1、滚动训练滚动训练(二二) 一、选择题 1下列说法正确的是( ) A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B语句“最高气温 30 时我就开空调”是命题 C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D语句“当 a4 时，方程 x24xa0 有实根”是假命题 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 D 解析 对于 A，改写成“若 p，则 q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”； B 项所给语句不是命题；C 项的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明，故选 D. 2原命题为“若anan 1 2 an
2、，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否 命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A真，真，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 A 解析 anan1 2 anan1anan为递减数列 原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选 A. 3使不等式1 a 1 b成立的充分条件是( ) Aab Bab Cab0 Da0，b0 考点 充分条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 D 解析 a0，b01 a 1 b，其他条件均推不出 1 a 1 b，故选 D. 4下列命题中正确的是( ) A若 ab
3、，bc，则 a 与 c 所在直线平行 B向量 a，b，c 共面即它们所在直线共面 C空间任意两个向量共面 D若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理应用 答案 C 解析 对于 A，当 b0 时，a 与 c 所在直线可重合、平行、相交或异面；当 b0 时，a 与 c 所在直线可重合，排除 A；对于 B，它们所在直线可异面，排除 B；对于 D；b0 时不满足， 排除 D 项 5已知向量 a，b，c 是空间的一基底，向量 ab，ab，c 是空间的另一基底，一向量 p 在基底 a，b，c 下的坐标为(1,2,3)，则向量 p 在基底 ab，ab，c 下的
4、坐标为( ) A. 1 2， 3 2，3 B. 3 2， 1 2，3 C. 3，1 2， 3 2 D. 1 2， 3 2，3 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 B 解析 设 p 在基底 ab，ab，c 下的坐标为(x，y，z)， 则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 得 xy1， xy2， z3， 即 x3 2， y1 2， z3. 6 如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 线段 B1D1上有两个动点 E， F 且 EF 2 2 ， 则下列结论中错误的是( ) AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 D
5、异面直线 AE，BF 的夹角为定值 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用 答案 D 解析 以 C 为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Cxyz， 则 B1(0,1,1)， D1(1,0,1)， B(0,1,0)， AC 是平面 B 1BDD1的法向量， BE 平面 B1BDD1， 故ACBE， 故A正确； BB1 是平面ABCD的法向量， BB1 (0,0,1)， EF 2 2 D1B1 |D1B1 | 1 2， 1 2，0 ， EF BB 1 0， 故EF BB 1 ， 故 EF平面 ABCD， 故 B 正确；
6、 VABEF1 3SBEF h 1 3 1 2|EF | |BB 1 | 1 2 |AC |1 12|EF | |BB 1 | |AC |1 12，故 C 正确 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，M，N 分别是 DC，BB1的中点， 则异面直线 MN 与 A1B 的距离为( ) A.8 47 49 B.6 61 61 C. 3 3 D. 47 4 考点 题点 答案 B 解析 以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 Axyz，则 A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(
7、0,4,1)， MN (3,2,1)，A1B (0,4，2) 设 MN，A1B 的公垂线的一个方向向量为 n(x，y，z)， 则 n MN 0， n A1B 0， 即 3x2yz0， 4y2z0， 令 y1，则 z2，x4 3，即 n 4 3，1，2 ，|n| 61 3 . 又MA1 (3，2,2)， 异面直线 MN 与 A1B 的距离为|MA1 n| |n| 6 61 61 . 二、填空题 8已知命题 p：lg(x22x2)0；命题 q：1xx 2 41，若命题 p 是真命题，命题 q 是假命 题，则实数 x 的取值范围是_ 考点 命题的真假判断 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (
8、，14，) 解析 由 lg(x22x2)0，得 x22x21， 即 x22x30，解得 x1 或 x3. 由 1xx 2 41， 得 x24x0，解得 0x4. 因为命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， 所以 x1或x3， x0或x4， 解得 x1 或 x4. 所以，满足条件的实数 x 的取值范围为(，14，) 9 如果命题“若A， 则B”的否命题是真命题， 而它的逆否命题是假命题， 则A是B的_ 条件(填“充分”“必要”) 考点 必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要 解析 因为该命题的否命题为真命题， 所以 BA.又因为原命题和逆否命题有相同的真假性， 因为它的逆否命题
9、是假命题，所以原命题也为假命题，故 A/ B，即 A 是 B 的必要条件 10在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 A1B1，BB1的中点，则异面 直线 AM 与 CN 的距离为_ 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两线间的距离 答案 21 7 解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系 Dxyz，在线段 AB 上取点 E，使|BE |1 4|AB |，易得NEAM ， 则 AM平面 ENC， 则异面直线 AM 与 CN 的距离等于 M 到平面 ENC 的距离， E 1，3 4，0 ，N 1，1，1 2
10、，C(0,1,0)，M 1，1 2，1 ，EN 0，1 4， 1 2 ，EC 1，1 4，0 ，EM 0，1 4，1 ， 设 n(x，y，z)为平面 ENC 的法向量， 由 n EN 0，n EC0，得 y2z4x， 可取 n(1,4，2)， 故 AM 与 CN 的距离为 n EM |n| 21 7 . 11已知 a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则 xy_. 考点 空间向量运算的坐标运算 题点 空间向量的坐标运算 答案 7 2 解析 a2b(12x,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)因为(a2b)(2ab)，所以 a 2b(2ab)，可得 4 3，x 1 2，y
11、4，即 xy 7 2. 三、解答题 12已知集合 A y| yx23 2x1，x 3 4，2 ，Bx|xm21若“xA”是“xB” 的充分条件，求实数 m 的取值范围 考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 解 yx23 2x1 x3 4 27 16， 因为 x 3 4，2 ，所以 7 16y2. 所以 A y| 7 16y2 . 由 xm21，得 x1m2， 所以 Bx|x1m2， 因为“xA”是“xB”的充分条件，所以 AB， 所以 1m2 7 16，解得 m 3 4或 m 3 4， 故实数 m 的取值范围是 ，3 4 3 4， . 13.如图，在几何体 ABCDE 中，四
12、边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBE EC2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 (1)求证：GF平面 ADE； (2)求平面 AEF 与平面 BEC 夹角的余弦值 考点 题点 方法一 (1)证明 如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD. 又 G 是 BE 的中点， 所以 GHAB，且 GH1 2AB. 又 F 是 CD 的中点， 所以 DF1 2CD. 由四边形 ABCD 是矩形， 得 ABCD，且 ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH. 又 DH平面 ADE，GF平面 ADE， 所以 GF平面 AD
13、E. (2)解 如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQEC. 因为 BECE，所以 BQBE. 又因为 AB平面 BEC，所以 ABBE，ABBQ. 以 B 为坐标原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系 Bxyz， 则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1) 因为 AB平面 BEC，所以BA (0,0,2)为平面 BEC 的法向量设 n(x，y，z)为平面 AEF 的 法向量 又AE (2,0，2)，AF(2,2，1)， 由 n AE 0， n AF 0， 得 2x2z0， 2x2yz0， 取 z2，
14、得 n(2，1,2) 从而|cosn，BA |n BA | |n| |BA | 4 23 2 3， 所以平面 AEF 与平面 BEC 夹角的余弦值为2 3. 方法二 (1)证明 如图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF. 又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE. 又 AE平面 ADE，GM平面 ADE， 所以 GM平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点，得 MFAD. 又 AD平面 ADE，MF平面 ADE. 所以 MF平面 ADE. 又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF， 所以平面 GMF平面 ADE. 因为 GF平面 GMF，所以
15、 GF平面 ADE. (2)同方法一 四、探究与拓展 14已知 p：x22x30，若ax1a 是 p 的一个必要不充分条件，则使 ab 恒成立 的实数 b 的取值范围为_ 考点 必要条件的概念及判断 题点 由必要条件求取值范围 答案 (，2 解析 由于 p：x22x301x3， ax1a1ax1a(a0) 依题意，得x|1x3x|1ax1a(a0)， 所以 1a1， 1a3， 2a4， 解得 a2， 则使 ab 恒成立的实数 b 的取值范围是 b2， 即(，2 15已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB，BC 的 中点 (1)求点 D 到平面
16、PEF 的距离； (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 (1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系，如图所示 则 P(0,0,1)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， E 1，1 2，0 ， F 1 2，1，0 ， EF 1 2， 1 2，0 ， PE 1，1 2，1 . 设平面 PEF 的法向量 n(x，y，z)， 则 n EF 0 且 n PE0， 所以 1 2x 1 2y0， x1 2yz0. 令 x2，则 y2，z3.所以 n(2,2,3)， 所以点 D 到平面 PEF 的距离为 d|DE n| |n| |21| 449 3 17 17 ， 因此点 D 到平面 PEF 的距离为3 17 17 . (2)因为AE 0，1 2，0 ， 所以点 A 到平面 PEF 的距离为 d|AE n| |n| 1 17 17 17 ， 所以直线 AC 到平面 PEF 的距离为 17 17 .
