1、 1 专题专题 4：折叠问题：折叠问题 【典例引领】【典例引领】 例：如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在直线 BC 上，连接 AE将ABE 沿 AE 所在直线折叠，点 B 的 对应点是点 B，连接 AB并延长交直线 DC 于点 F （1）当点 F 与点 C 重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）； （2）（2）当点 F 在 DC 的延长线上时如图（2），当点 F 在 CD 的延长线上时如图（3），线段 DF、BE、 AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF； 图（3）的结论：BEDF=AF；证明见
2、解答 【分析】 （1）由折叠可得 AB=AB，BE=BE，再根据四边形 ABCD 是正方形，易证 BE=BF，即可证明 DF+BE=AF； （2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BEDF=AF；证明图（2）：延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG，需证ABEADG， 根据 CBAD，得AEB=EAD，即可得出BAE=DAG，则GAF=DAE，则AGD=GAF，即 可得出答案 BE+DF=AF 【解答】 解：（1）由折叠可得 AB=AB，BE=BE， 四边形 ABCD 是正方形， AB=DC=DF，CBE=45 ， BE=BF， AF=AB+BF， 即 DF+BE=A
3、F； （3）图（2）的结论：DF+BE=AF； 2 图（3）的结论：BEDF=AF； 图（2）的证明：延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG， 需证ABEADG， CBAD， AEB=EAD， BAE=BAE， BAE=DAG， GAF=DAE， AGD=GAF， GF=AF，BE+DF=AF； 图（3）的证明：在 BC 上取点 M，使 BM=DF，连接 AM， 需证ABMADF， BAM=FAD，AF=AM ABEABE BAE=EAB， MAE=DAE， ADBE， AEM=DAE， MAE=AEM， ME=MA=AF， BEDF=AF 【强化训练】【强化训练】 1、数学活动：在
4、综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动， 探究线段长度的有关问题. 动手操作：如图 1，在直角三角形纸片 ABC 中，BAC90 ，AB6，AC8.将三角形纸片 ABC 进行 以下操作： 第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE； 第二步：将ABC 沿折痕 DE 展开，然后将DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到DFG，点 E，C 的对应 点分别是点 F， G， 射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)， 与边 AB 交于点 N， 线段 DG 与 边 AC 交于点 P. 数学思考： 3 （
5、1）求 DC 的长； （2）在DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 问题解决： （3）在DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题： 如图 2，当 GFBC 时，求 AM 的长； 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为 当DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的DFG 和射线 GF，并直 接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母） 【答案】【答案】(1) DC5;(2)相等，理由见解析；（3）AM3；AM ；AM10 3 【分析】 （1）理由勾股定理求
6、出 BC 即可解决问题 （2）结论：MF=ME证明 RtDMFRtDME（HL），即可解决问题 （3）如图 2 中，作 AHBC 于 H，交 FG 于 K由 KMCH，推出 ，求出 AK，AH 即可解决问题 证明 BM=MC，设 BM=MC=x，在 RtABM 中，根据 BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题 尺规作图如图 4-1 所示作 DR 平分CDF，在 DR 上截取 DG=DC，分别以 D，G 为圆心，DE，CE 为 半径画弧，两弧交于点 F，DFG 即为所求如图 4-1 中，连接 DM，设 DG 交 AC 于 T，作 THCD 于 H， 作 DK 平分CDG 交 TH 于 K，
7、作 KJDG 于 J 易证DEMDHK（AAS），推出 EM=HK，只要求出 HK 即可 【解答】 解：（1）如图 1 中， DEAC， DEC=A=90 ， DEAB， AE=EC， BD=DC， 在 RtABC 中，AB=6，AC=8， BC= =10， CD= BC=5 4 （2）结论：MF=ME 理由：如图 1 中，连接 DM， DFM=DEM=90 ，DM=DM，DF=DE， RtDMFRtDME（HL）， MF=ME （3）如图 2 中，作 AHBC 于 H，交 FG 于 K 易知 ，四边形 DFKH 是矩形， DF=KH=3， AK=AH-KH= ， KMCH， ， ， AM=3
8、 如图 3 中， DG=DB=DC， 5 G=DBG， G=C， MBC=C， BM=MC，设 BM=MC=x， 在 RtABM 中，BM2=AB2+AM2， 62+（8-x）2=x2， x= AM=AC-CM=8- = 故答案为 . 尺规作图如图 4-1 所示作 DR 平分CDF，在 DR 上截取 DG=DC，分别以 D，G 为圆心，DE，CE 为 半径画弧，两弧交于点 F，DFG 即为所求 如图 4-1 中，连接 DM，设 DG 交 AC 于 T，作 THCD 于 H，作 DK 平分CDG 交 TH 于 K，作 KJDG 于 J 易证DEMDHK（AAS），推出 EM=HK，只要求出 HK
9、 即可 TEDE，THDC，DG 平分CDE， TE=TH，设 TE=TH=x，在 RtTCH 中，x2+22=（4-x）2， x= ， ( ) ， DK 平分CDT，KJDT，KHCD， KJ=KH，设 KJ=KH=y， 在 RtKTJ 中， ( ) ( ) ， 6 EM= 2（2016 内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中ACB=90 ，AC=4，BC=3，E、F 分别是 AC、AB 边上点，连接 EF （1） 图， 若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠， 折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， 且使 S四边形ECBF=3SEDF， 求 AE 的长； （2）如图
10、，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且使 MFCA 试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； 求 EF 的长； （3）如图，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N，CN=1，CE= ，求 的值 【答案】【答案】（1） ；（2）四边形 AEMF 为菱形； ；（3） 【分分析】析】 试题分析： （1） 先利用折叠的性质得到 EFAB， AEFDEF， 则 SAEFSDEF， 则易得 SABC=4SAEF， 再证明 RtAEFRtABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长；（2）通过证
11、明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形； 连结 AM 交 EF 于点 O， 如图， 设 AE=x， 则 EM=x， CE=4x， 先证明CMECBA 得到= =，解出 x 后计算出 CM=，再利用勾股定理计算出 AM，然后根据菱形的面积公式计算 EF； （3） 如图， 作 FHBC 于 H， 先证明NCENFH， 利用相似比得到 FH： NH=4： 7， 设 FH=4x， NH=7x， 则 CH=7x1，BH=3（7x1）=47x，再证明BFHBAC，利用相似比可计算出 x=，则可计算 出 FH 和 BH，接着利用勾股定理计算出 BF，从而得到 AF 的长，于是可计算出的值 【解答】（1）如
12、图， 7 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， EFAB，AEFDEF， SAEFSDEF， S四边形ECBF=3SEDF， SABC=4SAEF， 在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=4，BC=3， AB=5， EAF=BAC， RtAEFRtABC， =（）2，即（）2=， AE=； （2）四边形 AEMF 为菱形理由如下： 如图，ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， AE=EM，AF=MF，AFE=MFE， MFAC， AEF=MFE， AEF=AFE， AE=AF， 8 AE=EM=MF=AF， 四边形
13、AEMF 为菱形； 连结 AM 交 EF 于点 O，如图， 设 AE=x，则 EM=x，CE=4x， 四边形 AEMF 为菱形， EMAB， CMECBA， =，即=，解得 x=，CM=， 在 RtACM 中，AM=， S菱形AEMF= EFAM=AECM， EF=2= ； （4）如图， 作 FHBC 于 H， ECFH， NCENFH， CN：NH=CE：FH，即 1：NH=：FH， FH：NH=4：7， 设 FH=4x，NH=7x，则 CH=7x1，BH=3（7x1）=47x， FHAC， BFHBAC， BH：BC=FH：AC，即（47x）：3=4x：4，解得 x=， 9 FH=4x=，
14、BH=47x= ， 在 RtBFH 中，BF=2， AF=ABBF=52=3， = 3如图 1，四边形的对角线相交于点， ，. （1）填空：与的数量关系为 ； （2）求的值； （3） 将沿翻折， 得到（如图 2） ， 连接， 与相交于点.若， 求的长. 【答案】（1）BAD+ACB=180 ；（2）；（3）1. 【分分析】析】（1）在ABD 中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：BAD+ACB=180 ； （2） 如图 1 中， 作 DEAB 交 AC 于 E 由OABOED， 可得 AB=DE， OA=OE， 设 AB=DE=CE=CE=x， OA=OE=y，由EADABC，推出，可得，可
15、得 4y2+2xyx2=0，即 ，求出的值即可解决问题； 10 （3）如图 2 中，作 DEAB 交 AC 于 E想办法证明PADPBC，可得，可得 ，即，由此即可解决问题； 【解答】（1）如图 1 中， 在ABD 中，BAD+ABD+ADB=180 ，ABD+ADB=ACB， BAD+ACB=180 ，故答案为BAD+ACB=180 （2）如图 1 中，作 DEAB 交 AC 于 E DEA=BAE，OBA=ODE， OB=OD，OABOED， AB=DE，OA=OE，设 AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y， EDA+DAB=180 ，BAD+ACB=180 ， EDA=ACB，DE
16、A=CAB，EADABC， ， 4y2+2xyx2=0， （负根已经舍弃）， （3）如图 2 中，作 DEAB 交 AC 于 E 由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA， DECAAB，ABC+ACB=180， 11 EADACB，DAE=ABC=DAC， DAC+ACB=180，ADBC， PADPBC， ， ，即 PC=1 4RtABC 中，ACB90 ，AC3，BC7，点 P 是边 AC 上不与点 A、C 重合的一点，作 PDBC 交 AB 边于点 D （1）如图 1，将APD 沿直线 AB 翻折，得到APD，作 AEPD求证：AEED； （2）将APD 绕点
17、A 顺时针旋转，得到APD，点 P、D 的对应点分别为点 P、D， 如图 2，当点 D在ABC 内部时，连接 PC 和 DB，求证：APCADB； 如果 AP：PC5：1，连接 DD，且 DD AD，那么请直接写出点 D到直线 BC 的距离 【答案】【答案】(1)见解析；（2）见解析；点 D到直线 BC 的距离为 或 【分析】 （1）由折叠的性质和平行线的性质可得EADADPADP，即可得 AEDE； （2） 由题意可证APDACB， 可得 ， 由旋转的性质可得 APAP， ADAD， PADPAD， 即PACDAB，则APCADB；分点 D在直线 BC 的下方和点 D在直线 BC 的上方 两
18、 种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求 PD ，通过证明AMDDPA，可得 AMPD ，即 可求点 D到直线 BC 的距离 【解答】证明：（1）将APD 沿直线 AB 翻折，得到APD， ADPADP， AEPD， EADADP， EADADP， AEDE （2）DPBC， 12 APDACB， ， 旋转， APAP，ADAD，PADPAD， PACDAB， ， APCADB 若点 D在直线 BC 下方，如图，过点 A 作 AFDD，过点 D作 DMAC，交 AC 的延长线于 M， AP：PC5：1， AP：AC5：6， PDBC， = ， BC7， PD ， 旋转， ADAD，且 AFDD， DFDF DD，ADFADF， cosADF = ， ADF45 ， ADF45 ， DAD90 DAM+PAD90 ， DMAM， DAM+ADM90 ， PADADM，且 ADAD，AMDAPD， ADMDAP（AAS） PDAM ， CMAMAC 3， 13 CM ， 点 D到直线 BC 的距离为 若点 D在直线 BC 的上方，如图，过点 D作 DMAC，交 CA 的延长线于点 M， 同理可证：AMDDPA， AMPD ， CMAC+AM， CM3+ ， 点 D到直线 BC 的距离为 综上所述：点 D到直线 BC 的距离为 或 ；