1、2020 年安徽省高考冲刺数学模拟试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 Ax|x22x3，Bx|0x4，则 AB（ ） A（1，4） B（0，3 C3，4） D（3，4） 2 已知复数 zm1+ （m3） i （mZ） 在复平面内对应的点在第四象限， 则 （ ） A B C1 D 3“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率 是（ ） A B C D 4设 a， ，则（ ） Aabc Bcba Ccab
2、 Dbac 5已知向量 、 ，若4，且，则 与 的夹角是（ ） A B C D 6函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 7已知 则下列结论不正确的是（ ） A B C D 8已知函数，则下列说法正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 Cf（x）在上单调递增 Df（x）的图象关于直线 x对称 9运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 111，则判断框中可以填（ ） Ai221？ Bi222？ Ci223 Di224？ 10已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D2 11在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
3、为 a，b，c已知bsinAacosB2bc， 则 A（ ） A B C D 12已知椭圆 C：x2+1，直线 l：yx+m，若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对称，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题） 13函在 x0 处的切线方程为 14若实数 x、y 满足，则 z3x+2y 的最大值为 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n1ann，则 S4 16已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积 是 三、解答题（共 70 分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考
4、题， 每个试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题.考生根据要求作答） （一） 必考题： 共 60 分 17已知an是公差不为零的等差数列，a426，且 a1，a2，a7成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 T511 18如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心PO底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点，连接 BE，DE （1）证明：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE； （2）若COE60，求四棱锥 PABCD 的体积 19为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”
5、网络知识竞赛活动现 从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分 为 6 组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为 “比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计
6、100 参考公式及数据： P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20已知函数 （1）若 a1，求 f（x）的单调区间； （2）若 x1 是 f（x）的唯一极值点，求 a 的取值范围 21已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（2，m）在抛物线上， 且|MF|，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 （）求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标 （二）选考题：共 10 分请考生
7、在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分选修 4 一 4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极 坐标系， 直线 l 的极坐标方程为， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足
8、ma+nb6，求的 取值范围 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求） 1已知集合 Ax|x22x3，Bx|0x4，则 AB（ ） A（1，4） B（0，3 C3，4） D（3，4） 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x22x3x|x1 或 x3， Bx|0x4， ABx|3x43，4） 故选：C 2 已知复数 zm1+ （m3） i （mZ） 在复平面内对应的点在第四象限， 则 （ ） A B C1 D 【分析】由已知列式求得 m，再由商的模等于模的商求解 解：由题意可得，解得 1m3
9、又mZ，m2， 则 z1i， 故选：A 3“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率 是（ ） A B C D 【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出 解：不妨设 OA1，扇形中心角为 此点取自扇面（扇环）部分的概率 故选：C 4设 a， ，则（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与 0，1 比较可得答案 【 解 答 】 解 析 ： 由 指 数 、 对
10、数 函 数 的 性 质 可 知 ：， ， 有 abc 故选：A 5已知向量 、 ，若4，且，则 与 的夹角是（ ） A B C D 【分析】设向量 、 的夹角为 ，由平面向量的数量积运算求出 cos 与 的值 解：设向量 、 的夹角为 ，由4，且， 得（ + ） （ 2 ）21644cos2160， 解得 cos1， 又 0， 所以 与 的夹角是 故选：C 6函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 解：， 函数 f（x）为奇函数， 又， 选项 D 符合题意 故选：D 7已知 则下列结论不正确的是（ ） A B C D 【分析】由题
11、意利用同角三角函数的基本关系求得 cos、tan 的值，再利用两角差的余 弦公式求得 cos（+）、cos（）的值，可得结论 解：已知，cos，故 A 正 确； tan，故 B 正确； cos（+）coscossinsin，故 C 正确； cos（）coscos +sinsin+，故 D 不正确， 故选：D 8已知函数，则下列说法正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 Cf（x）在上单调递增 Df（x）的图象关于直线 x对称 【分析】利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结 论 解：函数+sin2xsin（2x）+， 故 f（x）的最小正
12、周期为，故排除 A 故 f（x）的最大值为 1+，故 B 正确 在上，2x（，），函数 f（x）单调递减，故排除 C 当 x时，f（x）不是最值，故 f（x）的图象关不于直线 x对称，故排 除 D， 故选：B 9运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 111，则判断框中可以填（ ） Ai221？ Bi222？ Ci223 Di224？ 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：程序的功能是计算 S1sin+3sin+5sin+7sin+13+57+， 而由题意可知：1111+552
13、13+57+9+219+221，i221+2223， 故条件为”i222？“， 故选：B 10已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出 a、c 的值，再计算双曲线 的离心率 解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 则 tan， 所以该条渐近线方程为 yx； 所以， 解得 a； 所以 c2， 所以双曲线的离心率为 e 故选：A 11在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinAacosB2bc， 则 A（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求
14、出结果 解：在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinAacosB2b c， 利 用 正 弦 定 理 得 ：， 整 理 得 ， 由于 sinB0，所以，即， 所以 sin（A+）1， 由于 0A，解得， 故选：C 12已知椭圆 C：x2+1，直线 l：yx+m，若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对称，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】利用对称关系，求得对称点 M，N 的方程，代入椭圆方程，利用0，求得 n 的取值范围，并且线段 MN 的中点在直线 l 上，求得 m 和 n 的关系，即可求得 m 的取值 范围 解：设椭圆上存在关于直线 yx+m 对
15、称的两点为 M（x1，y1）、N（x2，y2）， 根据对称性可知线段 MN 被直线 yx+m 垂直平分，且 MN 的中点 T（x0，y0）在直线 y x+m 上，且 kMN1， 故可设直线 MN 的方程为 yx+n， 联立，整理可得：3x22nx+n220， 所以 x1+x2，y1+y22n（x1+x2）2n ， 由4n212（n21）0，可得 n， 所以 x0 ，y0 ， 因为 MN 的中点 T（x0，y0）在直线 yx+m 上， 所以+m，m， m， 故选：C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13函在 x0 处的切线方程为 y2x 【分析】求出原函数的导函数，得到
16、函数在 x0 处的导数，再求出 f（0），利用直线方 程的点斜式得答案 解：，f（x）， 则 f（0），即 k2 当 x0 时，f（0），即切点坐标为（0，0）， 切线方程为 y2x 故答案为：y2x 14若实数 x、y 满足，则 z3x+2y 的最大值为 10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 解：由实数 x、y 满足，作出可行域如图， 联立，解得 A（4，1）， 化目标函数 z3x+2y 为 yx+， 由图可知，当直线 yx+过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 z3 4211
17、0 故答案为：10 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+3n1ann，则 S4 【分析】利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求 解数列的和 解：，可得 n1 时，a11， n2 时， ，又， 两式相减可得 3n1an1，即，上式对 n1 也成立， 可得数列an是首项为 1，公比为 的等比数列， 可得 故答案为： 16已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积 是 64 【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由
18、球的表面积公式求出 表面积 解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，外接 圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O， 连接 OA 得：r， 所以 r2，即 OA2 ， 所以三棱锥的高 h6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故答案为：64 三、解答题（共 70 分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题.考生根据要求作答） （一） 必考题： 共 60 分 17已知an是公差不为零的等
19、差数列，a426，且 a1，a2，a7成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 T511 【分析】（1）设an的公差为 d，d0，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式 可求； （2）bn（1）n+1an（1）n+1 （8n6），再由数列的分组求和得答案 解：（1）设an的公差为 d，d0 因为 a1，a2，a7 成等比数列， 所以 a22a1a7， 即（a1+d）2a1（a1+6d），整理得 d24da10 又 d0，所以 d4a1， 又 a4a1+3d26， 联立，得，解得 所以 an2+8（n1）8n6 （2）因为 bn（1）n+1an（1
20、）n+1 （8n6）， T511b1+b2+b511 210+1826+40664074+4082 （210）+（1826）+（40664074）+4082 （8）255+4082 2042 18如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心PO底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点，连接 BE，DE （1）证明：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE； （2）若COE60，求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】（1）连结 OE，推导出 OEPA，从而 PA平面 BDE，推导出 POBD，BD AC，从而 BD平面 PAC，由此能证明平面 PAC
21、平面 BDE （2）由 PO平面 ABCD，得 POAC，推导出 EFPO，从而 EFAC，由此能求出四 棱锥 PABCD 的体积 解：（1）证明：连结 OE，O，E 分别为 AC，PC 的中点，OEPA， OE平面 BDE，PA平面 BDE，PA平面 BDE， PO平面 ABCD，POBD， 在正方形 ABCD 中，BDAC， 又POACO，PO平面 PAC，AC平面 PAC， BD平面 PAC， BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE （2）解：取 OC 的中点 F，连结 EF，由题意得 OF， PO平面 ABCD，POAC， E，F 分别是 PC，OC 的中点，EFPO，EFAC，O
22、FE90， 在 RtOFE 中，COE60，EFOF tan60， PO2EFa， 四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD 19为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动现 从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分 为 6 组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”
23、，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为 “比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1） 利用频率和为 1 求解 a 值， 再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这 100 名学生的平均成绩； （2）由频率分布直方图填写 22 列联表，求出 K2的观测值，结合临界值表得结论 解：（1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a
24、+0.010）101， 解得 a0.025 450.05+550.1+650.2+750.3+850.25+950.174， 估计这 100 名学生的平均成绩为 74； （2）由（1）知，在抽取的 100 名学生中，比赛成绩优秀的有 100（0.25+0.1）100 0.3535 人， 由此可得完整的 22 列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 K2的观测值 ， 有 99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 20已知函数 （1）若 a1，求 f（x）的单调区间； （2）若 x1 是 f（x）的唯一极值点，求 a 的取值范围
25、 【分析】（1）把 a1 代入后求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）先对函数求导，由题意可得 f（x）0 有唯一的变号零点 1，问题可转化为不等 式的恒成立问题，可求 解： （1）a1 时，函数定义域（0，+），（1x） （+）， 当 x（0，1）时，f（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，f（x）0，函 数单调递减， （2）f（x）（1x）（）， 由 x1 是 f（x）的唯一极值点可知，f（x）（1x）（）0 有唯一的变号 零点 1， x0，则0 或0 在 x0 时恒成立， 即 a或 a在 x0 时恒成立， 令 g（x），x0，则， 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调
26、递减，当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调 递增， 故当 x1 时，g（x）取得最大值 g（1）e，a不恒成立， 所以 ae 故 a 的范围e，+） 21已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（2，m）在抛物线上， 且|MF|，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 （）求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标 【分析】（）利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出 p，即可求抛物线的方程； （）当 k1+k22 时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达
27、定理转化求解直线 l 恒 过定点并求出该定点的坐标 解：（）由抛物线的定义可以， p1 抛物线的方程为 y22x； （）证明：由（1）可知，点 M 的坐标为（2，2） 当直线 l 斜率不存在时，此时 A，B 重合，舍去 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+b 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线 l 与抛物线联立得：k2x2+ （2kb+2） x+b20， 又， 即（kx1+b2）（x2+2）+（kx2+b2）（x1+2）2（x1+2）（x2+2）2kx1x2+2k（x1+x2） +b（x1+x2）2（x1+x2）+4b82x1x24（x1+x2）8 将带入得，b
28、2b22k（b+1）0 即（b+1）（b22k）0 得 b1 或 b2+2k 当 b1 时，直线 l 为 ykx1，此时直线恒过（0，1） 当 b22k 时，直线 l 为 ykx+2k+2k（x+2）+2，此时直线恒过（2，2） （舍去） 所以直线 l 恒过定点（0，1） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分选修 4 一 4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极 坐标系， 直线 l 的极坐标方程为， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）求直线 l 的直角
29、坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最小值 【分析】（1）由 sin（+）2，得sin+cos2，将 siny，cosx 代入上式， 得直线l的直角坐标方程为x+40 由曲线C的参数方程 （ 为参数），得曲线 C 的普通方程为+1 （2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得 解：（1）由 sin（+）2，得sin+cos2， 将 siny，cosx 代入上式，得直线 l 的直角坐标方程为 x+40 由曲线 C 的参数方程（ 为参数），得曲线 C 的普通方程为+1 （2）设点 M 的坐标为（2cos，sin），
30、则 点 M 到 直 线 l ： x+ 4 0 的 距 离 为 d ，其中 tan 当 dr 时，圆 M 与直线 l 相切， 故当 sin（+）1 时，取最小值，且 r 的最小值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若函数 yf（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb6，求的 取值范围 【分析】 （1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）5 分别解不等式即可； （2）先求出 f（x）的最小值，然后根据 f（x）图象的最低点为（m，n），求出 m 和 n 的值，再利用基本不等式求出的取值范围 解：（1）f（x）|x+1|+|2x4|， f（x）5，或或， 或 x0.2）或 x， 不等式的解集为 （2），当 x2 时，f（x）取得最小值 3 函数 yf（x）的图象的最低点为（2，3），即 m2，n3 ma+nb6，2a+3b6， ， 当且仅当，即 a1，时取等号，
