1、 1 随机变量及 其分布 要求层次 重难点 取有限值的离散型 随机变量及其分布 列 C 理解取有限个值的离散型随机变量及 其分布列的概念，了解分布列对于刻画 随机现象的重要性 理解超几何分布及其导出过程，并能 进行简单的应用 超几何分布 A 二项分布 及其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概 念，理解 n 次独立重复试验的模型及二 项分布， 并能解决一些简单的实际问题 事件的独立性 A n 次独立重复试验与 二项分布 B 离散型随 机变量的 均值与方 差 要求层次 重难点 取有限值的离散型随 机变量的均值、方差 B 理解取有限个值的离散型随机变量均 值、方差
2、的概念，能计算简单离散型随 机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x
3、2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 知识内容 高考要求 随机变量及其分布列 2 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种
4、分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同
5、在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q
6、 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作( ,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 3 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落
7、在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准
8、差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1， 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得
9、分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 (
10、)( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； x= O y x 4 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服
11、从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件
12、 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 版块一：离散型随机变量及其分布列 【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是： 某城市一天之内发生的火警次数X； 某城市一天之内的温度Y 【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 X是随机变量，其取值为0 1 2， ，； Y不是随机变量，它可以取某一范围内的所有实数，无法一一列举 【例2】 抛掷两颗骰子，所得点数之
13、和为，那么4表示的随机试验结果是（ ） A一颗是 3 点，一颗是 1 点 B两颗都是 2 点 C两颗都是 4 点 D一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点 【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1 星 【题型】选择 【关键词】无 典例分析 5 【解析】对 A，B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值 4， 而 D 是4代表的所有试验结果掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验 的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键 【答案】D； 【例3】 如果是一个离散型随机变量，则假命题是（ ） A取每一个可能值的概率都是非负数； B取所有可能值的概率之和为 1； C取某几个值的概率等于分别取其中
14、每个值的概率之和； D在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 奎屯 王新敞 新疆 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】1 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】略 【答案】D； 【例4】 有六节电池，其中有 2 只没电，4 只有电，每次随机抽取一个测试，不放回， 直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】容易知道2, 3, 4, 5 2表示前 2 只测试均为次品， 2 2 2 6 A1 (2) A15 P 3表示前两次中一好一坏，第三次为坏， 112 24
15、2 3 6 2 (3) 15 C C A P A 4表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏， 1234 2434 44 66 114 (4) 15515 C C AA P AA 5表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好 134134 244244 55 66 8 (5) 15 C C AC C A P AA 分布列为 2 3 4 5 6 P 1 15 2 15 4 15 8 15 【例5】 设随机变量所有可能取值为1 2 3 4， ， 且已知概率()Pk与k成正比， 求 的分布 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略
16、【答案】()Pkak（a为常数） ，由分布列的性质有2341aaaa，解得 1 10 a 因此的分布为() 10 k Pk 【例6】 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的 一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 15 33 P （ ） A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】设二级品有k个，一级品有2k个，三级品有 2 k 个，总数为 7 2 k 个 分布列为 154 ()(1) 337 PP 【答案】D； 【例7】 随 机 变 量X的 分 布 列()(
17、1234 ) (1) p P Xkk k k ， ，p为 常 数 ， 则 15 22 PX （ ） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 7 【考点】离散型随机分布列的性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】X的分布列为 1111111 11 1 22 33 44 52233445 pppp p ， 5 4 p 155115 1(2) 2241 2236 PXP XP X 【答案】D； 【例8】 在第1 3 6 8 16， ，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽 车） ，有一位乘客等候第6路或第16路汽车假定当时各路汽车首先到站的可 能性都是相等，则
18、首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】略 【答案】 2 5 ； 【例9】 （2010 广东高考） 已知随机量X服从正态分布3 1N，且240.6826PX，则4P X （ ） A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.1585 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】2010 年，广东高考 【解析】当 3,1XN 时，有 3 0, 1 1 X N ，即 30.6826PX -11 ， 1 30.68260.3413 2 PX 01 ， 于是 43 10.50.
19、34130.1587P XP X 【答案】B； X 1 2 3 4 P 12 p 23 p 34 p 45 p 8 【例10】 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 1 7 ，现有甲、 乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回， 直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能 的，用X表示取球终止所需要的取球次数 求袋中所有的白球的个数； 求随机变量X的概率分布； 求甲取到白球的概率 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 设袋中原有n个白球，由题意知 2 2 7 (1)
20、C1(1) 2 76 7C76 2 n n n n n ， 可得3n 或2n （舍去）即袋中原有3个白球 由题意，X的可能取值为1 2 3 4 5， ， ， 3 (1) 7 P X ， 432 2 767 P X ， 43 36 (3) 76535 P X ， 43233 (4) 765435 P X ， 432 1 31 (5) 7654335 P X 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 因为甲先取， 所以甲只有可能在第一次， 第三次和第5次取球， 记“甲取到白球” 为事件A， 则 22 ( )135 35 P AP XP XP X
21、【例11】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现 红球与绿球的概率都是 1 2 ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次 出现红球、绿球的概率分别为 12 33 ，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿 球的概率分别为 32 55 ，；记 第(*)n nN次按下按钮后出现红球的概率为 n P 求 2 P的值； 当2nnN， 时，求用 1n P表示 n P的表达式； 求 n P关于n的表达式 【考点】离散型随机分布列的计算 【难度】5 星 9 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略 【答案】 2 P是“第二次按下按钮后出现红球” 若第一次，第二次均出现红球，
22、则概率为： 1 11 2 36 第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为： 1 33 2 510 故所求概率为： 2 137 61015 P 第1n次按下按钮出现红球的概率为： 1( 2) n Pn ， 则出现绿球的概率为： 1 1 n P 若第1n次，第n次均出现红球，其概率为： 1 1 3 n P 若第1n次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为： 1 3 (1) 5 n P 于是 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP ； 由 111 1343 (1) 35155 nnnn PPPP ， 引入代定参数x，使得 1 4 () 15 nn PxPx 上式即为 1 419 151
23、5 nn PPx ，与 n P的表达式对比 193 155 x，因此 9 19 x 于是 11 11 9494941 ()()()() 19151915191538 nn nn PPP 1 419 ()(2) 153819 n n Pnn N， 版块二：几类典型的随机分布 1 超几何分布 【例12】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取 到新球的个数的期望值是 【考点】超几何分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】超几何分布， 47 2.8 10 【答案】2.8； 【例13】 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，
24、求该委员会中女 性委员人数的概率分布、期望值与方差 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 10 【解析】设女性委员的人数为X，则X服从参数为(8 3 5)，的超几何分布，其概率分布 为 1153010 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X， 期望 3 515 () 88 E X ，方差 2 5 (85)(83)3225 ()0.5022 8(8 1)448 D X 【答案】概率分布： 1153010 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X， 期望： 15 8 ，方差：0.5022 【例14】 在12个同类型
25、的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且 取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数求 ，的期望值 及方差 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】抽取样本连续抽取 3 次，也可认为一次抽取 3 个，所以服从参数为12 2 3， ，的 超几何分布服从参数为12 10 3， ，的超几何分布且3 于是 2 2 3153(123)2(122)15 3 122212 (121)44 EEED ， 2 15 ( 1) 44 DD 【答案】 1515 2244 EED， 15 44 D 【例15】 某人可从一个内有 2 张100元，3 张50元
26、的袋子里任取 2 张，求他获得钱数的 期望值 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 021120 232323 222 555 C CC CC C361 (0)(1)(2) C10C10C10 P XP XP X， 0 1 2X ，时他所获得的钱数分别为100 150 200， 因此他获得钱数的期望值为： 100 (0)150 (1)200 (2)140P XP XP X元 方法二：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 由公式知 224 55 EX
27、 因此他获得钱数的期望值为： 44 10050(2)140 55 元 【答案】140 11 【例16】 某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一 张，求孙儿获得钱数的期望值 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：设他取出100元的张数为X，则X服从参数为5 1 2，的超几何分布 0211 1414 22 55 C CC C64 (0)(1) C10C10 P XP X， 0 1X ，时他所取出的钱数分别为20 110， 因此他取出钱数的期望值为：20 (0)110 (1)124456P XP X 孙儿获得钱数的期望值为
28、1 5628 2 方法二：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 1 2，的超几何分布 由公式知 1 22 55 EX 因此他取出钱数的期望值为： 22 10010(2)56 55 元 【答案】56 【例17】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中 的 6 题，乙能答对其中的 8 题规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行 测试，至少答对 2 题才算合格 求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差； 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 依题意，X可能取的值为0 1 2 3，
29、， 3 64 3 10 CC ()012 3 C kk P Xkk ， ， ， 甲答对试题数X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 甲答对试题数X的数学期望 13119 ()0123 3010265 E X 2222 91939191 ()0123 5305105256 D X 14 25 ； （注：X服从参数为10 6 3， ，的超几何分布，故由公式得 3 69 () 105 E X ） 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B， 则 112 ( ) 263 P A ， 213 828 3 10 C CC565614 ( ) C12015 P B 因为事件
30、A、B相互独立， 12 法一： 甲、乙两人考试均不合格的概率为 2141 ()( ) ( )11 31545 P A BP A P B 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 144 1()1 4545 PP A B 法二： 甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()PP A BP A BP A B ( ) ( )( ) ( )( ) ( )P A P BP A P BP A P B 2111421444 31531531545 【答案】 甲答对试题数X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 9 () 5 E X ()D X 14 25 ； 44 45
31、2 二项分布 【例18】 已知随机变量服从二项分布， 1 (4) 3 B，则(2)P等于 【考点】二项分布 【难度】1 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 222 4 118 C ( ) (1) 3327 【答案】 8 27 ； 【例19】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4， 则他能及格的概率为_（保留到小数点后两位小数） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【 解 析 】 他 能 及 格 则 要 解 对4道 题 中 解 对3道 或4道 ： 解 对3道 的 概 率 为 33 4 ( )C0.40.6P A ，解对4道的概率为
32、 44 4 ( )C 0.4P B ，且A与B互斥， 他能及格的概率为 3344 44 ()C0.40.6C0.40.18P AB 【答案】0.18； 13 【例20】 从一批由 9 件正品，3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件， 求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字） 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】有放回地抽取 5 件，视为 5 重 Bernoulli 实验 设 A 表示“一次实验中抽到次品”， 31 ( ) 124 P A 记X为抽到的次品数，则 1 (5) 4 XB，于是 223 5 11 (2)C ( )
33、 (1)0.26 44 P X 【例21】 某厂生产电子元件， 其产品的次品率为5%， 现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】的取值分别为 0、1、2 =0 表示抽取两件均为正品， 02 2 (0)C (1 0.05)0.9025P =1 表示抽取一件正品一件次品， 1 2 (1)C (1 0.05) 0.050.095P =2 表示抽取两件均为次品， 22 2 (2)C (0.05)0.0025P 的概率分布列为： 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.002
34、5 (1)0.0950.00250.0975P 【例22】 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券 一张，每张奖券中奖的概率为 1 5 ，若中奖，则家具城返还顾客现金200元某 顾客消费了3400元，得到 3 张奖券 求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； 求家具城至少返还该顾客现金200元的概率 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 14 【答案】家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中 奖所求概率为 12 3 1448 C ( ) ( ) 55125 p 设家具城至少返还给该顾客现金200
35、元为事件A，这位顾客的三张奖券有且 只有一张中奖为事件 1 A，这位顾客有且只有两张中奖为事件 2 A，这位顾客有且 只有三张中奖为事件 3 A，则 123 AAAA，且 123 AAA， ，是互斥事件 123 ( )()()()P AP AP AP A 122233 333 14141 C ( ) ( )C ( )( )C ( ) 55555 48121 125125125 61 125 也可以用间接法求： 3 461 ( )1( )1( ) 5125 P AP A 【例23】 （05 浙江） 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是 1 3 ，从B中摸出一个红球的
36、概率为p 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止 求恰好摸 5 次停止的概率； 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布 若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一 个红球的概率是 2 5 ，求p的值 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2005 年，浙江高考 【解析】略 【答案】恰好摸 5 次停止，则第 5 次摸到的是红球，前面 4 次独立重复试验摸到两次 红球，所求概率为： 222 4 1218 C ( ) ( ) 33381 随 机 变 量的 取 值 为0 1 2 3， ， 由n次 独
37、 立 重 复 试 验 概 率 公 式 ( )C(1) kkn k nn P kpp ，得 05 5 132 (0)C(1) 3243 P， 14 5 1180 (1)C(1) 33243 P， 223 5 1180 (2)C( )(1) 33243 P， 3280217 (3)1 24381 P 设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球，且A中红球数为 1 3 m，B中红 球数为2mp，由 1 2 2 3 35 mmp m ，解得 13 30 p 15 【例24】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影 响如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于多
38、大 的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？ 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 分析：4台发动机中要有2台 （或3、4台） 正常运行， 而这2台可以是任意的 故 属n次独立重复试验问题2台发动机的情形同理建立不等式求解 解：四发动机飞机成功飞行的概率为 22233144 444 C(1)C(1)CPPPPP 2234 6(1)4(1)PPPPP 二发动机飞机成功飞行的概率为 1222 22 C(1)C2 (1)PPPPPP 要 使 四 发 动 机 飞 机 比 二 发 动 机 飞 机 安 全 ， 只 要 22342 6(1)4(1)2 (1)
39、PPPPPPPP 2 (1) (32)0P PP，解得 2 1 3 P 答：当发动机不出故障的概率大于 2 3 时，四发动机飞机比二发动机飞机安全 注：计算飞机成功飞行的概率时可从反面考虑：四发动机为 004113 44 1 C(1)C(1)PPPP，二发动机为 002 2 1 C(1)PP，这样更简单 【例25】 已知(10 0.8)XB，求()E X与()D X 【考点】二项分布 【难度】1 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】由二项分布的期望与方差公式得()8()(1)1.6E XnpD Xnpp， 【例26】 已知随机变量X服从参数为6 0.4，的二项分布，则它的期望(
40、)E X ， 方差()D X 【考点】二项分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略 【答案】2.4 1.44， 【例27】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上 16 的次数为，则的数学期望是（ ） A20 B25 C30 D40 【考点】二项分布 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】抛掷一次，4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率是 2 4 4 C3 28 ，故 3 (80) 8 B，因此数学期望为 3 8030 8 ，选C 【答案】C； 【例28】 某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（mn）个人过生
41、日的天数 为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值 【考点】二项分布 【难度】5 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】n个人在哪天过生日可看成n次独立重复试验，设某天过生日的人数为Y，则 1 () 365 YB n，因此 1364364 ()C () ()C 365365365 n m mmn mm nn n P Ym ， 365天 每 天 有 多 少 人 过 生日 ， 又 可 看 作365次 独 立 重 复 试 验 ， 因 此 (365()XBP Ym， 由二项分布的期望值公式知： 1 364 ()365()C 365 n m m n n E XP Ym 没有人过
42、生日的天数期望值为 0 11 364364 C 365365 nn n nn 恰有一人过生日的天数期望值为 11 1 11 364364 C 365365 nn n nn n 因此至少有两人过生日的天数的期望值为： 1 11 364364 365 365365 nn nn n 【例29】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下 落 小球在下落的过程中， 将3次遇到黑色障碍物， 最后落入A袋或B袋中 已 知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概 率都是 1 2 求小球落入A袋中的概率( )P A； 在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中 的小球个数，试求
43、3的概率和的数学期望 B A 17 【考点】二项分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B， 则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下 或一直向右落下，故 33 111 ( ) 224 P B ， 从而 13 ( )1( )1 44 P AP B ； 显 然 ， 随 机 变 量 3 4 4 B ， 故 3 3 4 312 7 (3 )C 446 4 P ， 3 43 4 E 3 正态分布 【例30】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ） A 2 () 2 1 ( ) 2 x r f xe B 2 2 2 ( ) 2 x f xe C 2 (1) 4 1 ( ) 2 2 x f xe D 2 2 1 ( ) 2 x f xe 【考点】正态分布 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B； 【例31】 对于标准正态分布0 1N，的概率密度函数 2 2 1 2 x f xe ， 下列说法不正确的 是（ ） A f x为偶函数 B f x最大值为 1 2 C f x在0x 时是单调减函数，在0x时是单调增函数 D f x关于1x 对称 【考点】正态分布 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】( )f x关于0x 对称 【答案】D； 18
