1、（新高考）2021届高考考前冲刺数学试卷（四）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设，若，则（ ）ABC2D02“方程表示双曲线”
2、的一个必要不充分条件为（ ）ABCD3已知复数（为虚数单位），若，则（ ）ABCD4在中，已知，的面积为2，则边的长有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值25若函数，满足，则的值等于（ ）A2B0CD6若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）AB5CD107函数的部分图象大致为（ ）ABCD8已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9高中数学课程标准（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的
3、数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）A甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高10函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）AB函数的最小正周期为C函数在区间上单调递增D函数关于点中心对称11在数列中，若，则称为“和等比数列”设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（ ）ABCD12已知函数对于任意，
4、均满足当时，若函数，下列结论正确的为（ ）A若，则恰有两个零点B若，则有三个零点C若，则恰有四个零点D不存在使得恰有四个零点第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是_14某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有_种15已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_16过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_，离心率为_四、解答题：本大题
5、共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）若函数，的角，的对边分别为，且（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长18（12分）设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和19（12分）如图，在四棱锥中，且（1）证明：；（2）已知，在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包某高校一个社
6、团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否集齐五福性别是否合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差参考公式：附表：21（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，实轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，
7、两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数（）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，（），求实数的取值范围（新高考）2021届高考考前冲刺数学试卷（四）答 案注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上
8、的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】D【解析】由，知，即，得，故选D2【答案】A【解析】由方程表示双曲线，知，故它的一个必要不充分条件为，故选A3【答案】C【解析】由，则，则，故选C4【答案】D【解析】设，因为，所以，因为的面积为2，所以，即，所以，得，且，因为，解得，所以，所以由余弦定理得，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选D5【答案】A【解析】由题意易知，分别在，上单调，若，则不
9、在同一单调区间，又，一定有，即，故选A6【答案】B【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，由圆的方程可得圆的圆心坐标，代入直线的方程可得，又由表示点到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得，所以的最小值为，故选B7【答案】A【解析】由题意，函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，又由，所以函数为偶函数，排除B、D项；当时，可得，排除C项，所以只有A选项适合，故选A8【答案】D【解析】因为平面，所以，所以，在中，所以，如图所示：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，故选D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有
10、多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9【答案】AC【解析】对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A正确；对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，故选AC10【答案】BC【解析】由图可知，所以，所以，又因为，所以或，又因为，所以，又因为，所以，所以，当时，解得，这与矛盾，不符合；当时，
11、解得，满足条件，所以，所以，A由上可知A错误；B因为，所以的最小正周期为，故B正确；C令，所以，令，此时单调递增区间为，且，故C正确；D因为，所以不是对称中心，故D错误，故选BC11【答案】AC【解析】因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误，故选AC12【答案】ABC【解析】由可知函数的图象关于直线对称令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函数的图象过点时，有，解得过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，所以，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，所以，解得，
12、则切线斜率为，即当时，函数的图象与函数的图象相切若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误，故选ABC第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】1215【解析】二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，令，得，的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为，故答案为121514【答案】【解析】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种，综上所述：满足题意的选取方法共有种，故答案为15【答案】【解析】先
13、画出x，y满足的可行域如图所示，由，得；由，得，平移直线，当直线过点时，目标函数有最小值，且；当直线过点时，目标函数有最大值，且，依题意，得，则，得，所以可行域的面积为，故答案为16【答案】，【解析】过点的直线与直线垂直，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，将两个方程联立，可得，的中点坐标为，点满足，点在线段的中垂线上，即，则，渐近线方程为，离心率为故答案为，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）是等边三角形；（2）【解析】因为，所以由，得，因为，所以，所以，（1），因为，所以，所以当时，取最大值，此时，所以，所以是等边三角形（2）
14、解：取边的中点，连接，则，且，在中，由余弦定理得，解得，所以，在中由余弦定理得18【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，所以，各项累加可得，又，所以，所以（2）由（1）可得，所以，得，所以，整理得19【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：由已知，得，由，故，又因为，所平面，又平面，所以（2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，由已知和（1），易得，两两垂直，以为原点，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，令，则，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，解得或（舍去），所以20【答案】（1）不能，详见解析；（2）；（3），【解
15、析】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为，故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”（2）这80位大学生集齐五福的频率为，据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为（3）从该校的名在读大学生中随机选取名，每个学生集齐五福的概率为，随机变量，综上所述，21【答案】（1）；（2）存在，详见解析【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，即，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）由（1）知，设点，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，联立，得，所以，所以，又，直线，的斜率分别为，所以，要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得当时，存在点，使得；当时，存在点，使得，综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值；当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值22【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，则，则又，曲线在处的切线方程为，即（2）（），依题意知，是方程的两个不相等的正实根，即，是方程的两个不相等的正实根，解之得，令（），则，在上单调递增，
