（x+2）（x1）0，则 MN（
11、 ） A1，0，1 B0，1，2 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2 【分析】可以求出集合 N，然后进行交集的运算即可 解：M1，0，1，2，NxZ|2x12，1，0，1， MN1，0，1 故选：A 2已知 x，yR，若 x+yi 与互为共轭复数，则 x+y（ ） A0 B3 C1 D4 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：1+2i， x+yi 与互为共轭复数， x1，y2 则 x+y1 故选：C 3记 Sn为等差数列an的前 n 项和、若 a25，S416，则 a6（ ） A5 B3 C12 D13 【分析】直接由题意列式，求得首项和公差，再根据等差数列通项公式求得
12、a6 解：等差数列an中，设首项为 a1，公差为 d， 则，解得 a6a1+5d3 故选：B 4已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1）在角 的终边上，则 sin（2）（ ） A B C D 【分析】由已知利用三角函数定义可得 cos 的值，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函 数公式即可求解 解：由已知利用三角函数定义可得 cos， 故 sin（2）cos22cos21 故选：D 5执行如图所示的程序框图，若输入 m2020，n520，则输出的 i（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据框图一步一步进行运算，直到跳出循环 解：m2020，n520； r4
13、60，i2，m520，n460； r60，i3，m460，n60； r40，i4，m60，n40； r20，i5，m40，n20； r0，i6，m20，n0； 故选：C 6已知椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线 2x+y 40 与 y 轴交于点 A，线段 AF2与 E 交于点 B若|AB|BF1|，则 E 的方程为（ ） A+ 1 B+ 1 C+ 1 D+y2 1 【分析】根据直线方程可得 F2的坐标，即得 c2，结合条件可得|AF1|+|AF2|AF2|，即 可得 a，进而可得椭圆方程 解：根据直线 2x+y40 可得 F2的坐标为（2，0），A（0，4）
14、，即有 c2， 因为 2a|AF1|+|AF2|AB|+|AF2|AF2|2 ，即有 a， 故 b2541， 所以椭圆方程为， 故选：D 7已知函数 f（x），af（20.3），bf（0.20.3），cf（log0.32），则 a，b，c 的 大小关系为（ ） Abac Bcba Cbca Dcab 【分析】判断函数 f（x）是定义域 R 上的单调增函数，再判断 20.3、0.20.3和 log0.32 的大 小，即可得出 a、b、c 的大小 解：函数 f（x）1， 所以 f（x）是定义域 R 上的单调增函数， 又 20.310.20.30log0.32， 所以 f（20.3）f（0.20.3
15、）f（log0.32）， 所以 abc，即 cba 故选：B 8ABC 中，BC2，D 为 BC 的中点，BAD，AD1，则 AC（ ） A2 B2 C6 D2 【分析】ABD 中，由余弦定理可求 AB，然后结合正弦定理可求 sinABD，进而可求 cosABD，然后在ABC 中，由余弦定理即可求解 AC 解：ABD 中，由余弦定理可得，BD2AB2+AD22AB ADcosBAD， 即 5， 解可得，AB2， 由正弦定理可得， 所以 sinABD，cos， ABC 中，由余弦定理可得，AC2AB2+BC22AB BC cosABC， ， 解可得，AC2 故选：D 9若 x0，1时，ex|2x
16、a|0，则 a 的取值范围为（ ） A2ln22，1 B2e，e2 C2e，1 D1，1 【分析】由题意可得（2xex）maxa（2x+ex）min，0x1，分别考虑由导数求得函 数 y2xex，y2x+ex的单调性，求得最值，即可得到所求范围 解：ex|2xa|0，即为|2xa|ex， 等价为ex2xaex，即 2xexa2x+ex， 可得（2xex）maxa（2x+ex）min，0x1， 由 y2xex，可得 y2ex，当 ln2x1 时，y0，0xln2 时，y0， 可得 y2xex，在0，ln2）递增，（ln2，1递减，则 xln2 处取得最大值 2ln22， 又 y2x+ex的导数为
17、 y2+ex，可得函数 y 在0，1递增，可得 x0 处取得最小值 1， 则 2ln22a1， 故选：A 10若双曲线 E：1（mn0）绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则 E 的离心率等于（ ） A B C2 或 D2 或 【分析】分双曲线的焦点在 x 轴与 y 轴的不同，求得双曲线的渐近线方程，由双曲线 E 绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，说明旋转后 x 轴为双曲线的一条渐近线， 从而可得原来双曲线的渐近线方程，结合隐含关系即可求出双曲线的离心率 解：若 m，n 均大于 0，设双曲线 E 的方程为（a0，b0）， 则其一条渐近线方程为 y， 由题意可得直线 y的倾斜角等于，即，
18、ba，即 b23a2c2a2，得 e； 若 m，n 均小于 0，设双曲线方程为（a0，b0）， 其一条渐近线方程为 y， 由题意可得直线 y的倾斜角等于，即， a，即 a23b23（c2a2），得 e E 的离心率等于 2 或 故选：C 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分， 只选出部分正确选项得3 分， 选出全部正确选项得 5 分. 11PM2.5 是衡量空气质量的重要指标如图是某地 9 月 1 日到 10 日的 PM2.5 日均值（单 位：g/m3）的折线图，则下列说法正确的是（
19、） A这 10 天中 PM2.5 日均值的众数为 33 B这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 32 C这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数大于平均数 D这 10 天中 PM2.5 日均值前 4 天的方差大于后 4 天的方差 【分析】根据题意，结合图中数据，对选项中的命题进行分析、判断正误即可 解：由图可知，众数为 33，中位数为 32，故 AB 正确， 因为受极端值 128 的影响，平均数应大于中位数，故 C 错误， 前四天图象比后四天图象波动大，故 D 正确； 故选：ABD 12 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， E是DD1的中点， 则下列选项中正确的是 （ ）
20、 AACB1E BB1C平面 A1BD C三棱锥 C1B1CE 的体积为 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 【分析】由题意画出图形，利用线面垂直的判定和性质判断 A；证明线面平行判定 B；利 用等积法求出体积判定 C；求出两异面直线所成角判断 D 解：如图， ACBD，ACBB1，AC平面 BB1D1D， 又 B1E平面 BB1D1D，ACB1E，故 A 正确； B1CA1D，A1D平面 A1BD，B1C平面 A1BD，B 1C平面 A1BD，故 B 正确； 三棱锥 C1B1CE 的体积为 ，故 C 错误； BDB1D1，CB1D1是异面直线 B1C 与 BD 所成的角，又CB1
21、D1是等边三角形， 异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 60，故 D 错误 故选：AB 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分、将答案填在答题卡的相应位置、 13已知向量 （1，1）， （1，k）， ，则| + | 2 【分析】由 得 0，求出 k 的值，再计算 + 与它的模长 解：向量 （1，1）， （1，k）， 由 ，得 1+k0，k1， 所以 + （0，2）， 所以| + |2 故答案为：2 14若函数 f（x），则使得不等式 f（f（a） ）0 成立的 a 的取值范围为 0， +） 【分析】由 f（f（a）0，可得 f（a）0，结合已知函数即可求解 解：因为 f（f
22、（a）0， 所以 f（a）0， 所以 a0， 故答案为0，+） 15函数 f（x）|3sinxcosx|2（x0，2）的最大值为 ，所有零点之和 为 【分析】（1）将三角函数化简成形如 y|Asin（x+）|+k 的形式，最值易求； （2）由|3sinxcosx|20，化简得，然后做出 与 y的图象，利用零点关于图象对称轴对称可求它们的和 解：， 当 x， 即时， f（x）取最大值 令 f（x）0 得，做出与 y的图象如图： 令，可得函数 f（x）在0，2内的对称轴为 所以结合图象可知 所以所有零点之和为 故答案为： 16正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AA12，若 M 是侧面
23、BCC1B1内的动点， 且 AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正切值的最大值为 2 【分析】首先根据题意确定点 M 的轨迹，再根据线面角定义可知 A1M 与平面 BCC1B1所 成角为A1MB1，由图形可得当点 M 位于 B1O 与圆弧的交点时，正切值取最大值，由此 得解 解：AMMC，且点 M 在侧面 BCC1B1内， 点 M 在侧面 BCC1B1内的轨迹为以 BC 中点 O 为圆心， 2 为半径的圆弧 （不包括 B， C） ， 如图所示， 又四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，易知 A1M 与平面 BCC1B1所成角为A1MB1，则 tanA1MB1， 显然当 M
24、位于点 C 时，B1M 最大，tanA1MB1最小， 当 M 位于 B1O 与圆弧的交点时，B1M 最小，tanA1MB1最大，且 B1M 22，此时 tanA1MB12， 则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正切值的最大值为 2 故答案为：2 四、 解答题： 共 70 分、 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤、 第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答、（一）必考题：共 60 分. 17记 Sn为数列an的前 n 项和已知 Snn2，等比数列bn满足 b1a1，b3a5， （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和
25、Tn 【分析】本题第（1）题根据公式 an即可计算出数列an的通项公 式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 b1，b3的值，然后设等比数列bn的公比 为 q，可计算出公比 q 的值，再根据等比数列的求和公式可计算出数列bn的前 n 项和 Tn 解：（1）由题意，当 n1 时，a1S1121， 当 n2 时，anSnSn1n2（n1）22n1， 当 n1 时，a11 也满足上式， an2n1，nN* （2）由（1）知，b1a11，b3a52519， 设等比数列bn的公比为 q，则 q29，解得 q3， 当 q3 时，Tn； 当 q3 时，Tn 18唐诗是中国文学的瑰宝为了研究计算机上唐诗分
26、类工作中检索关键字的选取，某研究 人员将唐诗分成 7 大类别，并从全唐诗48900 多篇唐诗中随机抽取了 500 篇，统计了 每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到如表： 爱情婚 姻 咏史怀 古 边塞战 争 山水田 园 交游送 别 羁旅思 乡 其他 总计 篇数 100 64 55 99 91 73 18 500 含“山”字的篇数 51 48 21 69 48 30 4 271 含“帘”字的篇数 21 2 0 0 7 3 5 38 含“花”字的篇数 60 6 14 17 32 28 3 160 （1）根据上表判断，若从全唐诗含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个 类别的可
27、能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的 概率； （2）已知检索关键字的选取规则为： 若有超过 95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的 关键字； 若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的 K2的观测值越大，排 名就越靠前； 设“山” “帘” “花”和“爱情婚姻”对应的 K2观测值分别为 k1，k2，k3已知 k10.516， k231.962，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排 名 属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 总计 含“花”字的篇数 不含“花”字的篇数 总计 附：K2 ，其中
28、 na+b+c+d P（K2k） 0.05 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 【分析】（1）根据题中数据判断可能性，判断概率， （2）根据数据代入公式，比较值，判断 解：（1）由表知唐诗属于山水田园类别的可能性最大，属于其他类可能性最小， 属于山水田园类别的概率为，属于其他类概率约为， （2） 属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 总计 含“花”字的篇数 60 100 160 不含“花”字的篇数 40 300 340 总计 100 400 500 45.037， 因为 k2，k33.841，k33.841， 有超过 95%的把握判断“花”与“帘”均和“爱情婚姻
29、”有关， 故“花”“帘”为“爱情婚姻”的关键字，“山”不是， 又因为 k2k3，故选择“花”“帘”为“爱情婚姻”的关键字，排序为“花”，“帘” 19如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，E 为 CD 的中点，以 BE 为 折痕将BCE 折起到PBE 的位置，使得平面 PBE平面 ABCD，如图 2 （1）证明：平面 PAB平面 PBE； （2）求点 D 到平面 PAB 的距离 【分析】 （1）推导出 PEBE，从而 PE平面 ABCD，进而 PEAB，推导出 BECD， 由 ABCD，得 ABBE，从而 AB平面 PBE，由此能证明平面 PAB平面 PBE （2）由 S
30、ABD，推导出三棱锥 PABD 的体积 V ，设点 D 到 平面 PAB 的距离为 d， 由三棱锥 EPAB 的体积为， 能求出点 D 到平 面 PAB 的距离 解：（1）证明：CEBE，依题意 PEBE， 平面 PBE平面 ABCD，平面 PBE平面 ABCDBE，PE平面 PBE， PE平面 ABCD， AB平面 ABCD，PEAB， 由已知，BCD 是等边三角形，且 E 为 CD 的中点，BECD， ABCD，ABBE， PEBEE，AB平面 PBE， AB平面 PAB，平面 PAB平面 PBE （2）解：在ABD 中，ABAD2，BAD60，SABD， 由（1）知，PE平面 ABD，且
31、 PE1， 三棱锥 PABD 的体积 V， 在 RtPBE 中，PE1，BE，解得 PB2， 由（1）知，AB平面 PBE，ABPB， SPAB 2， 设点 D 到平面 PAB 的距离为 d， 由三棱锥 EPAB 的体积为， 解得点 D 到平面 PAB 的距离 d 20已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点， 点 A 在 C 上，A 到 y 轴的距离比|AF|小 1 （1）求 C 的方程； （2） 设直线 AF 与 C 交于另一点 B， M 为 AB 的中点， 点 D 在 x 轴上， |DA|DB|， 若|DM| ，求直线 AF 的斜率 【分析】（1）设抛物线的准线方程为 l，因为
32、A 到 y 轴的距离比|AF|小 1由抛物线的定 义可得1，解得 p 的值，进而求出抛物线的方程； （2） 设直线 AF 的方程与抛物线联立求出两根之和， 进而求出中点 M 的坐标， |DA|DB| 可得 MDAB，设 DM 的方程，令 y0 可得 D 的横坐标，求出|MD|的值，由题意可得直 线 AF 的斜率 解：（1）设抛物线的准线方程为 l，过 A 做准线的垂线交于 H，由抛物线的定义可得|AF| |AH|， 因为 A 到 y 轴的距离比|AF|小 1所以1，解得 p2， 所以抛物线的方程为：y24x； （2）由题意设直线 AF 的方程为 yk（x1），设 A（x1，y1），B（x2，y
33、2）， 联立直线与抛物线的方程：， 整理可得 k2x2 （2k2+4） x+k20， x1+x2， 所以 y1+y2k（x1+x2）2k ， 又因为 M 为 AB 的中点，所以 M（，）， 所以直线 DM 的方程为 y（x），令 y0 可得 x3+，所以 D（3+ ，0）， 所以|DM|，解得 k22， 所以直线 AF 的斜率为： 21已知函数 f（x）ex+sinxax22x （1）当 a0 时，判断 f（x）在0，+）上的单调性并加以证明； （2）若 x0，f（x）1，求 a 的取值范围 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）先对函数求导，先对 a 进行讨
34、论，结合导数的符号确定函数的单调性，然后结合函 数的性质可求 【解答】证：（1）当 a0 时，f（x）在在0，+）上的单调增，证明如下： f（x）ex+cosx2， 设 g（x）f（x）ex+cosx2，则 g（x）exsinx， 当 x0 时，ex1，1sinx1， g（x）exsinx0， 故 g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）0， 即 f（x）0，所以 f（x）在0，+）上单调递增； （2）由题意得 f（x）ex+cosx2ax2， 令 g（x）f（x），则 g（x）exsinx2a， 令 h（x）g（x），则 h（x）excosx， 当 x0 时，h（x）excosx0，故
35、 h（x）在0，+）上单调递增， 所以 g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）12a， 当 12a0 即 a时，g（x）0 恒成立，g（x）单调递增，即 f（x）单调递 增，且 f（0）0 所以 f（x）0，f（x）在0，+）上单调递增， 当 a时，g（0）12a0，令 u（x）exx1，x0， 则 u（x）ex10 恒成立， 所以 u（x）在（0，+）上单调递增，u（x）u（0）0 即 exx+1， g（2a）e2asin2a2a2a+1sin2a2a1sin2a0， 又 g（x）在（0，+）上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数 m（0， +），使得 g（m）0， 当 x
36、（0，m），g（ x）0，g（x）单调递减即 f（x）单调递减，f（x）f（0）0， 此时 f（x）在（0，m）上递减，f（x）f（0）0，不合题意，舍去 综上，a 的范围（ （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选 的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），圆 C 的 方程为 x2+（y1）21以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 l 和 C 的极坐标方程； （2）过 O 且倾斜角为 的直线与 l 交于点 A，
37、与 C 交于另一点 B若， 求的取值范围 【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之 间的进行转换 （2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1） 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为， 转换为极坐标方程为 整理得： 圆 C 的方程为 x2+（y1）21，整理得 x2+y22y，转换为极坐标方程为 2sin （2）过 O 且倾斜角为 的直线为 ， 由于该直线与 l 交于点 A，所以，所以， 与 C 交于另一点 B所以，整理得 B2sin， 所以， 由于， 所以， 所以， 所以 故求的取值范围 选修
38、4-5：不等式选讲 23记函数 f（x）|x+|+|2x1|的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 abcm，证明：ab+bc+ca 【分析】（1）将函数 f（x）化为分段函数的形式，作出函数图象，由图象观察可知，当 时，函数 f（x）取得最小值，由此求得实数 m 的值； （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 abc 1 ， 注 意 到， 故 原 不 等 式 即 证 ，而这利用柯西不等式很容易得证 解：（1）， 作出函数 f（x）的图象如下图所示， 由图可知，当时，函数 f（x）取得最小值，即实数 m 的值为 1； （2）证明：由（1）知，abc1，且 a0，b0，c0， 由柯西不等式有， ， ，当且仅当“a2b2c2”时取等号 原不等式成立
