备战2020年中考几何压轴题分类导练专题04 折叠问题(教师版)

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1、 1 专题专题 4:折叠问题:折叠问题 【典例引领】【典例引领】 例:如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 在直线 BC 上,连接 AE将ABE 沿 AE 所在直线折叠,点 B 的 对应点是点 B,连接 AB并延长交直线 DC 于点 F (1)当点 F 与点 C 重合时如图(1),易证:DF+BE=AF(不需证明); (2)(2)当点 F 在 DC 的延长线上时如图(2),当点 F 在 CD 的延长线上时如图(3),线段 DF、BE、 AF 有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明 【答案】(2)图(2)的结论:DF+BE=AF; 图(3)的结论:BEDF=AF;证明见

2、解答 【分析】 (1)由折叠可得 AB=AB,BE=BE,再根据四边形 ABCD 是正方形,易证 BE=BF,即可证明 DF+BE=AF; (2)图(2)的结论:DF+BE=AF;图(3)的结论:BEDF=AF;证明图(2):延长 CD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,需证ABEADG, 根据 CBAD,得AEB=EAD,即可得出BAE=DAG,则GAF=DAE,则AGD=GAF,即 可得出答案 BE+DF=AF 【解答】 解:(1)由折叠可得 AB=AB,BE=BE, 四边形 ABCD 是正方形, AB=DC=DF,CBE=45 , BE=BF, AF=AB+BF, 即 DF+BE=A

3、F; (3)图(2)的结论:DF+BE=AF; 2 图(3)的结论:BEDF=AF; 图(2)的证明:延长 CD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG, 需证ABEADG, CBAD, AEB=EAD, BAE=BAE, BAE=DAG, GAF=DAE, AGD=GAF, GF=AF,BE+DF=AF; 图(3)的证明:在 BC 上取点 M,使 BM=DF,连接 AM, 需证ABMADF, BAM=FAD,AF=AM ABEABE BAE=EAB, MAE=DAE, ADBE, AEM=DAE, MAE=AEM, ME=MA=AF, BEDF=AF 【强化训练】【强化训练】 1、数学活动:在

4、综合与实践活动课上,老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动, 探究线段长度的有关问题. 动手操作:如图 1,在直角三角形纸片 ABC 中,BAC90 ,AB6,AC8.将三角形纸片 ABC 进行 以下操作: 第一步:折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合,然后展开铺平,得到折痕 DE; 第二步:将ABC 沿折痕 DE 展开,然后将DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到DFG,点 E,C 的对应 点分别是点 F, G, 射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合), 与边 AB 交于点 N, 线段 DG 与 边 AC 交于点 P. 数学思考: 3 (

5、1)求 DC 的长; (2)在DEC 绕点 D 旋转的过程中,试判断 MF 与 ME 的数量关系,并证明你的结论; 问题解决: (3)在DEC 绕点 D 旋转的过程中,探究 下列问题: 如图 2,当 GFBC 时,求 AM 的长; 如图 3,当 GF 经过点 B 时,AM 的长为 当DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分FDG 的位置时,试在图 4 中作出此时的DFG 和射线 GF,并直 接写出 AM 的长(要求:尺规作图 ,不写作法,保留 作图痕迹,标记出所有相应的字母) 【答案】【答案】(1) DC5;(2)相等,理由见解析;(3)AM3;AM ;AM10 3 【分析】 (1)理由勾股定理求

6、出 BC 即可解决问题 (2)结论:MF=ME证明 RtDMFRtDME(HL),即可解决问题 (3)如图 2 中,作 AHBC 于 H,交 FG 于 K由 KMCH,推出 ,求出 AK,AH 即可解决问题 证明 BM=MC,设 BM=MC=x,在 RtABM 中,根据 BM2=AB2+AM2,构建方程即可解决问题 尺规作图如图 4-1 所示作 DR 平分CDF,在 DR 上截取 DG=DC,分别以 D,G 为圆心,DE,CE 为 半径画弧,两弧交于点 F,DFG 即为所求如图 4-1 中,连接 DM,设 DG 交 AC 于 T,作 THCD 于 H, 作 DK 平分CDG 交 TH 于 K,

7、作 KJDG 于 J 易证DEMDHK(AAS),推出 EM=HK,只要求出 HK 即可 【解答】 解:(1)如图 1 中, DEAC, DEC=A=90 , DEAB, AE=EC, BD=DC, 在 RtABC 中,AB=6,AC=8, BC= =10, CD= BC=5 4 (2)结论:MF=ME 理由:如图 1 中,连接 DM, DFM=DEM=90 ,DM=DM,DF=DE, RtDMFRtDME(HL), MF=ME (3)如图 2 中,作 AHBC 于 H,交 FG 于 K 易知 ,四边形 DFKH 是矩形, DF=KH=3, AK=AH-KH= , KMCH, , , AM=3

8、 如图 3 中, DG=DB=DC, 5 G=DBG, G=C, MBC=C, BM=MC,设 BM=MC=x, 在 RtABM 中,BM2=AB2+AM2, 62+(8-x)2=x2, x= AM=AC-CM=8- = 故答案为 . 尺规作图如图 4-1 所示作 DR 平分CDF,在 DR 上截取 DG=DC,分别以 D,G 为圆心,DE,CE 为 半径画弧,两弧交于点 F,DFG 即为所求 如图 4-1 中,连接 DM,设 DG 交 AC 于 T,作 THCD 于 H,作 DK 平分CDG 交 TH 于 K,作 KJDG 于 J 易证DEMDHK(AAS),推出 EM=HK,只要求出 HK

9、 即可 TEDE,THDC,DG 平分CDE, TE=TH,设 TE=TH=x,在 RtTCH 中,x2+22=(4-x)2, x= , ( ) , DK 平分CDT,KJDT,KHCD, KJ=KH,设 KJ=KH=y, 在 RtKTJ 中, ( ) ( ) , 6 EM= 2(2016 内蒙古包头市)如图,已知一个直角三角形纸片 ACB,其中ACB=90 ,AC=4,BC=3,E、F 分别是 AC、AB 边上点,连接 EF (1) 图, 若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠, 折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处, 且使 S四边形ECBF=3SEDF, 求 AE 的长; (2)如图

10、,若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处,且使 MFCA 试判断四边形 AEMF 的形状,并证明你的结论; 求 EF 的长; (3)如图,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求 的值 【答案】【答案】(1) ;(2)四边形 AEMF 为菱形; ;(3) 【分分析】析】 试题分析: (1) 先利用折叠的性质得到 EFAB, AEFDEF, 则 SAEFSDEF, 则易得 SABC=4SAEF, 再证明 RtAEFRtABC,然后根据相似三角形的性质得到=()2,再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长;(2)通过证

11、明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形; 连结 AM 交 EF 于点 O, 如图, 设 AE=x, 则 EM=x, CE=4x, 先证明CMECBA 得到= =,解出 x 后计算出 CM=,再利用勾股定理计算出 AM,然后根据菱形的面积公式计算 EF; (3) 如图, 作 FHBC 于 H, 先证明NCENFH, 利用相似比得到 FH: NH=4: 7, 设 FH=4x, NH=7x, 则 CH=7x1,BH=3(7x1)=47x,再证明BFHBAC,利用相似比可计算出 x=,则可计算 出 FH 和 BH,接着利用勾股定理计算出 BF,从而得到 AF 的长,于是可计算出的值 【解答】(1)如

12、图, 7 ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处, EFAB,AEFDEF, SAEFSDEF, S四边形ECBF=3SEDF, SABC=4SAEF, 在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=4,BC=3, AB=5, EAF=BAC, RtAEFRtABC, =()2,即()2=, AE=; (2)四边形 AEMF 为菱形理由如下: 如图,ACB 的一角沿 EF 折叠,折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处, AE=EM,AF=MF,AFE=MFE, MFAC, AEF=MFE, AEF=AFE, AE=AF, 8 AE=EM=MF=AF, 四边形

13、AEMF 为菱形; 连结 AM 交 EF 于点 O,如图, 设 AE=x,则 EM=x,CE=4x, 四边形 AEMF 为菱形, EMAB, CMECBA, =,即=,解得 x=,CM=, 在 RtACM 中,AM=, S菱形AEMF= EFAM=AECM, EF=2= ; (4)如图, 作 FHBC 于 H, ECFH, NCENFH, CN:NH=CE:FH,即 1:NH=:FH, FH:NH=4:7, 设 FH=4x,NH=7x,则 CH=7x1,BH=3(7x1)=47x, FHAC, BFHBAC, BH:BC=FH:AC,即(47x):3=4x:4,解得 x=, 9 FH=4x=,

14、BH=47x= , 在 RtBFH 中,BF=2, AF=ABBF=52=3, = 3如图 1,四边形的对角线相交于点, ,. (1)填空:与的数量关系为 ; (2)求的值; (3) 将沿翻折, 得到(如图 2) , 连接, 与相交于点.若, 求的长. 【答案】(1)BAD+ACB=180 ;(2);(3)1. 【分分析】析】(1)在ABD 中,根据三角形的内角和定理即可得出结论:BAD+ACB=180 ; (2) 如图 1 中, 作 DEAB 交 AC 于 E 由OABOED, 可得 AB=DE, OA=OE, 设 AB=DE=CE=CE=x, OA=OE=y,由EADABC,推出,可得,可

15、得 4y2+2xyx2=0,即 ,求出的值即可解决问题; 10 (3)如图 2 中,作 DEAB 交 AC 于 E想办法证明PADPBC,可得,可得 ,即,由此即可解决问题; 【解答】(1)如图 1 中, 在ABD 中,BAD+ABD+ADB=180 ,ABD+ADB=ACB, BAD+ACB=180 ,故答案为BAD+ACB=180 (2)如图 1 中,作 DEAB 交 AC 于 E DEA=BAE,OBA=ODE, OB=OD,OABOED, AB=DE,OA=OE,设 AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y, EDA+DAB=180 ,BAD+ACB=180 , EDA=ACB,DE

16、A=CAB,EADABC, , 4y2+2xyx2=0, (负根已经舍弃), (3)如图 2 中,作 DEAB 交 AC 于 E 由(1)可知,DE=CE,DCA=DCA,EDC=ECD=DCA, DECAAB,ABC+ACB=180, 11 EADACB,DAE=ABC=DAC, DAC+ACB=180,ADBC, PADPBC, , ,即 PC=1 4RtABC 中,ACB90 ,AC3,BC7,点 P 是边 AC 上不与点 A、C 重合的一点,作 PDBC 交 AB 边于点 D (1)如图 1,将APD 沿直线 AB 翻折,得到APD,作 AEPD求证:AEED; (2)将APD 绕点

17、A 顺时针旋转,得到APD,点 P、D 的对应点分别为点 P、D, 如图 2,当点 D在ABC 内部时,连接 PC 和 DB,求证:APCADB; 如果 AP:PC5:1,连接 DD,且 DD AD,那么请直接写出点 D到直线 BC 的距离 【答案】【答案】(1)见解析;(2)见解析;点 D到直线 BC 的距离为 或 【分析】 (1)由折叠的性质和平行线的性质可得EADADPADP,即可得 AEDE; (2) 由题意可证APDACB, 可得 , 由旋转的性质可得 APAP, ADAD, PADPAD, 即PACDAB,则APCADB;分点 D在直线 BC 的下方和点 D在直线 BC 的上方 两

18、 种情况讨论,根据平行线分线段成比例,可求 PD ,通过证明AMDDPA,可得 AMPD ,即 可求点 D到直线 BC 的距离 【解答】证明:(1)将APD 沿直线 AB 翻折,得到APD, ADPADP, AEPD, EADADP, EADADP, AEDE (2)DPBC, 12 APDACB, , 旋转, APAP,ADAD,PADPAD, PACDAB, , APCADB 若点 D在直线 BC 下方,如图,过点 A 作 AFDD,过点 D作 DMAC,交 AC 的延长线于 M, AP:PC5:1, AP:AC5:6, PDBC, = , BC7, PD , 旋转, ADAD,且 AFDD, DFDF DD,ADFADF, cosADF = , ADF45 , ADF45 , DAD90 DAM+PAD90 , DMAM, DAM+ADM90 , PADADM,且 ADAD,AMDAPD, ADMDAP(AAS) PDAM , CMAMAC 3, 13 CM , 点 D到直线 BC 的距离为 若点 D在直线 BC 的上方,如图,过点 D作 DMAC,交 CA 的延长线于点 M, 同理可证:AMDDPA, AMPD , CMAC+AM, CM3+ , 点 D到直线 BC 的距离为 综上所述:点 D到直线 BC 的距离为 或 ;

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