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知识点18二次函数概念、性质和图象2019中考真题分类汇编

1、 一、选择题一、选择题 9 (20192019温州)温州)已知二次函数 y=x 2-4x+2,关于该函数在-1x3 的取值范围内,下列说法正确的是 ( ) A有最大值-1,有最小值-2 B有最大值 0,有最小值-1 C有最大值 7,有最小值-1 D有最大值 7,有最小值-2 【答案答案】D 【解析】【解析】二次函数 y=x 2-4x+2=(x-2)2-2,该函数在-1x3 的取值范围内,当 x=2 时,y 有最小值-2;当 x=-1 时,y 有最大值 7故选 D. 7 (2019 绍兴绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线)3)(5(xxy经过变换后得到抛物线)5)(3(xxy, 则这个变换可以是

2、 ( ) A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左平移 8 个单位 D.向右平移 8 个单位 【答案】【答案】B 【解析】【解析】y(x+5) (x3)(x+1)216,顶点坐标是(1,16) y(x+3) (x5)(x1)216,顶点坐标是(1,16) 所以将抛物线 y(x+5) (x3)向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y(x+3) (x5) ,故选 B 10 (2019嘉兴)嘉兴)小飞研究二次函数y(xm) 2m+1(m 为常数)性质时如下结论: 这个函数图象的顶点始终在直线yx+1 上; 存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形; 点A

3、(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2; 当1x2 时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m2 其中错误结论的序号是( ) A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】二次函数y(xm) 2m+1(m 为常数), 顶点坐标为(m,m+1)且当xm时,ym+1, 这个函数图象的顶点始终在直线yx+1 上, 故结论正确; 假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y0,得(xm) 2m+10,其中 m1, 解得:xm,xm+ , 顶点坐标为(m,m+1) ,且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, |m

4、+1|m(m)|, 解得:m0 或 1, 存在m0 或 1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论正确; x1+x22m, , 二次函数y(xm) 2m+1(m 为常数)的对称轴为直线xm, 点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离, x1x2,且10, y1y2, 故结论错误; 当1x2 时,y随x的增大而增大,且10, m的取值范围为m2 故结论正确 故选 C 10 (20192019杭州)杭州)在平面直角坐标系中,已知 ab,设函数 y=(x+a) (x+b)的图象与 x 轴有 M 个交点,函数 y=(ax+1) (bx+1)的图象与 x 轴有 N 个交点,则(

5、) AM=N-1 或 M=N+1 BM=n-1 或 M=N+2 CM=N 或 M=N+1 DM=N 或 M=N-1 【答案答案】A 【解析】【解析】先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,再计算根的判别式,从而确定图象与 x 轴的交点个数,若 一次函数,则与 x 轴只有一个交点,据此解答y=(x+a) (x+b)=x2+(a+b)x+1,(a+b)2-4ab=(a-b)2 0,函数 y=(x+a) (x+b)的图象与 x 轴有 2 个交点,M=2,函数 y=(ax+1) (bx+1)=abx2+(a+b)x+1, 当 ab0 时, (a+b) 2-4ab=(a-b)20,函数 y=(ax+1)

6、 (bx+1)的图象与 x 轴有 2 个交点,即 N=2,此时 M=N; 当 ab=0 时,不妨令 a=0,ab,b0,函数 y=(ax+1) (bx+1)=bx+1 为一次函数,与 x 轴有一个交点,即 N=1,此时 M=N+1;综上可知,M=N 或 M=N+1故选 C 11 (2019烟台)烟台)已知二次函数 2 yaxbxc的 y 与 x 的部分对应值如下表: x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0 下列结论:抛物线的开口向上;抛物线的对称轴为直线2x;当04x时,0y ;抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4;若 1 ( ,2)A x, 2 (,3)B x是抛物线上两点

7、,则 12 xx 其中正确的个数是( ) A2 B3 C4 D5 【答案答案】B 【解题过程】【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以 结论结论正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与 x 轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的,所以抛物线的 对称轴为直线对称轴为直线2x且抛物线与且抛物线与 x 轴的两个交点间的距离为轴的两个交点间的距离为 4,所以结论和,所以结论和正确,有抛物线的图象可以

8、正确,有抛物线的图象可以 看出当看出当04x时,时,0y ,所以结论,所以结论错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为 2 或或 3 时,对于时,对于 的点均有两个,若的点均有两个,若 1 ( ,2)A x, 2 (,3)B x是抛物线上两点,既有可能是抛物线上两点,既有可能 12 xx,也有可能,也有可能 12 xx,所以结论,所以结论 错误错误 7 (2019 绍兴绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线)3)(5(xxy经过变换后得到抛物线)5)(3(xxy, 则这个变换可以是 ( ) A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左

9、平移 8 个单位 D.向右平移 8 个单位 【答案】【答案】B 【解析】【解析】y(x+5) (x3)(x+1)216,顶点坐标是(1,16) y(x+3) (x5)(x1)216,顶点坐标是(1,16) 所以将抛物线 y(x+5) (x3)向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y(x+3) (x5) ,故选 B 10 (2019益阳)益阳)已知二次函数cbxaxy 2 如图所示,下列结论:ae0,b-2a0,acb4 2 0, a-b+c0,正确的是( ) A. B. C. D. 第 10 题图 【答案】A 【解析】抛物线开口向下,且与 y 的正半轴相交,a0,c0,ac0,故正确; 对称轴在

10、-1 至-2 之间,1 2 2 a b ,4ab2a,b-2a0,故正确; 抛物线与 x 轴有两个交点,=acb4 2 0,错误; 当 x=-1 时,y=a-b+c0,错误. 正确的说法是.故选 A. 11 (2019娄底)娄底) 二次函数 2 yaxbxc的图象如图(5)所示,下列结论中正确的有( ) abc0 ;故结论错误; 由抛物线与 x 轴有两个交点得 2 40bac,故结论错误; 由图象知对称轴1 2 b x a 得1 2 b a ;由 a2a,即 2a0; 0abcabc ,即 2 2 0acb; 2 2 acb故结论正确 故答案 A 正确 1. (2019济宁)将抛物线 yx26

11、x5 向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线 解析式是( ) Ay(x4)26 By(x1)23 Cy(x2)22 Dy(x4)22 【答案】D 【解析】yx26x5 (x3) 24,把向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后, 得 y (x31) 242,即 y(x4)22 2. (2019巴中)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论b24ac,abc0, 3. a+b+c0,即 b24ac,故正确;:图象开口向下,故 a0,因为对称轴为 x1,所以1 2 b a ,所以 2ab,故 b0,错误; :a0;(2)-2 和 3 是关于 x 的方

12、程 ax 2+bx+c=t 的两 个根; (3)00;由图表可知x=0时, y=-2, x=1时, y=-2,可得对称轴为直线 2 1 x, 所以 b0 可得 3 8 a,当 x=-1 时,m=a-b-2=2a-2 3 10 ,因为-1 和 2 关于对称轴对称,可得 m=n,所以 m+n 3 20 ,故(3)错误,故选 C. 【知识点】二次函数图像的性质. 7. (2019衢州)二次函数 y=(x-1)2+3 图象的顶点坐标是(A) A. (1.3) B.(1,-3) C.(-1.3) D.(-1.-3) 【答案】A 【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定,二次函数 y=a(x-h)2+k 的

13、顶点坐标为(h,k),所以 y=(x-1) 2+3 的顶点坐标是(1.3),故选 A. 8. (2019重庆 B 卷)物线 y的对称轴是( ) A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 263- 2 xx 2x2x1x1x 【答案】 【解析】设二次函数的解析式是 y=, 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶 点纵坐标为.所以抛物线 y的对称轴是直线 .故选 9. (2019 自贡) 一次函数y=ax+b与反比例函数y=c x的图象如图所示, 则二次函数y=ax 2+bx+c的大致图象是 ( ) 【答案】A. 【解析】双曲线 y= 经过一、三象限, c0. 抛物线与 y 轴交于正半轴. 直线

14、y=ax+b 经过第一、二和四象限, a0,b0,即 b 20. 抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下,对称轴在 y 轴的右侧. 故选 A. 9.(2019遂宁)二次函数 y=x 2-ax+b 的图像如图所示,对称轴为直线 x=2,下列结论不正确的是 ( ) A. a=4 B.当 b= -4 时,顶点的坐标为(2,-8) C.当 x= -1 时,b -5 D.当 x3 时,y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【解析】选项 A,由对称轴为直线 x=2 可得2 2 a- -,a=4,正确;选项 B,a=4,b= -4 代入解析式可得,y=x 2-4x-4,当 x=2 时,y=-8,顶点的坐标为

15、(2,-8) ,正确;选项 C,由图像可知,x=-1 cbxax 2 a b x 2 a b 2 a ac 4 4 263- 2 xx1x 时,y=0,代入解析式得 B=-5,错误;选项 D 由图像可以看出当 x3 时,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增 大,正确,故选 C. 二、填空题二、填空题 14. (2019遂宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 落在坐标原点,点 A,点 C 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上, G 为线段 OA 上一点, 将OCG 沿 CG 翻折, O 点恰好落在对角线 AC 上的点 P 处, 反比例函数 x y 12 经过点 B,二次函数 y

16、=ax 2+bx+c(a0)的图像经过 C(0,3) ,G、A 三点,则该二次函数的解析式为(填一般式) 【答案】3 4 11 2 1 2 xxy 【解析】矩形 OABC,C(0,3)B 点的纵坐标为 3,反比例函数 x y 12 经过点 B,B(4,3) ,A(4,0) , OA=4,C(0,3) ,OC=3,RtACO 中,AC=5.设 G(m,0)则 OG=m翻折GP=OG=m,CP=CO=3,AP=2,AG=4-m, RtAGP 中,m 2+22=(4-m)2,m= 2 3 ,G( 2 3 ,0) ,A(4,0)C(0,3)G( 2 3 ,0)解析式为3 4 11 2 1 2 xxy

17、15 (2019 广元)如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)过点(1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设 M4a+2b+c,则 M 的取值 范围是_. 第 15 题图 【答案】60,a2,20)和 y=ax2(a0)都符合条件, 故答案可以为 y=x2. 2. (2019济宁)如图,抛物线 yax2c 与直线 ymxn 交于 A(1,p),B(3,q)两点,则不等式 ax2mx cn 的解集是_ 【答案】x3 或 x1 【解析】由所给的图象可知,x3 或 x1 时,ax 2cmxn 3. (2019泰安)若二次函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2,则关于 x 的方程 x2+bx5

18、2x13 的解为 _. 【答案】x12,x24 【解析】二次函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2,2 2 b ,b4,原方程化为 x24x52x13, x y (1,1) A5 A4 A3A2 A1 A Ox y (1,1) A5 A4 A3A2 A1 A O x y B A O 解之,得 x12,x24. 4. (2019达州)如图,抛物线 12 2 mxxy (m 为常数)交 y 轴于点 A,与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间,顶点为 B. 抛物线 12 2 mxxy 与直线 y=m+2 有且只有一个交点;若点 M(-2, 1 y)、点 N( 1 2 , 2 y)、点 P(2,

19、 3 y)在该函数图象上,则 1 y 2 y 3 y;将该抛物线向左平移 2 个单位,在向下平移 2 个单位,所得的抛物线 解析式为 mxy 2 ) 1( ;点 A 关于直线 x=1 的对称点为 C,点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=1 时, 四边形 BCDE 周长的最小值为 234 . 其中正确判断的序号是_. 【答案】 【解析】抛物线12 2 mxxy与直线 y=m+2 的交点为: 122 2 mxxm , 得:012 2 xx , 因为04 2 acb , 抛物线12 2 mxxy与直线 y=m+2 有且只有一个交点,正确; 由图可得: 231 yyy,故错误; 12 2

20、mxxy=21- 2 mx)(,将该抛物线向左平移 2 个单位,在向下平移 2 个单位,所得的抛物线 解析式为mxy 2 ) 1(,故正确; 点 A 关于直线 x=1 的对称点为 C,点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=1 时,四边形 BCDE 周长的最小 值为234 ,故正确. 5.(2019凉山)当 0x3 时,直线 y=a 与抛物线 y=(x-l) 2-3 有交点,则 a 的取值范围是 【答案】【答案】-3a-2 【解析】【解析】 抛物线 y=(x-1) 2-3 的顶点坐标为 (1, -3) , 当 x=0 时, y=-2, 当 x=3 时, y=1, 当 0x3 时, -3

21、y-2, 直线 y=a 与抛物线有交点时,a 的取值范围为-3a-2. 三、解答题三、解答题 一、选择题一、选择题 21 (20192019 浙江省温州市,浙江省温州市,2121,1010 分)分) (本题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=- 1 2 x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧) (1)求点 A,B 的坐标,并根据该函数图象写出 y0 时 x 的取值范围; (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1若点 B1向左平移 n 个单位,将与该二次函数图象上的点 B2重合;若 点 B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上

22、的点 B3重合已知 m0,n0,求 m,n 的值 【解题过程】【解题过程】(1) 令 y=0,则- 1 2 x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,0). 由函数图像得,当 y0 时,x 的取值范围为-2x6; (2) 由题意得 B2(6-n,m),B3(-n,m), 函数图像的对称轴为直线 x= 26 2 =2. 点 B2、点 B3在二次函数图象上且纵坐标相同, 6( n) 2 n =2,n=1, m=- 1 2 (-1)2+2(-1)+6= 7 2 , m,n 的值分别为 7 2 ,1. 23 (2019 山东威海,山东威海,23,10)在画二次函数 yax2bx

23、c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如 下 x 1 0 1 2 3 y甲 6 3 2 3 6 乙写错了常数项,列表如下: x 1 0 1 2 3 y乙 2 1 2 7 14 通过上述信息,解决以下问题: (1)求原二次函数 yax2bxc(a0)的表达式; (2)对于二次函数 yax2bxc(a0) ,当 x 时,y 的值随 x 的值增大而增大; (3)若关于 x 的方程 ax2bxck(a0)有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围 【解题过程】【解题过程】 (1)因为根据甲同学的错误可知 c3, 根据乙同学提供的数据,选择 x1,y2;x1,y2 代入 得,解得, y3x22x3

24、; (2)y3x22x3 的对称轴为直线 x, 二次项系数为-3,故抛物线开口向下, 当 x时,y 的值随 x 的值增大而增大; 故答案为; (3)方程 ax2bxck(a0)有两个不相等的实数根, 即3x22x3k0 有两个不相等的实数根, 412(3k)0, 解得 k. 22(2019泰州泰州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数图象的顶点坐标为(4,3),该图象与 x 轴相交于点 A、 B,与 y 轴相交于点 C,其中点 A 的横坐标为 1. (1)求该二次函数的表达式; (2)求 tanABC. 第 22 题图 【解题过程】【解题过程】(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,3

25、),设该二次函数表达式为 ya(x4)23,因为图象与 x 轴 相交于点 A,A 的坐标为(1,0),把 A 的坐标代入 ya(x4)23,解得 a 1 3 ,所以 y 1 3 (x4)23; (2)令 x0,得 y 7 3 ,所以 C(0, 7 3 ),OC 7 3 ,令 y0,得,x11,x27,所以 B(7,0),OB,所以在 RtOBC 中,tanABC OC OB 1 3 ; 1. (2019宁波)如图,已知二次函数 yx2+ax+3 的图形经过点 P(2,3). (1)求 a 的值和图象的顶点坐标; (2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上: 当 m2 时,求 n 的值; 若点 Q

26、 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围. 解:解: (1)把 P(2,3)代入 yx2+ax+3,得 3(2)2+a(2)+3,解之,得 a2,yx2+2x+3(x+1)2+2,顶点坐标为( 1,2); (2)把 x2 代入 yx2+2x+3,得 y11,当 m2,时,n11; 当点 Q 到 y 轴的距离小于 2 时,即2f2 26 (2019郴州)已知抛物线 yax2 bx 3 与 x 轴分别交于 A(3,0) ,B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)点 F 是线段 AD 上一个动点 如图 1,设 k AF AD ,

27、当 k 为何值时,CF 1 2 AD ? 如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标;若不相似,请说明 理由 答案:解: (1)因为抛物线 yax2 bx 3 与 x 轴分别交于 A(3,0) ,B(1,0)两点, 0933 03 ab ab ,解得 1 2 a b 抛物线的表达式为 yx22x3, yx22x3(x1)24, 抛物线的顶点 D 的坐标为(1,4) (2)A、D 两点的坐标分别为:A(3,0) ,D(1,4) , 可设过 A、D 两点的直线的表达式为 ymxn, 依题意,得 03 4 mn mn ,解得 2 6 m n 直线 AD 的

28、表达式为 y2x6 又抛物线 yax2 bx 3 与 y 轴的交点为 C, C 点的坐标为(0,3) , AD23(1)2(04)220, AC2(30)2(03)218, DC2(10)2(43)22, 即 AD2AC2DC2, ACD 是直角三角形,且ACD90, 若 CF 1 2 AD,则点 F 为 AD 的中点, 此时,k AF AD 1 2 , 当 k 1 2 时,CF 1 2 AD 因为点 F 在 AD 上,所以可设 F 点的坐标为(t,2t6) AF 22 ( 3)(026)5(3t)tt , OF 222 (26)52436tttt OA3 由(2)知ABC 各边的长为 AC1

29、83 2,BC10,AB4, A B O C D F y y y O O A A B B C C D D F F 又 tanDAC DC AC 2 3 2 1 3 ,tanOCB OB OC 1 3 DACOCB, OAOC3,OACOCA DAODACOACOCBOCAACB, (i) 当 AFOA CBAC 时,我们有 5 33 103 2 t ,解得 t2 即当 t2 时,OFAABC,此时 F 点的坐标为(2,2) ; (ii)当 AFAO CACB 时,我们有 5 33 3 210 t ,解得 t 6 5 , 即当 t 6 5 时,FOAABC,此时点 F 的坐标为( 6 5 ,18

30、 5 ) ; 综上所述,当点 F 的坐标为(2,2)或( 6 5 , 18 5 )时,以 A,F,O 为顶点的三角形是 否与ABC 相似 25.(2019东营) 已知抛物线 y ax2 bx 4 经过点 A (2,0) B (-4,0)与 y 轴交于点C . (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图 1, 点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形 ABPC 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3) 如图 2, 线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E, 垂足为 D, M 为抛物线的顶点, 在直线 DE 上是否存在一点 G, 使CMG 的周长最小?若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,

31、请说明理由. 解析:本题属于二次函数的的综合题、压轴题 (1)已知抛物线 y ax2 bx 4 经过直接把点 A (2,0) B (-4, 0) 代入y ax2 bx 4可求解析式; (2) 连接 OP,设点 P(x,1 2 x2 x 4),其中x , 四边形 ABPC 的面积为 S,则S SAOC SOCP SOBP (x+2) 2 +16 , 再再根据根据二次函数的性质性 质求求的最大值最大值时 P 点的坐标; (3) 连接 AM 交直线 DE 于点 G, 此时, CMG 的周长最小, 确定出 AM、 DE 的解析式,然后联立求得点 G 的坐标 答案:解: (1)抛物线 y ax2 bx

32、4 经过点 A (2,0) ) 、B (-4,0) , 4240 16440 ab ab ,解得 1 2 1 a b 这条抛物线的解析式为y 1 2 x2 x 4. (2)如图 1,连接 OP,设点 P(x, 1 2 x2 x 4),其中x ,四边形 ABPC 的面积为 S, 由题意 得 C(0,-4), S SAOC SOCP SOBP = 1 2 2 4 1 2 4 x) 1 2 4 ( 1 2 x2 x 4) x x2 x x2 x (x+2) 2 +16 , -10,开口向下,S 有最大值. 当 x=-2 时,四边形 ABPC 的面积最大, 此时, y 1 2 x2 x 4= 4 ,即

33、 P(-2,-4) 因此当四边形 ABPC 的面积最大时,点 P 的坐标为(-2,-4). (3) y 1 2 x2 x 4= 1 2 (x+1) 2-9 2 , 顶点 M(1,- 9 2 ) , 如图 2,连接 AM 交直线 DE 于点 G,此时,CMG 的周长最小, 设直线 AM 的函数解析式为 y=kx+b,且过点 A (2,0) ,M(1,- 9 2 ) , 根据题意,得 20 9 2 kb kb ,解得 3 2 3 k b 直线 AM 的函数解析式为 y 3 2 x 3, 在 RtAOC 中, AC 22 AOOC= 22 24=2 5, D 为 AC 的中点, AD 1 2 AC

34、5, ADEAOC, C AD AO AE A , 5 22 5 AE , AE , OE AE AO , E (-3, 0). 由图可知 D(1,-2) , 设直线 DE 的函数解析式为 y=mx+n,且过 D(1,-2) , E (-3,0) , 根据题意,得 2 30 mn mn ,解得 1 2 3 2 m n , 直线 DE 的函数解析式为 y 1 2 x- 3 2 由 3 3 2 13 22 yx yx ,得 3 4 15 8 x y , G( 3 4 , 15 8 ). 因此在直线 DE 上存在一点 G,使CMG 的周长最小,此时G( 3 4 , 15 8 ). 23 (2019新

35、疆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2bx+c 经过点 A(1,0) ,B(4,0) ,C(0,4) 三点 (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)将(1)中的抛物线向下平移15 4 个单位,再向左平移 h(h0)个单位长度,得到新抛物线若新抛物线 的顶点 D在ABC 内,求 h 的取值范围; (3)点 P 为线段 BC 上一动点(点 P 不与点 B,C 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交(1)中的抛物线于点 Q,当 PQC 与ABC 相似时,求PQC 的面积 解析: 本题考查了二次函数与相似三角形判定的综合(1) 直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可; (2

36、)用含有字母 h 的式子表示出平移后顶点 D的坐标,然后求出直线 AC 的解析式,只要点 D在直线 AC 的 右边即符合题意,从而可以求出 h 的取值范围; (3)求出CPQ=ABC=45,设点 P 的坐标,利用两边成比 例,分两种情况讨论求出 m 的值,从而求出PQC 的面积 答案:解:将 A(1,0) ,B(4,0) ,C(0,4)三点坐标代入抛物线 y=ax2bx+c, 得: 0 1640 4 abc abc c 解得 : 1 3 4 a b c 所以,抛物线的解析式为 y=x23x4 化为顶点式为: 2 325 () 24 yx 所以顶点 D 的坐标( 3 2 , 25 4 ) (2)

37、 25155 442 , D( 3 2 h, 5 2 ) 设直线 AC 解析式为:y=kx4, 则:k4=0 解得:k=4 直线 AC 的解析式为 y=4x4 把 5 2 y 代入,得: 5 44 2 x 解得 : 3 8 x 要使平移后点 D在ABC 内,则 33 28 h 解得: 15 8 h 所以 h 的取值范围为 15 0 8 h (3)OB=OC=4, OBC=OCB=45 PQOC, CPQ=OCB=45 CPQ=OBC=45 所以,要使PQC 与ABC 相似,只需两组对应边成比例即可 由 B(4,0) ,C(0,4)可得直线 BC:y=x4, 设 P(m,m4) ,则 Q(m,m

38、23m4) PQ=(m23m4)(m4)=m24m SPCQ= 22 11 (4 )(4) 22 mmmmm 过点 P 作 PMy 轴,则 PM=CM=m, PC=2m, AB=4(1)=5,BC=4 2 若CPQABC, 则有 CPPQ ABBC , 即 2 24 54 2 mmm 解得 1 12 5 m ,m2=0(舍去) 此时 SPCQ= 2 11212576 ()(4) 255125 若CPQCBA, 则有 CPPQ BCAB , 即 2 24 54 2 mmm 解得 1 11 4 m ,m2=0(舍去) 此时 SPCQ= 2 11111605 ()(4) 244128 所以,PQC

39、的面积为 576 125 或 605 128 21. (2019云南)已知 k 是常数,抛物线 yx2(k2k6)x3k 的对称轴是 y 轴,并且与 x 轴有两个交点. (1)求 k 的值: (2)若点 P 在抛物线 yx2(k2k6)x3k 上,且 P 到 y 轴的距离是 2,求点 P 的坐标. 解: (1)抛物线 y=x2+(k2+k6)x+3k 的对称轴是 y 轴, 0 2 6 2 kk x,即 k2+k6=0.解得 k=3 或 k=2. 当 k=2 时,二次函数解析式为 y=x2+6,它的图象与 x 轴无交点,不满足题意,舍去, 当 k=3 时,二次函数解析式为 y=x29,它的图象与 x 轴有两个交点,满足题意.k=3. (2)P 到 y 轴的距离为 2,点 P 的横坐标为2 或 2. 当 x=2 时,y=5;当 x=2 时,y=5. 点 P 的坐标为(2,5)或(2,5).