1、 一、选择题一、选择题 9 （20192019温州）温州）已知二次函数 y=x 2-4x+2，关于该函数在-1x3 的取值范围内，下列说法正确的是 （ ） A有最大值-1，有最小值-2 B有最大值 0，有最小值-1 C有最大值 7，有最小值-1 D有最大值 7，有最小值-2 【答案答案】D 【解析】【解析】二次函数 y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，该函数在-1x3 的取值范围内，当 x=2 时，y 有最小值-2；当 x=-1 时，y 有最大值 7故选 D. 7 （2019 绍兴绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(xxy经过变换后得到抛物线)5)(3(xxy， 则这个变换可以是
2、 ( ) A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左平移 8 个单位 D.向右平移 8 个单位 【答案】【答案】B 【解析】【解析】y（x+5） （x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16） y（x+3） （x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16） 所以将抛物线 y（x+5） （x3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y（x+3） （x5） ，故选 B 10 （2019嘉兴）嘉兴）小飞研究二次函数y（xm） 2m+1（m 为常数）性质时如下结论： 这个函数图象的顶点始终在直线yx+1 上； 存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； 点A
3、（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22m，则y1y2； 当1x2 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m2 其中错误结论的序号是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】二次函数y（xm） 2m+1（m 为常数）, 顶点坐标为（m，m+1）且当xm时，ym+1, 这个函数图象的顶点始终在直线yx+1 上, 故结论正确； 假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y0，得（xm） 2m+10，其中 m1， 解得：xm，xm+ ， 顶点坐标为（m，m+1） ，且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, |m
4、+1|m（m）|, 解得：m0 或 1, 存在m0 或 1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论正确； x1+x22m, , 二次函数y（xm） 2m+1（m 为常数）的对称轴为直线xm, 点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离, x1x2，且10, y1y2, 故结论错误； 当1x2 时，y随x的增大而增大，且10, m的取值范围为m2 故结论正确 故选 C 10 （20192019杭州）杭州）在平面直角坐标系中，已知 ab，设函数 y=（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 M 个交点，函数 y=（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 N 个交点，则（
5、） AM=N-1 或 M=N+1 BM=n-1 或 M=N+2 CM=N 或 M=N+1 DM=N 或 M=N-1 【答案答案】A 【解析】【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与 x 轴的交点个数，若 一次函数，则与 x 轴只有一个交点，据此解答y=（x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+1，（a+b）2-4ab=（a-b）2 0，函数 y=（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 2 个交点，M=2，函数 y=（ax+1） （bx+1）=abx2+（a+b）x+1， 当 ab0 时， （a+b） 2-4ab=（a-b）20，函数 y=（ax+1）
6、 （bx+1）的图象与 x 轴有 2 个交点，即 N=2，此时 M=N； 当 ab=0 时，不妨令 a=0，ab，b0，函数 y=（ax+1） （bx+1）=bx+1 为一次函数，与 x 轴有一个交点，即 N=1，此时 M=N+1；综上可知，M=N 或 M=N+1故选 C 11 （2019烟台）烟台）已知二次函数 2 yaxbxc的 y 与 x 的部分对应值如下表： x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线2x；当04x时，0y ；抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4；若 1 ( ,2)A x， 2 (,3)B x是抛物线上两点
7、，则 12 xx 其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案答案】B 【解题过程】【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以 结论结论正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与 x 轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的，所以抛物线的 对称轴为直线对称轴为直线2x且抛物线与且抛物线与 x 轴的两个交点间的距离为轴的两个交点间的距离为 4，所以结论和，所以结论和正确，有抛物线的图象可以
8、正确，有抛物线的图象可以 看出当看出当04x时，时，0y ，所以结论，所以结论错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为 2 或或 3 时，对于时，对于 的点均有两个，若的点均有两个，若 1 ( ,2)A x， 2 (,3)B x是抛物线上两点，既有可能是抛物线上两点，既有可能 12 xx，也有可能，也有可能 12 xx，所以结论，所以结论 错误错误 7 （2019 绍兴绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(xxy经过变换后得到抛物线)5)(3(xxy， 则这个变换可以是 ( ) A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左
9、平移 8 个单位 D.向右平移 8 个单位 【答案】【答案】B 【解析】【解析】y（x+5） （x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16） y（x+3） （x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16） 所以将抛物线 y（x+5） （x3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y（x+3） （x5） ，故选 B 10 （2019益阳）益阳）已知二次函数cbxaxy 2 如图所示，下列结论:ae0，b-2a0，acb4 2 0， a-b+c0，正确的是（ ） A. B. C. D. 第 10 题图 【答案】A 【解析】抛物线开口向下，且与 y 的正半轴相交，a0，c0，ac0，故正确； 对称轴在
10、-1 至-2 之间，1 2 2 a b ，4ab2a，b-2a0，故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点，=acb4 2 0，错误； 当 x=-1 时，y=a-b+c0，错误. 正确的说法是.故选 A. 11 （2019娄底）娄底） 二次函数 2 yaxbxc的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ） abc0 ；故结论错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点得 2 40bac，故结论错误； 由图象知对称轴1 2 b x a 得1 2 b a ；由 a2a,即 2a0； 0abcabc ，即 2 2 0acb； 2 2 acb故结论正确 故答案 A 正确 1. （2019济宁）将抛物线 yx26
11、x5 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线 解析式是（ ） Ay(x4)26 By(x1)23 Cy(x2)22 Dy(x4)22 【答案】D 【解析】yx26x5 (x3) 24，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得 y (x31) 242，即 y(x4)22 2. (2019巴中)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论b24ac,abc0, 3. a+b+c0,即 b24ac,故正确;:图象开口向下,故 a0,因为对称轴为 x1,所以1 2 b a ,所以 2ab,故 b0,错误; :a0；(2)-2 和 3 是关于 x 的方
12、程 ax 2+bx+c=t 的两 个根； （3）00;由图表可知x=0时， y=-2， x=1时， y=-2,可得对称轴为直线 2 1 x， 所以 b0 可得 3 8 a，当 x=-1 时，m=a-b-2=2a-2 3 10 ,因为-1 和 2 关于对称轴对称，可得 m=n，所以 m+n 3 20 ，故（3）错误，故选 C. 【知识点】二次函数图像的性质. 7. （2019衢州）二次函数 y=（x-1）2+3 图象的顶点坐标是（A） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3） 【答案】A 【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数 y=a（x-h）2+k 的
13、顶点坐标为（h，k），所以 y=（x-1） 2+3 的顶点坐标是（1.3），故选 A. 8. （2019重庆 B 卷）物线 y的对称轴是（ ） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 263- 2 xx 2x2x1x1x 【答案】 【解析】设二次函数的解析式是 y=， 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶 点纵坐标为.所以抛物线 y的对称轴是直线 .故选 9. （2019 自贡） 一次函数y=ax+b与反比例函数y=c x的图象如图所示， 则二次函数y=ax 2+bx+c的大致图象是 （ ） 【答案】A. 【解析】双曲线 y= 经过一、三象限， c0. 抛物线与 y 轴交于正半轴. 直线
14、y=ax+b 经过第一、二和四象限， a0，b0，即 b 20. 抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下，对称轴在 y 轴的右侧. 故选 A. 9.（2019遂宁）二次函数 y=x 2-ax+b 的图像如图所示，对称轴为直线 x=2，下列结论不正确的是 ( ) A. a=4 B.当 b= -4 时，顶点的坐标为（2，-8） C.当 x= -1 时，b -5 D.当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【解析】选项 A,由对称轴为直线 x=2 可得2 2 a- -，a=4，正确；选项 B,a=4,b= -4 代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当 x=2 时，y=-8,顶点的坐标为
15、（2，-8） ，正确；选项 C，由图像可知，x=-1 cbxax 2 a b x 2 a b 2 a ac 4 4 263- 2 xx1x 时，y=0，代入解析式得 B=-5，错误；选项 D 由图像可以看出当 x3 时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增 大，正确，故选 C. 二、填空题二、填空题 14. （2019遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 落在坐标原点，点 A,点 C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上， G 为线段 OA 上一点， 将OCG 沿 CG 翻折， O 点恰好落在对角线 AC 上的点 P 处， 反比例函数 x y 12 经过点 B，二次函数 y
16、=ax 2+bx+c(a0)的图像经过 C（0,3） ，G、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式） 【答案】3 4 11 2 1 2 xxy 【解析】矩形 OABC，C（0,3）B 点的纵坐标为 3，反比例函数 x y 12 经过点 B，B(4,3） ，A（4,0） ， OA=4，C（0,3） ，OC=3，RtACO 中，AC=5.设 G（m,0)则 OG=m翻折GP=OG=m,CP=CO=3,AP=2，AG=4-m, RtAGP 中，m 2+22=(4-m)2,m= 2 3 ,G( 2 3 ,0） ，A（4,0）C（0,3）G( 2 3 ,0）解析式为3 4 11 2 1 2 xxy
17、15 (2019 广元)如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)过点(1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设 M4a+2b+c,则 M 的取值 范围是_. 第 15 题图 【答案】60,a2,20）和 y=ax2（a0）都符合条件， 故答案可以为 y=x2. 2. （2019济宁）如图，抛物线 yax2c 与直线 ymxn 交于 A(1，p)，B(3，q)两点，则不等式 ax2mx cn 的解集是_ 【答案】x3 或 x1 【解析】由所给的图象可知，x3 或 x1 时，ax 2cmxn 3. (2019泰安)若二次函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2,则关于 x 的方程 x2+bx5
18、2x13 的解为 _. 【答案】x12,x24 【解析】二次函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2,2 2 b ,b4,原方程化为 x24x52x13, x y （1，1） A5 A4 A3A2 A1 A Ox y （1，1） A5 A4 A3A2 A1 A O x y B A O 解之,得 x12,x24. 4. （2019达州）如图，抛物线 12 2 mxxy （m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间，顶点为 B. 抛物线 12 2 mxxy 与直线 y=m+2 有且只有一个交点；若点 M（-2， 1 y)、点 N（ 1 2 ， 2 y)、点 P（2，
19、 3 y)在该函数图象上，则 1 y 2 y 3 y；将该抛物线向左平移 2 个单位，在向下平移 2 个单位，所得的抛物线 解析式为 mxy 2 ) 1( ；点 A 关于直线 x=1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m=1 时， 四边形 BCDE 周长的最小值为 234 . 其中正确判断的序号是_. 【答案】 【解析】抛物线12 2 mxxy与直线 y=m+2 的交点为： 122 2 mxxm , 得：012 2 xx , 因为04 2 acb , 抛物线12 2 mxxy与直线 y=m+2 有且只有一个交点，正确; 由图可得： 231 yyy，故错误； 12 2
20、mxxy=21- 2 mx）（，将该抛物线向左平移 2 个单位，在向下平移 2 个单位，所得的抛物线 解析式为mxy 2 ) 1(，故正确； 点 A 关于直线 x=1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m=1 时，四边形 BCDE 周长的最小 值为234 ，故正确. 5.（2019凉山）当 0x3 时，直线 y=a 与抛物线 y=(x-l) 2-3 有交点，则 a 的取值范围是 【答案】【答案】-3a-2 【解析】【解析】 抛物线 y=(x-1) 2-3 的顶点坐标为 （1， -3） ， 当 x=0 时， y=-2， 当 x=3 时， y=1， 当 0x3 时， -3
21、y-2， 直线 y=a 与抛物线有交点时，a 的取值范围为-3a-2. 三、解答题三、解答题 一、选择题一、选择题 21 （20192019 浙江省温州市，浙江省温州市，2121，1010 分）分） （本题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=- 1 2 x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） （1）求点 A，B 的坐标，并根据该函数图象写出 y0 时 x 的取值范围； （2）把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1若点 B1向左平移 n 个单位，将与该二次函数图象上的点 B2重合；若 点 B1向左平移(n+6)个单位，将与该二次函数图象上
22、的点 B3重合已知 m0，n0，求 m，n 的值 【解题过程】【解题过程】(1) 令 y=0，则- 1 2 x2+2x+6=0，x1=-2，x2=6，A(-2，0)，B(6，0). 由函数图像得，当 y0 时，x 的取值范围为-2x6； (2) 由题意得 B2(6-n，m)，B3(-n，m)， 函数图像的对称轴为直线 x= 26 2 =2. 点 B2、点 B3在二次函数图象上且纵坐标相同， 6( n) 2 n =2，n=1， m=- 1 2 (-1)2+2(-1)+6= 7 2 ， m，n 的值分别为 7 2 ，1. 23 （2019 山东威海，山东威海，23，10）在画二次函数 yax2bx
23、c（a0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如 下 x 1 0 1 2 3 y甲 6 3 2 3 6 乙写错了常数项，列表如下： x 1 0 1 2 3 y乙 2 1 2 7 14 通过上述信息，解决以下问题： （1）求原二次函数 yax2bxc（a0）的表达式； （2）对于二次函数 yax2bxc（a0） ，当 x 时，y 的值随 x 的值增大而增大； （3）若关于 x 的方程 ax2bxck（a0）有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 【解题过程】【解题过程】 （1）因为根据甲同学的错误可知 c3， 根据乙同学提供的数据，选择 x1，y2；x1，y2 代入 得，解得， y3x22x3
24、； （2）y3x22x3 的对称轴为直线 x， 二次项系数为-3，故抛物线开口向下， 当 x时，y 的值随 x 的值增大而增大； 故答案为； （3）方程 ax2bxck（a0）有两个不相等的实数根， 即3x22x3k0 有两个不相等的实数根， 412（3k）0， 解得 k. 22(2019泰州泰州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数图象的顶点坐标为(4,3),该图象与 x 轴相交于点 A、 B,与 y 轴相交于点 C,其中点 A 的横坐标为 1. (1)求该二次函数的表达式; (2)求 tanABC. 第 22 题图 【解题过程】【解题过程】(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,3
25、),设该二次函数表达式为 ya(x4)23,因为图象与 x 轴 相交于点 A,A 的坐标为(1,0),把 A 的坐标代入 ya(x4)23,解得 a 1 3 ,所以 y 1 3 (x4)23; (2)令 x0,得 y 7 3 ,所以 C(0, 7 3 ),OC 7 3 ,令 y0,得,x11,x27,所以 B(7,0),OB,所以在 RtOBC 中,tanABC OC OB 1 3 ; 1. (2019宁波)如图,已知二次函数 yx2+ax+3 的图形经过点 P(2,3). (1)求 a 的值和图象的顶点坐标; (2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上: 当 m2 时,求 n 的值; 若点 Q
26、 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围. 解：解： (1)把 P(2,3)代入 yx2+ax+3,得 3(2)2+a(2)+3,解之,得 a2,yx2+2x+3(x+1)2+2,顶点坐标为( 1,2); (2)把 x2 代入 yx2+2x+3,得 y11,当 m2,时,n11; 当点 Q 到 y 轴的距离小于 2 时,即2f2 26 （2019郴州）已知抛物线 yax2 bx 3 与 x 轴分别交于 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点 如图 1，设 k AF AD ，
27、当 k 为何值时，CF 1 2 AD ？ 如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明 理由 答案：解： （1）因为抛物线 yax2 bx 3 与 x 轴分别交于 A（3，0） ，B（1，0）两点， 0933 03 ab ab ，解得 1 2 a b 抛物线的表达式为 yx22x3， yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 D 的坐标为（1，4） （2）A、D 两点的坐标分别为：A（3，0） ，D（1，4） ， 可设过 A、D 两点的直线的表达式为 ymxn， 依题意，得 03 4 mn mn ，解得 2 6 m n 直线 AD 的
28、表达式为 y2x6 又抛物线 yax2 bx 3 与 y 轴的交点为 C， C 点的坐标为（0，3） ， AD23（1）2（04）220， AC2（30）2（03）218， DC2（10）2（43）22， 即 AD2AC2DC2， ACD 是直角三角形，且ACD90， 若 CF 1 2 AD，则点 F 为 AD 的中点， 此时，k AF AD 1 2 ， 当 k 1 2 时，CF 1 2 AD 因为点 F 在 AD 上，所以可设 F 点的坐标为（t，2t6） AF 22 ( 3)(026)5(3t)tt ， OF 222 (26)52436tttt OA3 由（2）知ABC 各边的长为 AC1
29、83 2，BC10，AB4， A B O C D F y y y O O A A B B C C D D F F 又 tanDAC DC AC 2 3 2 1 3 ，tanOCB OB OC 1 3 DACOCB， OAOC3，OACOCA DAODACOACOCBOCAACB， （i） 当 AFOA CBAC 时，我们有 5 33 103 2 t ，解得 t2 即当 t2 时，OFAABC，此时 F 点的坐标为（2，2） ； （ii）当 AFAO CACB 时，我们有 5 33 3 210 t ，解得 t 6 5 ， 即当 t 6 5 时，FOAABC，此时点 F 的坐标为（ 6 5 ，18
30、 5 ） ； 综上所述，当点 F 的坐标为（2，2）或（ 6 5 ， 18 5 ）时，以 A，F，O 为顶点的三角形是 否与ABC 相似 25.(2019东营) 已知抛物线 y ax2 bx 4 经过点 A （2，0） B （-4，0）与 y 轴交于点C . （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1， 点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3） 如图 2， 线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E， 垂足为 D， M 为抛物线的顶点， 在直线 DE 上是否存在一点 G， 使CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，
31、请说明理由. 解析：本题属于二次函数的的综合题、压轴题 （1）已知抛物线 y ax2 bx 4 经过直接把点 A （2，0） B （-4， 0） 代入y ax2 bx 4可求解析式； （2） 连接 OP,设点 P(x，1 2 x2 x 4)，其中x ， 四边形 ABPC 的面积为 S,则S SAOC SOCP SOBP （x+2） 2 +16 ， 再再根据根据二次函数的性质性 质求求的最大值最大值时 P 点的坐标； （3） 连接 AM 交直线 DE 于点 G， 此时， CMG 的周长最小， 确定出 AM、 DE 的解析式，然后联立求得点 G 的坐标 答案：解： （1）抛物线 y ax2 bx
32、4 经过点 A （2，0） ） 、B （-4，0） ， 4240 16440 ab ab ，解得 1 2 1 a b 这条抛物线的解析式为y 1 2 x2 x 4. （2）如图 1，连接 OP,设点 P(x， 1 2 x2 x 4)，其中x ，四边形 ABPC 的面积为 S, 由题意 得 C(0，-4)， S SAOC SOCP SOBP = 1 2 2 4 1 2 4 x) 1 2 4 （ 1 2 x2 x 4） x x2 x x2 x （x+2） 2 +16 ， -10，开口向下，S 有最大值. 当 x=-2 时，四边形 ABPC 的面积最大， 此时， y 1 2 x2 x 4= 4 ，即
33、 P（-2，-4） 因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为（-2，-4）. （3） y 1 2 x2 x 4= 1 2 （x+1） 2-9 2 ， 顶点 M（1，- 9 2 ） ， 如图 2，连接 AM 交直线 DE 于点 G，此时，CMG 的周长最小， 设直线 AM 的函数解析式为 y=kx+b，且过点 A （2，0） ，M（1，- 9 2 ） ， 根据题意，得 20 9 2 kb kb ，解得 3 2 3 k b 直线 AM 的函数解析式为 y 3 2 x 3， 在 RtAOC 中， AC 22 AOOC= 22 24=2 5， D 为 AC 的中点， AD 1 2 AC
34、5， ADEAOC， C AD AO AE A ， 5 22 5 AE ， AE ， OE AE AO ， E （-3， 0）. 由图可知 D（1，-2） ， 设直线 DE 的函数解析式为 y=mx+n，且过 D（1，-2） ， E （-3，0） ， 根据题意，得 2 30 mn mn ，解得 1 2 3 2 m n ， 直线 DE 的函数解析式为 y 1 2 x- 3 2 由 3 3 2 13 22 yx yx ，得 3 4 15 8 x y ， G（ 3 4 ， 15 8 ）. 因此在直线 DE 上存在一点 G，使CMG 的周长最小，此时G（ 3 4 ， 15 8 ）. 23 （2019新
35、疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2bx+c 经过点 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4） 三点 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移15 4 个单位，再向左平移 h（h0）个单位长度，得到新抛物线若新抛物线 的顶点 D在ABC 内，求 h 的取值范围； （3）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交（1）中的抛物线于点 Q，当 PQC 与ABC 相似时，求PQC 的面积 解析： 本题考查了二次函数与相似三角形判定的综合（1） 直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可； （2
36、）用含有字母 h 的式子表示出平移后顶点 D的坐标，然后求出直线 AC 的解析式，只要点 D在直线 AC 的 右边即符合题意，从而可以求出 h 的取值范围； （3）求出CPQ=ABC=45，设点 P 的坐标，利用两边成比 例，分两种情况讨论求出 m 的值，从而求出PQC 的面积 答案：解：将 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点坐标代入抛物线 y=ax2bx+c， 得： 0 1640 4 abc abc c 解得 ： 1 3 4 a b c 所以，抛物线的解析式为 y=x23x4 化为顶点式为： 2 325 () 24 yx 所以顶点 D 的坐标（ 3 2 ， 25 4 ） （2）
37、 25155 442 ， D（ 3 2 h， 5 2 ） 设直线 AC 解析式为：y=kx4， 则：k4=0 解得：k=4 直线 AC 的解析式为 y=4x4 把 5 2 y 代入，得： 5 44 2 x 解得 ： 3 8 x 要使平移后点 D在ABC 内，则 33 28 h 解得： 15 8 h 所以 h 的取值范围为 15 0 8 h （3）OB=OC=4， OBC=OCB=45 PQOC， CPQ=OCB=45 CPQ=OBC=45 所以，要使PQC 与ABC 相似，只需两组对应边成比例即可 由 B（4，0） ，C（0，4）可得直线 BC：y=x4， 设 P（m，m4） ，则 Q（m，m
38、23m4） PQ=（m23m4）（m4）=m24m SPCQ= 22 11 (4 )(4) 22 mmmmm 过点 P 作 PMy 轴，则 PM=CM=m， PC=2m， AB=4（1）=5，BC=4 2 若CPQABC， 则有 CPPQ ABBC ， 即 2 24 54 2 mmm 解得 1 12 5 m ，m2=0（舍去） 此时 SPCQ= 2 11212576 ()(4) 255125 若CPQCBA， 则有 CPPQ BCAB ， 即 2 24 54 2 mmm 解得 1 11 4 m ，m2=0（舍去） 此时 SPCQ= 2 11111605 ()(4) 244128 所以，PQC
39、的面积为 576 125 或 605 128 21. （2019云南）已知 k 是常数，抛物线 yx2（k2k6）x3k 的对称轴是 y 轴，并且与 x 轴有两个交点. （1）求 k 的值： （2）若点 P 在抛物线 yx2（k2k6）x3k 上，且 P 到 y 轴的距离是 2，求点 P 的坐标. 解： （1）抛物线 y=x2+（k2+k6）x+3k 的对称轴是 y 轴， 0 2 6 2 kk x，即 k2+k6=0.解得 k=3 或 k=2. 当 k=2 时，二次函数解析式为 y=x2+6，它的图象与 x 轴无交点，不满足题意，舍去， 当 k=3 时，二次函数解析式为 y=x29，它的图象与 x 轴有两个交点，满足题意.k=3. （2）P 到 y 轴的距离为 2，点 P 的横坐标为2 或 2. 当 x=2 时，y=5；当 x=2 时，y=5. 点 P 的坐标为（2，5）或（2，5）.
