1、 1 专题专题 8：相似三角形性质和判定的应用：相似三角形性质和判定的应用 【典例引领】【典例引领】 例：如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点 （1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE当 OE=DE 时，求 AE 的长； （2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EFEC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于点 G当 BE 平分 ABC 时，求 BG 的长； （3）如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点 D 落在 EC 上的点 D处， 过点 D作 DNAD 于点
2、N，与 EH 交于点 M，且 AE=1 求 的值； 连接 BE，DMH 与CBE 是否相似？请说明理由 【答案】【答案】 （1）AE=33 10； （2）BG= 52 6 ； （3）5 4；相似，理由见解析. 【分析】 （1）先求出 BD，进而求出 OD=OB=OA，再判断出ODEADO，即可得出结论； （2）先判断出AEFDCE，进而求出 BF=1，再判断出CHGCBF，进而求出 BK=GK=5 6，最后用 勾股定理即可得出结论； （3） 先求出EC=5， 再求出DC=1， 根据勾股定理求出DH=4 3， CH= 5 3， 再判断出EMNEHD， 得出 ， EDMECH，得出 ，进而得出 5
3、 4，即可得出结论； 先判断出MDH=NED，进而判断出MDH=ECB，即可得出 ，即可 【解答】 （1）如图 1，连接 OA， 2 在矩形 ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，BAD=90 在 RtABD 中，根据勾股定理得，BD=34， O 是 BD 中点， OD=OB=OA= 34 2 ， OAD=ODA， OE=DE， EOD=ODE， EOD=ODE=OAD， ODEADO， = ， DO2=DEDA， 设 AE=x， DE=5x， （ 34 2 ）2=5（5x） ， x=33 10， 即：AE=33 10； （2）如图 2， 3 在矩形 ABCD 中， BE 平分ABC，
4、 ABE=EBC=45 ， ADBC， AEB=EBC， ABE=AEB， AE=AB=3， AE=CD=3， EFEC， FEC=90 ， AEF+CED=90 ， A=90 ， AEF+AFE=90 ， CED=AFE， D=A=90 ， AEFDCE， AF=DE=2， BF=ABAF=1， 过点 G 作 GKBC 于 K， EBC=BGK=45 ， 4 BK=GK，ABC=GKC=90 ， KCG=BCF， CHGCBF， = ， 设 BK=GK=y， CK=5y， y=5 6， BK=GK=5 6， 在 RtGKB 中，BG=52 6 ； （3）在矩形 ABCD 中，D=90 ， A
5、E=1，AD=5， DE=4， DC=3， EC=5， 由折叠知，ED=ED=4，DH=DH，EDH=D=90 ， DC=1， 设 DH=DH=z， HC=3z， 根据勾股定理得， （3z）2=1+z2， z=4 3， DH=4 3，CH= 5 3， DNAD， 5 AND=D=90 ， DNDC， EMNEHD， = ， DNDC， EDM=ECH， MED=HEC， EDMECH， ， ， 5 4， 5 4； 相似，理由：由折叠知，EHD=EHD，EDH=D=90 ， MDH+EDN=90 ， END=90 ， EDN+NED=90 ， MDH=NED， DNDC， EHD=DMH， EH
6、D=DMH， DM=DH， ADBC， 6 NED=ECB， MDH=ECB， CE=CB=5， DMHCBE 【强化训练】【强化训练】 1如图 1，以ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF,使点 F 落在边 AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G. （1）猜想 BG 与 EG 的数量关系.并说明理由； （2）延长 DE,BA 交于点 H，其他条件不变， 如图 2，若ADC=60 ，求 的值； 如图 3，若ADC=（090）,直接写出 的值.（用含 的三角函数表示） 【答案】【答案】 （1） = ，理由见解析； （2）1 2； （3）cos. 【分析】 （1）BG=EG，根据已知条
7、件易证BAGEFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论； （2）方法 一：过点 G 作 GMBH，交 DH 于点 M，证明 GMEBHE，即可得 = = 1 2，再证明是等边 三角形，可得 = ，由此可得 = = 1 2；方法二：延长，交于点，证明 HBM 为等边三角 形，再证明 ，即可得结论；如图 3，连接 EC 交 DF 于 O 根据三角函数定义得 cos= ， 则 OF=bcos，DG=a+2bcos，同理表示 AH 的长，代入 计算即可 7 【解答】 （1） = ， 理由如下： 四边形是平行四边形， ， = . 四边形是菱形， ， = . ， = . = . 又 = ， (). =
8、. （2）方法 1：过点作，交于点， = . 8 = ， . = . 由（1）结论知 = . = 1 2. = = 1 2. 四边形为菱形， = = 60. 四边形是平行四边形， . = = 60. ， = = 60. = 180 = 60， 即 = = = 60. 是等边三角形。 = . = = 1 2. 方法 2：延长，交于点， 9 四边形为菱形， = = 60. 四边形为平形四边形， = = 60，. = = 60. = 180 = 180 60 = 60, 即 = = = 60. 为等边三角形. = . ， = , = . ， = . 由（1）结论知 = = 1 2. = = 1 2.
9、 = , = = 1 2 . 10 （3）cos. 如图 3，连接 EC 交 DF 于 O， 四边形 CFED 是菱形， ECAD，FD=2FO， 设 FG=a，AB=b，则 FG=a，EF=ED=CD=b， RtEFO 中，cos= ， OF=bcos， DG=a+2bcos， 过 H 作 HMAD 于 M， ADC=HAD=ADH=， AH=HD， AM=1 2AD= 1 2（2a+2bcos）=a+bcos， RtAHM 中，cos= ， AH=+cos cos ， = +2cos +cos cos =cos 2已知：ABC 是等腰三角形，CA=CB，0 ACB90点 M 在边 AC 上
10、，点 N 在边 BC 上（点 M、 点 N 不与所在线段端点重合） ，BN=AM，连接 AN，BM，射线 AGBC，延长 BM 交射线 AG 于点 D，点 E 在直线 AN 上，且 AE=DE （1）如图，当ACB=90 时 11 求证：BCMACN； 求BDE 的度数； （2）当ACB=，其它多件不变时，BDE 的度数是 （用含 的代数式表示） （3）若ABC 是等边三角形，AB=33，点 N 是 BC 边上的三等分点，直线 ED 与直线 BC 交于点 F，请直 接写出线段 CF 的长 【答案】【答案】 （1）证明见解析；BDE=90 ； （2） 或 180 ； （3）CF 的长为 3 2
11、或 43 【分析】 （1）根据 SAS 证明即可； 想办法证明ADE+ADB=90 即可； （2）分两种情形讨论求解即可，如图 2 中，当点 E 在 AN 的延长线上时，如图 3 中，当点 E 在 NA 的 延长线上时， （3）分两种情形求解即可，如图 4 中，当 BN=1 3BC=3时，作 AKBC 于 K，解直角三角形即可如 图 5 中，当 CN=1 3BC=3时，作 AKBC 于 K，DHBC 于 H，结合图形求解即可. 【解答】 （1）如图 1 中， 12 CA=CB，BN=AM， CBBN=CAAM， 即 CN=CM， ACN=BCM， BCMCAN； 如图 1 中， BCMACN，
12、 MBC=NAC， EA=ED， EAD=EDA， AGBC， GAC=ACB=90 ，ADB=DBC， ADB=NAC， ADB+EDA=NAC+EAD， ADB+EDA=180 90 =90 ， BDE=90 ； （2）如图 2 中，当点 E 在 AN 的延长线上时， 13 易证：CBM=ADB=CAN，ACB=CAD， EA=ED， EAD=EDA， CAN+CAD=BDE+ADB， BDE=ACB=； 如图 3 中，当点 E 在 NA 的延长线上时， 易证：1+2=CAN+DAC， 2=ADM=CBD=CAN， 1=CAD=ACB=， BDE=180 ， 综上所述，BDE= 或 180
13、 ， 故答案为： 或 180 ； （3）如图 4 中，当 BN=1 3BC=3时，作 AKBC 于 K， 14 ADBC， = = 1 2， AD=33 2 ，AC=33，易证ADC 是直角三角形，则四边形 ADCK 是矩形，AKNDCF， CF=NK=BKBN=33 2 3= 3 2 ； 如图 5 中，当 CN=1 3BC=3时，作 AKBC 于 K，DHBC 于 H， ADBC， = = 2， AD=63，易证ACD 是直角三角形， 由ACKCDH，可得 CH=3AK=93 2 ， 15 由AKNDHF，可得 KN=FH= 3 2 ， CF=CHFH=43 综上所述，CF 的长为 3 2
14、或 43 3如图，ABC 中，BAC 为钝角，B=45 ，点 P 是边 BC 延长线上一点，以点 C 为顶点，CP 为边，在 射线 BP 下方作PCF=B （1）在射线 CF 上取点 E，连接 AE 交线段 BC 于点 D 如图 1，若 AD=DE，请直接写出线段 AB 与 CE 的数量关系和位置关系； 如图 2，若 AD=2DE，判断线段 AB 与 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图 3，反向延长射线 CF，交射线 BA 于点 C，将PCF 沿 CC方向平移，使顶点 C 落在点 C处，记 平移后的PCF 为PCF，将PCF绕点 C顺时针旋转角 （0 45 ） ，CF交线段
15、BC 于点 M，CP 交射线 BP 于点 N，请直接写出线段 BM，MN 与 CN 之间的数量关系 【答案】【答案】 （1）AB=CE，ABCE；AB=2CE； （2）MN2=BM2+CN2 【分分析】析】试题分析： （1）结论：AB=CE如图 1 中，作 EHBA 交 BP 于 H只要证明BDAHDE， EC=EH 即可解决问题； 结论：AB=2CE如图 2 中，作 EHBA 交 BP 于 H由ABDEHD，可得 ABAD EHDE =2，推出 AB=2EH，再证明 EC=EH，即可解决问题； （2） 结论： MN2=BM2+CN2 首先说明BCC是等腰直角三角形， 将CBM 绕点 C顺时针
16、旋转 90 得到CCG， 连接 GN只要证明CMNCGN，推出 MN=GN，在 RtGCN 中，根据 GN2=CG2+CN2，即可证明. 【解答】 （1）结论：AB=CE， ABCE， 理由：如图 1 中，作 EHBA 交 BP 于 H， 16 ABEH，B=DHE，AD=DE，BDA=EDH，BDAHDE，AB=EH，PCF=B= CHE，EC=EH，AB=EH，ECH=EHC=45 ，CEH=90 ， CEEH，ABEH，ABCE； 结论：AB=2CE理由：如图 2 中，作 EHBA 交 BP 于 H， BAEH，ABDEHD， ABAD EHDE =2，AB=2EH， PCF=B=CHE
17、，EC=EH，AB=2EH； （2）结论：MN2=BM2+CN2，理由：如图 3 中， B=PCF=BCC=45，BCC是等腰直角三角形，将CBM 绕点 C顺时针旋转 90 得到CCG， 连接 GN， CCG=B=45 ，GCB=CCG+CCB=90 ，GCN=90 ， MCG=90 ，MCN=45 ，NCM=NCG， CM=CG，CN=CN，CMNCGN，MN=GN， 在 RtGCN 中，GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，MN2=BM2+CN2 17 4 （2016 辽宁省大连市）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 边上，D
18、AB=ABD，BEAD，垂足为 E，求证：BC=2AE 小明经探究发现，过点 A 作 AFBC，垂足为 F，得到AFB=BEA，从而可证ABFBAE（如图 2） ， 使问题得到解决 （1）根据阅读材料回答：ABF 与BAE 全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的 一个） 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图 3，ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在 AC 的延长线上， 且CDF=EAC，若 CF=2，求 AB 的长； （3）如图 4，ABC 中，AB=AC，BAC=120 ，点
19、 D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=kDB（其中 0k 3 3 ） ，AED=BCD，求 的值（用含 k 的式子表示） 【答案】【答案】 （1）AAS； （2）4； （3） = 32+ 132 【分分析】析】 18 试题分析： （1）作 AFBC，根据已知条件易得AFB=BEA，DAB=ABD，AB=AB，根据 AAS 可 判断出ABFBAE； （2）连接 AD，作 CGAF，易得 tanDAE=，再由 tanF=tanDAE，求出 CG，再证DCGACE，根据相似三角形的性质即可求出 AC； （3）过点 D 作 DGBC，设 DG=a，在 RtABH，RtADN，RtABH 中分别
20、用 a，k 表示出 AB=2a（k+1） ，BH=a（k+1） ，BC=2BH=2a （k+1） ，CG=a（2k+1） ，DN=ka，最后用NDEGDC，求出 AE，EC 即可 【解答】证明： （1）如图 2， 作 AFBC， BEAD，AFB=BEA， 在ABF 和BAE 中， ， ABFBAE（AAS） ， BF=AE AB=AC，AFBC， BF=BC， BC=2AE， 故答案为 AAS （2）如图 3， 19 连接 AD，作 CGAF， 在 RtABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 中点， AD=CD， 点 E 是 DC 中点， DE=CD=AD， tanDAE=， AB=AC，
21、BAC=90 ，点 D 为 BC 中点， ADC=90 ，ACB=DAC=45 ， F+CDF=ACB=45 ， CDF=EAC， F+EAC=45 ， DAE+EAC=45 ， F=DAE， tanF=tanDAE=， ， 20 CG= 2=1， ACG=90 ，ACB=45 ， DCG=45 ， CDF=EAC， DCGACE， ， CD=AC，CE=CD= AC， ， AC=4； AB=4； （3）如图 4， 过点 D 作 DGBC，设 DG=a， 在 RtBGD 中，B=30 ， BD=2a，BG=a， 21 AD=kDB， AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1）
22、 ， 过点 A 作 AHBC， 在 RtABH 中，B=30 BH=a（k+1） ， AB=AC，AHBC， BC=2BH=2a（k+1） ， CG=BCBG=a（2k+1） ， 过 D 作 DNAC 交 CA 延长线与 N， BAC=120 ， DAN=60 ， ADN=30 ， AN=ka，DN=ka， DGC=AND=90 ，AED=BCD， NDEGDC ， ， NE=3ak（2k+1） ， EC=ACAE=ABAE=2a（k+1）2ak（3k+1）=2a（13k2） ， 22 5我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是ABC 的中
23、 线，AFBE，垂足为 P，像ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BCa，ACb，ABc 特例探索 （1）如图 1，当ABE45 ，c22时，a ，b ； 如图 2，当ABE30 ，c4 时，a ，b ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图 3 证明你 发现的关系式； 拓展应用 （3）如图 4，在ABCD 中，点 E，F，G 分别是 AD，BC，CD 的中点，BEEG，AD25，AB3求 AF 的长 【答案】【答案】 （1）25，25；213，27； （2）2+2=52； （3）AF=4 【分分析】析】 （1）运用三
24、角形中位线的性质和相似，勾股定理就可求出（2）思路同（1） ，要用到锐角三角函数 （3）求出 AE，EF 的长，在用（2）中的结论即可求出出 23 【解答解答】 （1）AFBE，ABE=45 ，AP=BP=AB=2，AF，BE 是ABC 的中线，EFAB， EF=AB=，PFE=PEF=45 ，PE=PF=1，在 RtFPB 和 RtPEA 中，AE=BF=， AC=BC=2，a=b=2， 如图 2，连接 EF， 同理可得：EF= 4=2，EFAB，PEFABP， ，在 RtABP 中，AB=4， ABP=30 ，AP=2，PB=2，PF=1，PE=，在 RtAPE 和 RtBPF 中，AE=
25、，BF=，a=2 ，b=2，故答案为：2 ，2，2 ，2； （2）猜想：a2+b2=5c2，如图 3，连接 EF， 设ABP=，AP=csin，PB=ccos，由（1）同理可得，PF=PA=，PE=， AE2=AP2+PE2=c2sin2+， BF2=PB2+PF2=+c2cos2， =c2sin2+， =+c2cos2，+=+c2cos2+c2sin2+，a2+b2=5c2； （3）如图 4，连接 AC，EF 交于 H，AC 与 BE 交于点 Q， 24 设 BE 与 AF 的交点为 P，点 E、G 分别是 AD，CD 的中点，EGAC，BEEG，BEAC，四 边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC=2，EAH=FCH，E，F 分别是 AD，BC 的中 点，AE=AD，BF=BC，AE=BF=CF= AD=，AEBF，四边形 ABFE 是平行四边形， EF=AB=3，AP=PF，在AEH 和CFH 中，AEHCFH，EH=FH，EQ， AH 分别是AFE 的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，AF2=5EF2=16，AF=4
