1、2.2 抛物线的简单性质,第三章 2 抛物线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 抛物线的简单性质,知识点二 直线与抛物线的位置关系,当k0时,若0,则直线与抛物线有 个不同的公共点;若0,直线与抛物线有 个公共点;若0,直线与抛物线 公共点. 当k0时,直线与抛物线的轴 ,此时直线与抛物线有 个公共点.,两,一,没有,平行或重合,1,1.抛物线关于顶点对称.( ) 2.抛物线只有一
2、个焦点,一条对称轴,无对称中心.( ) 3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( ) 4.抛物线x24y,y24x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( ) 5.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. ( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 抛物线的简单性质,例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析 因为抛物线的对称轴为
3、x轴,内接AOB为等腰直角三角形, 所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直, 从而直线OA与x轴的夹角为45.,不妨设A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,2p).,解 由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2ax(a0). 设抛物线与圆x2y24的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称, 点A与B关于x轴对称,,得x234,x1,,所求抛物线方程是y23x或y23x.,反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图像开口,关键是看准二次项是
4、x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;,解 抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x2,x轴,x0.,(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长.,解 如图所示,由|OA|OB|可知ABx轴,垂足为点M, 又焦点F是OAB的重心,
5、,因为F(2,0),,故设A(3,m),代入y28x得m224;,命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断 例2 已知直线l:ykx1,抛物线C:y24x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.,题型二 直线与抛物线的位置关系,多维探究,得k2x2(2k4)x10. (*),此时直线l平行于x轴. 当k0时,(*)式是一个一元二次方程, (2k4)24k216(1k).,当0,即k1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离. 综上所述,当k1或0时,l与C有一个公共点; 当k1时,l与C没有公共点.,反思感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l:ykxb,抛物线:
6、y22px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当0时,直线与抛物线相离,无公共点.,跟踪训练2 如图所示,直线l:yxb与抛物线C:x24y相切于点A. (1)求实数b的值;,因为直线l与抛物线C相切, 所以(4)24(4b)0,解得b1.,(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.,解 由(1)可知b1, 故方程(*)即为x24x40,解得x2. 将其代入x
7、24y,得y1.故点A(2,1). 因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离,即r|1(1)|2, 所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.,命题角度2 直线与抛物线的相交弦问题,所以直线AB的斜率存在,设为k,,消去x,整理得ky22pykp20.,解得k2. 所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.,引申探究 本例条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.,反思感悟 求抛物线弦长问题的方法: (1)一般弦长公式,(2)焦点弦长 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p,然后利用弦所
8、在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1x2即可.,跟踪训练3 已知yxm与抛物线y28x交于A,B两点. (1)若|AB|10,求实数m的值;,由(2m8)24m26432m0,得m2. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x282m,x1x2m2,y1y2m(x1x2)x1x2m28m.,(2)若OAOB,求实数m的值.,解 因为OAOB,所以x1x2y1y2m28m0, 解得m8或m0(舍去). 所以m8,经检验符合题意.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,与抛物线有关的最值问题,典例 求抛物线yx2上的点到直
9、线4x3y80的最小距离.,解 方法一 设A(t,t2)为抛物线上的点, 则点A到直线4x3y80的距离,方法二 如图,设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0,,消去y得3x24xm0,,素养评析 (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路: 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决. 二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得. (2)建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对
10、称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,解析 设抛物线方程为y22px或y22px(p0),,2|y|2p8,p4. 抛物线方程为y28x或y28x.,1,2,3,4,5,2.设A,B是抛物线x24y上两点,O为原点,若|OA|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于 A.30 B.45 C.60 D.90,解析 由|OA|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称,,AOB为等腰直角三角形,AOB90.,1,2,3,4,5,3.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3
11、条 C.2条 D.1条,解析 当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条; 当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条,故选B.,1,2,3,4,5,4.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1x26,则|AB|_.,8,解析 因为直线AB过焦点F(1,0), 所以|AB|x1x2p628.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解 过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0),,14k20, 设A(x1,y1),B(x2,y2),,设直线与x轴交于点N,显然N点的坐标为(1,0).,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.求抛物线方程时,若已知曲线是抛物线,一般用待定系数法. 2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算. 3.解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.,