1、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 ab|a|b|；|a|b| ab. 2.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90 ，以顶点为起点和终点的向量中，平面 BB1C1C 的法向量的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依题意知， ACB90 ， 所以 A1C1平面BB1C1C， A
2、C平面BB1C1C， 所以平面BB1C1C 的法向量为AC ，CA， A 1C1 ， C 1A1 ，共 4 个. 3.在四边形 ABCD 中，若AB DC ，且|AC |BD |，则四边形 ABCD 为( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 若AB DC ， 则 ABDC， 且 ABDC， 所以四边形 ABCD 为平行四边形.又|AC |BD |， 即 ACBD，所以四边形 ABCD 为矩形. 4.下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A.平面 的法向量垂直于与平面 平行的所有向量 B.一个平面的所
3、有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果 a，b 与平面 平行，则 ab 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依据平面向量的概念可知，A，B，C 都是正确的，由立体几何知识可得 a，b 不一定 平行. 5.如图，在正四面体 ABCD 中， AB ，DA 等于( ) A.45 B.60 C.90 D.120 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 D 解析 两个向量夹角的顶点是它们共同的起点， 故应把向量DA 的起点平移到 A 点处， 再求夹 角得AB ，DA 120 ，故选 D. 6.在正方体
4、 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 A1D1和 D1C1的中点，则MN ，CB 的大小 为( ) A. 4 B. 3 4 C. 2 D. 3 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 B 解析 如图，连接 A1C1， 则 A1C1MN， 又因为 B1C1BC， 故MN ，CB A 1C1B1 4 3 4 . 二、填空题 7.如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC90 ，PAAC，则在向量AB ，BC， CA ，PA，PB，PC中，夹角为 90 的共有_对. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 5 解析 因为 PA平
5、面 ABC， 所以 PAAB，PAAC，PABC， 又 BCAB，PABC，PAABA，PA，AB平面 PAB， 所以 BC平面 PAB，所以 BCPB. 由此知PA ，AB ， PA，BC ， PA，CA ， BC，AB ， BC，PB都为 90 . 8.下列说法正确的是_.(填序号) 两个长度相等的向量一定相等； 零向量的方向是任意的； 若|a|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反； 任何两个向量都不能比较大小. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 解析 据题意知，只有正确. 9.如图， 在棱长都相等的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 已知A1
6、AB60 ， 则 AA1 ， CC1 _， AB ，C 1D1 _， BA ，DD 1 _. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 0 180 120 解析 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1 CC1 ，且方向相同，所以AA1 ，CC1 0 . 因为 ABCD，CDC1D1，所以 ABC1D1， 所以AB C 1D1 ，但方向相反，所以AB， C 1D1 180 . 因为AA1 DD1 ， 所以BA ，DD 1 BA ，AA 1 180 A1AB120 . 10.在直三棱柱 ABCABC中，已知 AB5，AC3，BC4，CC4，则以该三棱 柱的顶点为向
7、量的起点和终点的向量中模为 5 的向量的个数为_. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义和模 答案 8 解析 向量AB ，AB ，AC ，CA 及它们的相反向量的模都等于 5. 三、解答题 11.如图所示是棱长为 1 的正三棱柱 ABCA1B1C1. (1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB 相等的向量； (2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC 的相反向量； (3)若 E 是 BB1的中点，写出与向量AE 平行的向量. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 解 (1)由正三棱柱的结构特征
8、知与AB 相等的向量只有向量A 1B1 ， (2)向量AC 的相反向量为CA，C 1A1 . (3)取 AA1的中点 F，连接 B1F(图略)，则B1F ，FB1 ，EA 都是与AE平行的向量. 12.如图，在三棱锥 SBAC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形，BAC90 ，O 是 BC 的中点，证明：SO 是平面 ABC 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 证明 由题意知，侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形，故设 SASBSCa，因为 O 是 BC 的中点，SBSC，所以 SOBC. 因为BAC90 ，ABACa，AOBC， 所
9、以 AO 2 2 a.又 SO 2 2 a，SAa， 所以ASO 是等腰直角三角形，即 SOOA. 又 OABCO，OA，BC平面 ABC， 所以 SO平面 ABC， 所以SO 是平面 ABC 的一个法向量. 13.如图所示，在正四面体 ABCD 中，E 是 AC 的中点，求BE 与CD 的夹角的余弦值. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 过 E 作 EFCD 交 AD 于 F，连接 BF.BEF 为向量BE 与CD 的夹角的补角. 设正四面体的棱长为 1， 则 BE 3 2 ，EF1 2，BF 3 2 . 由余弦定理，得 cosBEFBE 2EF2BF2 2BE
10、 EF 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 6 . 所以BE 与CD 所成的角的余弦值为 3 6 . 14.给出以下命题： 若 ab，b 与 c 的夹角是 30 ，则 a 与 c 的夹角也是 30 ； 平面的所有法向量方向相同； 若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等. 其中正确命题的序号是_. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 解析 命题，当 a 与 b 的方向相反时，a 与 c 的夹角是 150 ，故错；命题，平面的法 向量仅指垂直于平面的向量，它们的方向相同或相反，故错；命题，起点与终点相同的 空间向量相等，故正确.
11、 15.如图，AB 是圆 O 的直径，直线 PA 所在的向量是圆 O 所在平面的一个法向量，M 是圆周 上异于 A，B 的任意一点，ANPM，点 N 是垂足，求证：直线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 证明 因为 AB 是圆 O 的直径，所以 AMBM. 又 PA平面 ABM， 所以 PABM. 因为 PAAMA，PA，AM平面 PAM， 所以 BM平面 PAM. 又 AN平面 PAM，所以 BMAN，又 ANPM，且 BMPMM，BM，PM平面 PBM， 所以 AN平面 PBM. 所以直线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量.
