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2.1 从平面向量到空间向量 课时对点练(含答案)

1、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 ab|a|b|;|a|b| ab. 2.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACB90 ,以顶点为起点和终点的向量中,平面 BB1C1C 的法向量的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依题意知, ACB90 , 所以 A1C1平面BB1C1C, A

2、C平面BB1C1C, 所以平面BB1C1C 的法向量为AC ,CA, A 1C1 , C 1A1 ,共 4 个. 3.在四边形 ABCD 中,若AB DC ,且|AC |BD |,则四边形 ABCD 为( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 若AB DC , 则 ABDC, 且 ABDC, 所以四边形 ABCD 为平行四边形.又|AC |BD |, 即 ACBD,所以四边形 ABCD 为矩形. 4.下列有关平面法向量的说法中,不正确的是( ) A.平面 的法向量垂直于与平面 平行的所有向量 B.一个平面的所

3、有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果 a,b 与平面 平行,则 ab 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依据平面向量的概念可知,A,B,C 都是正确的,由立体几何知识可得 a,b 不一定 平行. 5.如图,在正四面体 ABCD 中, AB ,DA 等于( ) A.45 B.60 C.90 D.120 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 D 解析 两个向量夹角的顶点是它们共同的起点, 故应把向量DA 的起点平移到 A 点处, 再求夹 角得AB ,DA 120 ,故选 D. 6.在正方体

4、 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别为 A1D1和 D1C1的中点,则MN ,CB 的大小 为( ) A. 4 B. 3 4 C. 2 D. 3 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 B 解析 如图,连接 A1C1, 则 A1C1MN, 又因为 B1C1BC, 故MN ,CB A 1C1B1 4 3 4 . 二、填空题 7.如图,在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABC90 ,PAAC,则在向量AB ,BC, CA ,PA,PB,PC中,夹角为 90 的共有_对. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 5 解析 因为 PA平

5、面 ABC, 所以 PAAB,PAAC,PABC, 又 BCAB,PABC,PAABA,PA,AB平面 PAB, 所以 BC平面 PAB,所以 BCPB. 由此知PA ,AB , PA,BC , PA,CA , BC,AB , BC,PB都为 90 . 8.下列说法正确的是_.(填序号) 两个长度相等的向量一定相等; 零向量的方向是任意的; 若|a|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反; 任何两个向量都不能比较大小. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 解析 据题意知,只有正确. 9.如图, 在棱长都相等的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中, 已知A1

6、AB60 , 则 AA1 , CC1 _, AB ,C 1D1 _, BA ,DD 1 _. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 0 180 120 解析 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,AA1 CC1 ,且方向相同,所以AA1 ,CC1 0 . 因为 ABCD,CDC1D1,所以 ABC1D1, 所以AB C 1D1 ,但方向相反,所以AB, C 1D1 180 . 因为AA1 DD1 , 所以BA ,DD 1 BA ,AA 1 180 A1AB120 . 10.在直三棱柱 ABCABC中,已知 AB5,AC3,BC4,CC4,则以该三棱 柱的顶点为向

7、量的起点和终点的向量中模为 5 的向量的个数为_. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义和模 答案 8 解析 向量AB ,AB ,AC ,CA 及它们的相反向量的模都等于 5. 三、解答题 11.如图所示是棱长为 1 的正三棱柱 ABCA1B1C1. (1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,写出与向量AB 相等的向量; (2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,写出向量AC 的相反向量; (3)若 E 是 BB1的中点,写出与向量AE 平行的向量. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 解 (1)由正三棱柱的结构特征

8、知与AB 相等的向量只有向量A 1B1 , (2)向量AC 的相反向量为CA,C 1A1 . (3)取 AA1的中点 F,连接 B1F(图略),则B1F ,FB1 ,EA 都是与AE平行的向量. 12.如图,在三棱锥 SBAC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形,BAC90 ,O 是 BC 的中点,证明:SO 是平面 ABC 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 证明 由题意知,侧面 SAB 与侧面 SAC 都是等边三角形,故设 SASBSCa,因为 O 是 BC 的中点,SBSC,所以 SOBC. 因为BAC90 ,ABACa,AOBC, 所

9、以 AO 2 2 a.又 SO 2 2 a,SAa, 所以ASO 是等腰直角三角形,即 SOOA. 又 OABCO,OA,BC平面 ABC, 所以 SO平面 ABC, 所以SO 是平面 ABC 的一个法向量. 13.如图所示,在正四面体 ABCD 中,E 是 AC 的中点,求BE 与CD 的夹角的余弦值. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 过 E 作 EFCD 交 AD 于 F,连接 BF.BEF 为向量BE 与CD 的夹角的补角. 设正四面体的棱长为 1, 则 BE 3 2 ,EF1 2,BF 3 2 . 由余弦定理,得 cosBEFBE 2EF2BF2 2BE

10、 EF 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 6 . 所以BE 与CD 所成的角的余弦值为 3 6 . 14.给出以下命题: 若 ab,b 与 c 的夹角是 30 ,则 a 与 c 的夹角也是 30 ; 平面的所有法向量方向相同; 若两个向量的起点相同,终点也相同,则这两个空间向量相等. 其中正确命题的序号是_. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 解析 命题,当 a 与 b 的方向相反时,a 与 c 的夹角是 150 ,故错;命题,平面的法 向量仅指垂直于平面的向量,它们的方向相同或相反,故错;命题,起点与终点相同的 空间向量相等,故正确.

11、 15.如图,AB 是圆 O 的直径,直线 PA 所在的向量是圆 O 所在平面的一个法向量,M 是圆周 上异于 A,B 的任意一点,ANPM,点 N 是垂足,求证:直线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 证明 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 AMBM. 又 PA平面 ABM, 所以 PABM. 因为 PAAMA,PA,AM平面 PAM, 所以 BM平面 PAM. 又 AN平面 PAM,所以 BMAN,又 ANPM,且 BMPMM,BM,PM平面 PBM, 所以 AN平面 PBM. 所以直线 AN 的方向向量是平面 PMB 的法向量.