1、2.2 抛物线的简单性质,第三章 2 抛物线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 抛物线的简单性质,知识点二 直线与抛物线的位置关系,当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若0，直线与抛物线有 个公共点；若0，直线与抛物线 公共点. 当k0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,两,一,没有,平行或重合,1,1.抛物线关于顶点对称.( ) 2.抛物线只有一
2、个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) 3.抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) 4.抛物线x24y，y24x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同.( ) 5.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. ( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 抛物线的简单性质,例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析 因为抛物线的对称轴为
3、x轴，内接AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直， 从而直线OA与x轴的夹角为45.,不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).,解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2ax(a0). 设抛物线与圆x2y24的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称， 点A与B关于x轴对称，,得x234，x1，,所求抛物线方程是y23x或y23x.,反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是
4、x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；,解 抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x2，x轴，x0.,(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长.,解 如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M， 又焦点F是OAB的重心，
5、,因为F(2，0)，,故设A(3，m)，代入y28x得m224；,命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断 例2 已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.,题型二 直线与抛物线的位置关系,多维探究,得k2x2(2k4)x10. (*),此时直线l平行于x轴. 当k0时，(*)式是一个一元二次方程， (2k4)24k216(1k).,当0，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点； 当k1时，l与C没有公共点.,反思感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l：ykxb，抛物线：
6、y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0时，直线与抛物线相离，无公共点.,跟踪训练2 如图所示，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A. (1)求实数b的值；,因为直线l与抛物线C相切， 所以(4)24(4b)0，解得b1.,(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.,解 由(1)可知b1， 故方程(*)即为x24x40，解得x2. 将其代入x
7、24y，得y1.故点A(2，1). 因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2， 所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.,命题角度2 直线与抛物线的相交弦问题,所以直线AB的斜率存在，设为k，,消去x，整理得ky22pykp20.,解得k2. 所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.,引申探究 本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.,反思感悟 求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式,(2)焦点弦长 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所
8、在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.,跟踪训练3 已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点. (1)若|AB|10，求实数m的值；,由(2m8)24m26432m0，得m2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.,(2)若OAOB，求实数m的值.,解 因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0， 解得m8或m0(舍去). 所以m8，经检验符合题意.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,与抛物线有关的最值问题,典例 求抛物线yx2上的点到直
9、线4x3y80的最小距离.,解 方法一 设A(t，t2)为抛物线上的点， 则点A到直线4x3y80的距离,方法二 如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，,消去y得3x24xm0，,素养评析 (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路： 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决. 二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得. (2)建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与方法.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对
10、称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,解析 设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，,2|y|2p8，p4. 抛物线方程为y28x或y28x.,1,2,3,4,5,2.设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于 A.30 B.45 C.60 D.90,解析 由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，,AOB为等腰直角三角形，AOB90.,1,2,3,4,5,3.过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3
11、条 C.2条 D.1条,解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.,1,2,3,4,5,4.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_.,8,解析 因为直线AB过焦点F(1，0)， 所以|AB|x1x2p628.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解 过点(1，0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，,14k20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1，0).,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.求抛物线方程时，若已知曲线是抛物线，一般用待定系数法. 2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题，注意利用根与系数的关系，设而不求，能避免繁杂的计算. 3.解决焦点弦问题时，应注意焦点弦的几何性质.,