1、 1 专题 3：截长补短法 【典例引领】【典例引领】 例题：（2013 黑龙江龙东地区）正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC、BD 的交点， 过点 O 作 OE MN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F。 （1）如图 1，点 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系？ 请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【答案】图 2 结论：AFBF=2OE，图 3 结论：BF-AF=2OE 【分析】（1） 过
2、点 B 作 BGOE 于 G， 可得四边形 BGEF 是矩形， 根据矩形的对边相等可得 EF=BG， BF=GE， 根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，AOB=90 ，再根据同角的余角相等求出AOE= OBG，然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE，OE=BG， 再根据 AFEF=AE，整理即可得证； （2）选择图 2，过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G，可得四边形 BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，AOB=90 ，再根据同角的余
3、角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE，OE=BG，再根据 AFEF=AE，整理即可得证；选择图 3 同理可证 【解答】（1）证明：如图， 过点 B 作 BGOE 于 G， 2 则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG，BF=GE， 在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=90 ， BGOE， OBG+BOE=90 ， 又AOE+BOE=90 ， AOE=OBG， 在AOE 和OBG 中， ， AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG， AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF， A
4、FOE=OEBF， AF+BF=2OE； （2）图 2 结 论：AFBF=2OE， 图 3 结论：AFB F=2OE 对图 2 证明：过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G， 3 则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG，BF=GE， 在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=90 ， BGOE， OBG+BOE=90 ， 又AOE+BOE=90 ， AOE=OBG， 在AOE 和OBG 中， ， AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG， AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF， AFOE=OE+BF， AFBF=2OE； 若选图 3，其证
5、明方法同上 【强化训练】【强化训练】 4 1、（2018 黑龙江龙东地区） 如图， 在 RtBCD 中， CBD=90 ， BC=BD， 点 A 在 CB 的延长线上， 且 BA=BC， 点 E 在直线 BD 上移动，过点 E 作射线 EFEA，交 CD 所在直线于点 F. （1）当点 E 在线段 BD 上移动时，如图（1）所示，求证：BCDE= DF. （2）当点 E 在直线 BD 上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段 BC、DE 和 DF 又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)答案见解答（2）图（2）DEBC= DF图（3）BC+DE= DF 【分析】 为
6、了证明图（2） 的结论， 需要构造等腰直角三角形，在 BC 上截取 BH，使得 BH=BE.连接 EH， 再证AHEEDF，即可得出结论图（3）同理可证 【解答】（1）证明：如图 1 中，在 BA 上截取 BH，使得 BH=BE BC=AB=BD，BE=BH， AH=ED， AEF=ABE=90 ， AEB+FED=90 ，AEB+BAE=90 ， FED=HAE， BHE=CDB=45 ， AHE= EDF=135 ， AHEEDF， EH=DF， BCDE=BDDE=BE= EH EH=DF BCDE= DF （3）解：如图 2 中，在 BC 上截取 BH=BE，同法可证：DF=EH 可得
7、：DEBC= DF 5 如图 3 中，在 BA 上截取 BH，使得 BH=BE同法可证：DF=HE， 可得 BC+DE= DF 6 2如图，（图 1，图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC 上， AEF=90 ,且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N, FNBC. （1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1），AE 与 EF 相等吗？ （2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，ECF 的面积为 y。 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值. 【答案】【答案】（1）AE
8、=EF；（2）y=- x 2+2x（0x4)，当 x=2,y 最大值=2. 【分析】 （1）在 AB 上取一点 G，使 AG=EC，连接 GE，利用 ASA，易证得：AGEECF， 则可证得：AE=EF； （2）同（1）可证明 AE=EF，利用 AAS 证明ABEENF，根据全等三角形对应 边相等可得 FN=BE， 再表示出 EC， 然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF 的面积为 y，然后整理再根据二次函数求解最值问题 【解答】 （1）如图，在 AB 上取 AG=EC， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC， 有AG=EC ，BG=BE ， 又B=90 ， AGE=135 ， 又B
9、CD=90 ，CP 平分DCN， ECF=135 ， BAEAEB=90 ，AEBFEC=90 ， BAE=FEC， 在AGE 和ECF 中， , AGEECF， 7 AE=EF； (2)由（1）证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF， BAE=NEF，B=ENF=90 ， ABEENF， FN=BE=x， S ECF = (BC-BE) FN， 即 y= x(4-x）， y=- x 2+2x（0x4)， ， 3阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中，ACB90 ，ACBC，在三角形内 取一点 D，ADAC，CAD30 ，求ADB 小明通过探究发现，DABDCB1
10、5 ，BCAD，这样就具备了一边一角的图 形特征，他果断延长 CD 至点 E，使 CEAB，连接 EB，造出全等三角形，使问题得 到解决 （1）按照小明思路完成解答，求ADB； （2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题： 如图 2，ABC 中，ABAC，点 D、E、F 分别为 BC、AC、AB 上一点，连接 DE， 延长 FE、DF 分别交 BC、CA 延长线于点 G、H，若DHCEDG2G 在图中找出与DEC 相等的角，并加以证明； 若 BGkCD，猜想 DE 与 DG 的数量关系并证明 8 【答案】【答案】（1）135 ;（2）HDCDEC;猜想 DGkDE. 【分析】（1）根据辅助线证
11、得DABBCE，则ADBCBE（还不能直接求 得，考虑全等的其他等边等角），ABDE，BDBE，得到BDEE ABD 考虑引入未知数， 设CBDx， 则EABDBDEx+15 ， 利用ABC ABD+CBD 求得 x，再由周角求得结果 （2）DEC 是DEH 的外角，等于DHC+HDE，而DHCEDG，等量代 换得DECEDG+HDEHDC 由条件 DHCEDG2G， 在 FG 上方构造 2G 即FGMFGD， 则EDG MGD，令 M 落在 BA 延长线上，加上BACB，即得BGMCDE，有 =k又通过三角形内角和求得MHDC，证得MFGDFG，有 MG DG，得证 【解答】（1）延长 CD
12、 至点 E，使 CEAB，连接 EB ，ACB90 ，ACBC CABCBA45 ADAC，CAD30 BCAD，ACDADC 75 ，DABCABCAD15 BCDACBACD15 即DABBCD 在DAB 与BCE 中， DABBCE（SAS） ADBCBE，ABDE，BDBE BDEE 设CBDx，则ABD45 x，BDEBCD+CBD15 +x ABDEBDE15 +x ABCABD+CBD 45 15 +x+x，得：x15 CDB180 BCDCBD180 15 15 150 ADB360 ADCCDB360 75 150 135 （2）HDCDEC，证明如下： DHCEDG HDC
13、HDE+EDGHDE+DHCDEC 9 HDCDEC 猜想 DGkDE，证明如下： 在 FG 的上方作FGMFGD，使FGM 的一边与 BA 延长线交于 M DHCEDG2FGD DHCEDGMGD ABAC BACB M180 BMGD180 ACBEDCDEC MHDC 在MFG 与DFG 中， MFGDFG（AAS） MGDG BACB，EDGMGD BGMCDE BGkCD =K DGMGkDE 4【问题情境】在ABC 中，AB=AC，点 P 为 BC 所在直线上的任一点，过点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E，过点 C 作 CFAB，垂足为 F当 P 在 BC 边上时（
14、如图 1），求证：PD+PE=CF 10 图 图 图 证明思路是：如图 2，连接 AP，由ABP 与ACP 面积之和等于ABC 的面积可以证 得：PD+PE=CF（不要证明） 【变式探究】 当点 P 在 CB 延长线上时，其余条件不变（如图 3）.试探索 PD、PE、CF 之间的数量 关系并说明理由. 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图 4，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C处，点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PGBE、PHBC，垂足分别为 G、H，若 AD=8， CF=3，求 PG+PH 的值；
15、【答案】【答案】【变式探究】 【结论运用】4 【分分析】析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题 【结论运用】过E作EQBF，利用问题情境中的结论可得PGPHEQ，易证 EQDCBFDF，只需求即可 【解答】【变式探究】：连接,AP 11 PDAB，PEAC，CFAB， ABCACPABP SSS， 111 222 ABCFACPEABPD， ABAC， .CFPEPD 【结论运用】过E作EQBF，垂足为Q ，如图， 四边形ABCD是长方形， 90ADBCCADC ， 835ADCFBFBCCFADCF， 由折叠可得： DFBFBEFDEF ， 590DFC， 2222 534.DCDFCF 90EQBCCADC ， 90EQCCADC 四边形EQCD是长方形 4EQDC ADBC， DEFEFB BEFDEFBEFEFBBEBF ， 由问题情境中的结论可得： 4PGPHEQPGPH PGPH的值为 4 12