备战2020年中考几何压轴题分类导练专题03 截长补短法(教师版)

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资源描述

1、 1 专题 3:截长补短法 【典例引领】【典例引领】 例题:(2013 黑龙江龙东地区)正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上,点 O 是对角线 AC、BD 的交点, 过点 O 作 OE MN 于点 E,过点 B 作 BFMN 于点 F。 (1)如图 1,点 O、B 两点均在直线 MN 上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明) (2)当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时,线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系? 请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明。 【答案】图 2 结论:AFBF=2OE,图 3 结论:BF-AF=2OE 【分析】(1) 过

2、点 B 作 BGOE 于 G, 可得四边形 BGEF 是矩形, 根据矩形的对边相等可得 EF=BG, BF=GE, 根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB,AOB=90 ,再根据同角的余角相等求出AOE= OBG,然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等,根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE,OE=BG, 再根据 AFEF=AE,整理即可得证; (2)选择图 2,过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G,可得四边形 BGEF 是矩形,根据矩形的对边相等可得 EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB,AOB=90 ,再根据同角的余

3、角相等求出AOE=OBG,然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等,根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE,OE=BG,再根据 AFEF=AE,整理即可得证;选择图 3 同理可证 【解答】(1)证明:如图, 过点 B 作 BGOE 于 G, 2 则四边形 BGEF 是矩形, EF=BG,BF=GE, 在正方形 ABCD 中,OA=OB,AOB=90 , BGOE, OBG+BOE=90 , 又AOE+BOE=90 , AOE=OBG, 在AOE 和OBG 中, , AOEOBG(AAS) , OG=AE,OE=BG, AFEF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OEGE=OEBF, A

4、FOE=OEBF, AF+BF=2OE; (2)图 2 结 论:AFBF=2OE, 图 3 结论:AFB F=2OE 对图 2 证明:过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G, 3 则四边形 BGEF 是矩形, EF=BG,BF=GE, 在正方形 ABCD 中,OA=OB,AOB=90 , BGOE, OBG+BOE=90 , 又AOE+BOE=90 , AOE=OBG, 在AOE 和OBG 中, , AOEOBG(AAS) , OG=AE,OE=BG, AFEF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF, AFOE=OE+BF, AFBF=2OE; 若选图 3,其证

5、明方法同上 【强化训练】【强化训练】 4 1、(2018 黑龙江龙东地区) 如图, 在 RtBCD 中, CBD=90 , BC=BD, 点 A 在 CB 的延长线上, 且 BA=BC, 点 E 在直线 BD 上移动,过点 E 作射线 EFEA,交 CD 所在直线于点 F. (1)当点 E 在线段 BD 上移动时,如图(1)所示,求证:BCDE= DF. (2)当点 E 在直线 BD 上移动时,如图(2)、图(3)所示。线段 BC、DE 和 DF 又有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想,不需证明. 【答案】(1)答案见解答(2)图(2)DEBC= DF图(3)BC+DE= DF 【分析】 为

6、了证明图(2) 的结论, 需要构造等腰直角三角形,在 BC 上截取 BH,使得 BH=BE.连接 EH, 再证AHEEDF,即可得出结论图(3)同理可证 【解答】(1)证明:如图 1 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE BC=AB=BD,BE=BH, AH=ED, AEF=ABE=90 , AEB+FED=90 ,AEB+BAE=90 , FED=HAE, BHE=CDB=45 , AHE= EDF=135 , AHEEDF, EH=DF, BCDE=BDDE=BE= EH EH=DF BCDE= DF (3)解:如图 2 中,在 BC 上截取 BH=BE,同法可证:DF=EH 可得

7、:DEBC= DF 5 如图 3 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE同法可证:DF=HE, 可得 BC+DE= DF 6 2如图,(图 1,图 2),四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,点 E 在线段 BC 上, AEF=90 ,且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F,交 BC 的延长线于点 N, FNBC. (1)若点 E 是 BC 的中点(如图 1),AE 与 EF 相等吗? (2)点 E 在 BC 间运动时(如图 2),设 BE=x,ECF 的面积为 y。 求 y 与 x 的函数关系式; 当 x 取何值时,y 有最大值,并求出这个最大值. 【答案】【答案】(1)AE

8、=EF;(2)y=- x 2+2x(0x4),当 x=2,y 最大值=2. 【分析】 (1)在 AB 上取一点 G,使 AG=EC,连接 GE,利用 ASA,易证得:AGEECF, 则可证得:AE=EF; (2)同(1)可证明 AE=EF,利用 AAS 证明ABEENF,根据全等三角形对应 边相等可得 FN=BE, 再表示出 EC, 然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF 的面积为 y,然后整理再根据二次函数求解最值问题 【解答】 (1)如图,在 AB 上取 AG=EC, 四边形 ABCD 是正方形, AB=BC, 有AG=EC ,BG=BE , 又B=90 , AGE=135 , 又B

9、CD=90 ,CP 平分DCN, ECF=135 , BAEAEB=90 ,AEBFEC=90 , BAE=FEC, 在AGE 和ECF 中, , AGEECF, 7 AE=EF; (2)由(1)证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF, BAE=NEF,B=ENF=90 , ABEENF, FN=BE=x, S ECF = (BC-BE) FN, 即 y= x(4-x), y=- x 2+2x(0x4), , 3阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图 1,在ABC 中,ACB90 ,ACBC,在三角形内 取一点 D,ADAC,CAD30 ,求ADB 小明通过探究发现,DABDCB1

10、5 ,BCAD,这样就具备了一边一角的图 形特征,他果断延长 CD 至点 E,使 CEAB,连接 EB,造出全等三角形,使问题得 到解决 (1)按照小明思路完成解答,求ADB; (2)参考小明思考问题的方法,解答下列问题: 如图 2,ABC 中,ABAC,点 D、E、F 分别为 BC、AC、AB 上一点,连接 DE, 延长 FE、DF 分别交 BC、CA 延长线于点 G、H,若DHCEDG2G 在图中找出与DEC 相等的角,并加以证明; 若 BGkCD,猜想 DE 与 DG 的数量关系并证明 8 【答案】【答案】(1)135 ;(2)HDCDEC;猜想 DGkDE. 【分析】(1)根据辅助线证

11、得DABBCE,则ADBCBE(还不能直接求 得,考虑全等的其他等边等角),ABDE,BDBE,得到BDEE ABD 考虑引入未知数, 设CBDx, 则EABDBDEx+15 , 利用ABC ABD+CBD 求得 x,再由周角求得结果 (2)DEC 是DEH 的外角,等于DHC+HDE,而DHCEDG,等量代 换得DECEDG+HDEHDC 由条件 DHCEDG2G, 在 FG 上方构造 2G 即FGMFGD, 则EDG MGD,令 M 落在 BA 延长线上,加上BACB,即得BGMCDE,有 =k又通过三角形内角和求得MHDC,证得MFGDFG,有 MG DG,得证 【解答】(1)延长 CD

12、 至点 E,使 CEAB,连接 EB ,ACB90 ,ACBC CABCBA45 ADAC,CAD30 BCAD,ACDADC 75 ,DABCABCAD15 BCDACBACD15 即DABBCD 在DAB 与BCE 中, DABBCE(SAS) ADBCBE,ABDE,BDBE BDEE 设CBDx,则ABD45 x,BDEBCD+CBD15 +x ABDEBDE15 +x ABCABD+CBD 45 15 +x+x,得:x15 CDB180 BCDCBD180 15 15 150 ADB360 ADCCDB360 75 150 135 (2)HDCDEC,证明如下: DHCEDG HDC

13、HDE+EDGHDE+DHCDEC 9 HDCDEC 猜想 DGkDE,证明如下: 在 FG 的上方作FGMFGD,使FGM 的一边与 BA 延长线交于 M DHCEDG2FGD DHCEDGMGD ABAC BACB M180 BMGD180 ACBEDCDEC MHDC 在MFG 与DFG 中, MFGDFG(AAS) MGDG BACB,EDGMGD BGMCDE BGkCD =K DGMGkDE 4【问题情境】在ABC 中,AB=AC,点 P 为 BC 所在直线上的任一点,过点 P 作 PDAB,PEAC,垂足分别为 D、E,过点 C 作 CFAB,垂足为 F当 P 在 BC 边上时(

14、如图 1),求证:PD+PE=CF 10 图 图 图 证明思路是:如图 2,连接 AP,由ABP 与ACP 面积之和等于ABC 的面积可以证 得:PD+PE=CF(不要证明) 【变式探究】 当点 P 在 CB 延长线上时,其余条件不变(如图 3).试探索 PD、PE、CF 之间的数量 关系并说明理由. 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题: 【结论运用】 如图 4,将长方形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 D 落在点 B 上,点 C 落在点 C处,点 P 为折痕 EF 上的任一点,过点 P 作 PGBE、PHBC,垂足分别为 G、H,若 AD=8, CF=3,求 PG+PH 的值;

15、【答案】【答案】【变式探究】 【结论运用】4 【分分析】析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题 【结论运用】过E作EQBF,利用问题情境中的结论可得PGPHEQ,易证 EQDCBFDF,只需求即可 【解答】【变式探究】:连接,AP 11 PDAB,PEAC,CFAB, ABCACPABP SSS, 111 222 ABCFACPEABPD, ABAC, .CFPEPD 【结论运用】过E作EQBF,垂足为Q ,如图, 四边形ABCD是长方形, 90ADBCCADC , 835ADCFBFBCCFADCF, 由折叠可得: DFBFBEFDEF , 590DFC, 2222 534.DCDFCF 90EQBCCADC , 90EQCCADC 四边形EQCD是长方形 4EQDC ADBC, DEFEFB BEFDEFBEFEFBBEBF , 由问题情境中的结论可得: 4PGPHEQPGPH PGPH的值为 4 12

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