1、 12.5 二项分布及其应用二项分布及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 3.能解决一些简单的实际问题. 以理解独立重复试验、 二项分布的概念为主， 重点考查二项分布概率模型的应用识别概 率模型是解决概率问题的关键在高考中， 常以解答题的形式考查，难度为中档. 1条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B， 在已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率叫做条件概率， 用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)PAB PA (P(A)0) 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则
2、 P(B|A)nAB nA . (2)条件概率具有的性质 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 2相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立 事件 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)， P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条
3、件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试 验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都 是一样的 (2)在 n 次独立重复试验中， 用 X 表示事件 A 发生的次数， 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X B(n，p)，并称 p 为成功概率 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率( ) (2)相互独立事件就是互斥事件( ) (3)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P
4、(B)都成立( ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中 ap，b 1p.( ) (5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的 概率( ) 题组二 教材改编 2P55T3天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间 内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A0.2 B0.3 C0.38 D0.56 答案 C 解析 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A B A B， P(A B A B)P(
5、A B )P( A B) P(A)P( B )P( A )P(B) 0.20.70.80.3 0.38. 3P54T2已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个 红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概 率为( ) A. 3 10 B. 1 3 C. 3 8 D. 2 9 答案 B 解析 设 A第一次拿到白球，B第二次拿到红球， 则 P(AB) C12 C110 C13 C19，P(A) C12 C110， 所以 P(B|A)PAB PA 1 3. 题组三 易错自纠 4两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分
6、别为2 3和 3 4，两个零件能否被加工成 一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C. 1 4 D. 1 6 答案 B 解析 因为两人加工成一等品的概率分别为2 3和 3 4， 且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P2 3 1 4 1 3 3 4 5 12. 5 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数， 事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于( ) A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 答案 B 解析 P(A)C 2 3C 2 2 C25 2
7、 5，P(AB) C22 C25 1 10， P(B|A)PAB PA 1 4. 6箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取 球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为( ) A.C 3 5C 1 4 C45 B. 5 9 34 9 C3 5 1 4 DC14 5 9 34 9 答案 B 解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球 的情况，此事件发生的概率为 5 9 34 9. 题型一题型一 条件概率条件概率 1 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡， 这些灯泡的外形与功率都相同且
8、灯口向下放 着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次抽到的是螺 口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. 3 10 B.2 9 C.7 8 D.7 9 答案 D 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”， 事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口 灯泡”， 则 P(A) 3 10，P(AB) 3 10 7 9 7 30， 则所求概率为 P(B|A)PAB PA 7 30 3 10 7 9. 方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口 灯泡的概率为C 1 7 C19 7 9
9、. 2一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设 投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正 方形区域的事件记为 B，求 P(AB)，P(A|B) 解 如图，n()9，n(A)3，n(B)4， n(AB)1，P(AB)1 9， P(A|B)nAB nB 1 4. 思维升华 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PAB PA ，这是通用的求条件概率的 方法 (2)借助古典概型概率公式， 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求 事件 B 包含的基本
10、事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA . 题型二题型二 相互独立事件的概率相互独立事件的概率 典例 (2017 哈尔滨质检)某企业有甲、 乙两个研发小组， 他们研发新产品成功的概率分别为2 3和 3 5.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获 利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列 解 记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知 P(E)2 3，P( E ) 1 3，P(F) 3 5，
11、 P( F )2 5，且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立 (1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 H E F ， 于是 P( H )P( E )P( F )1 3 2 5 2 15， 故所求的概率为 P(H)1P( H )1 2 15 13 15. (2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0,100,120,220， 因为 P(X0)P( E F )1 3 2 5 2 15， P(X100)P( E F)1 3 3 5 3 15 1 5， P(X120)P(E F )2 3 2 5 4 15， P(X220)P(EF)2 3 3 5 6
12、 15 2 5， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 跟踪训练 为了纪念 2017 在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与” 有奖问答比赛 活动 某场比赛中， 甲、 乙、 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题 已 知甲家庭回答正确这道题的概率是3 4，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 1 12，乙、丙
13、两个家 庭都回答正确的概率是1 4.若各家庭回答是否正确互不影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 解 (1)记“甲回答正确这道题”、“乙回答正确这道题”、“丙回答正确这道题”分别为事 件 A，B，C，则 P(A)3 4， 且有 P A P C 1 12， PB PC1 4， 即 1PA 1PC 1 12， PB PC1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P( A B C )P( A ) P( B ) P( C ) 1 4 5 8 1 3 5 96， 有
14、1 个家庭回答正确的概率为 P1P(A B C A B C A B C) 3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 P1P0P11 5 96 7 24 21 32. 题型三题型三 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 命题点 1 根据独立重复试验求概率 典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、 丁四个不同的公园进行支持签名活动. 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题，
15、从 10 个关于长征 的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活动中各公园幸运之星的人数； (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 2 2 ， 求恰好 2 位幸运之星获得纪念品 的概率； (3)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对，而另外 2 个问题答不对，记小李答对的问题数为 X，求 X 的分布列 解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 45 150103， 60 150104， 30 150102， 15 150101. (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 C44 2 2 41 4， 所以乙公
16、园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率为 C24 1 4 2 3 4 227 128. (3)由题意，知 X 的所有可能取值为 2,3,4，服从超几何分布，P(X2)C 2 8C 2 2 C410 2 15， P(X3)C 3 8C 1 2 C410 8 15， P(X4)C 4 8C 0 2 C410 1 3. 所以 X 的分布列为 X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 命题点 2 根据独立重复试验求二项分布 典例 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要 么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分
17、， 出现三次音乐获得 100 分， 没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分) 设每次击鼓出现音 乐的概率为1 2，且各次击鼓出现音乐相互独立 (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100，200. 根据题意，有 P(X10)C13 1 2 1 11 2 23 8， P(X20)C23 1 2 2 11 2 13 8， P(X100)C33 1 2 3 11 2 01 8， P(X200)C03 1 2 0 11 2 31 8. 所以 X 的分布列为 X 10 20 100 20
18、0 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)， 则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)1 8. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 1 8 31 1 512 511 512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511 512. 思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确 利用公式求概率 (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，
19、确定 二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 跟踪训练 (2017 牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男 性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女 性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中， 从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人， 求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶
20、员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平 均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列 解 (1)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为 C240， 记“这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件 A 所包含的基本事 件数为 C115C125，所以所求的概率 P(A)C 1 15C 1 25 C240 1525 2039 25 52. (2)根据样本估计总体的思想， 从总体中任取 1 辆车， 平均车速超过 100 km/
21、h 且为男性驾驶员 的概率为 40 100 2 5， 故 XB 3，2 5 . 所以 P(X0)C03 2 5 0 3 5 327 125， P(X1)C13 2 5 3 5 254 125， P(X2)C23 2 5 2 3 5 36 125， P(X3)C33 2 5 3 3 5 0 8 125. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 独立事件与互斥事件 典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率 是3 7，乙夺得冠军的概率是 1 4，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_ (2)某
22、射手每次射击击中目标的概率都是2 3，这名射手射击 5 次，有 3 次连续击中目标，另外 两次未击中目标的概率是_ 错解展示： (1)设“甲夺得冠军”为事件 A，“乙夺得冠军”为事件 B，则 P(A)3 7，P(B) 1 4，由 A，B 是相互独立事件，得所求概率为 P(A B )P( A B)P(AB) 3 7 3 4 4 7 1 4 3 7 1 4 16 28 4 7. (2)所求概率 PC35 2 3 3 1 3 280 243. 错误答案 (1)4 7 (2) 80 243 现场纠错 解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件 A， “乙夺得冠军”为事件 B， 则 P(A)3 7， P(B) 1 4.A， B 是互斥事件， P(AB)P(A)P(B)3 7 1 4 19 28. (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i1,2,3,4,5)， “射手在 5 次射击中， 有 3 次连续击中 目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则 P(A)P(A1A2A3A4A5)P( A1A2A3A4A5) P( A1A2A3A4A5) 2 3 3 1 3 21 3 2 3 31 3 1 3 2 2 3 38 81. 答案 (1)19 28 (2) 8 81 纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立” (2)区分独立事件与 n 次独立重复试验
