1、 9.9 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 最新考纲 考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的 思想方法 2.了解圆锥曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想. 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、 对称、存在性问题题型主要以解答题形式 出现，属于中高档题. 1直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc 0(或 ay2byc0) (1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆锥曲线相切； 0)上，且直线 AB 过抛物线
2、的焦点，则 y1y2 p2.( ) 题组二 教材改编 2P71 例 6过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 过(0,1)与抛物线 y24x 相切的直线有 2 条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三 条直线与抛物线都只有一个公共点 3 P80A 组 T8已知与向量 v(1,0)平行的直线 l 与双曲线x 2 4y 21 相交于 A， B 两点， 则|AB| 的最小值为_ 答案 4 解析 由题意可设直线 l 的方程为 ym， 代入x 2 4y 21 得 x24(1m2)， 所以 x1 41m
3、22 1m2， x22 1m2， 所以|AB|x1x2|4 1m24， 即当 m0 时，|AB|有最小值 4. 题组三 易错自纠 4过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 2， 则这样的直线( ) A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条 答案 B 解析 设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAp 2xB p 2xA xB132p2. 所以符合条件的直线有且只有两条 5(2017 江西省南昌市三模)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 点，且F1PF2
4、4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_ 答案 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x 22py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c， 且|FA|c， 则双曲线的渐近线方程为_ 答案 y x 解析 抛物线的准线方程为 yp 2，焦点为 F 0，p 2 ， a2 p 2 2c2. 设抛物线的准线 yp 2交双曲线于 M x1，p 2 ，N x2，p 2 两点， yp 2， x2 a2 y2 b21， 即x 2 a2 p 2 2 b2 1，解得 x a p2 4b21， 2a p2 4b212c. 又b2c2a2，
5、由，得c 2 a22. b 2 a2 c2 a211，解得 b a1. 双曲线的渐近线方程为 y x. 第第 1 课时课时 范围、最值问题范围、最值问题 题型一题型一 范围问题范围问题 典例 (2016 天津)设椭圆x 2 a2 y2 31(a 3)的右焦点为 F， 右顶点为 A.已知 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|， 其 中 O 为原点，e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴 交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围 解 (1)设
6、 F(c,0)，由 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|， 即1 c 1 a 3c aac，可得 a 2c23c2. 又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24. 所以椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)设直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 yk(x2) 设 B(xB，yB)，由方程组 x2 4 y2 31， ykx2 消去 y， 整理得(4k23)x216k2x16k2120. 解得 x2 或 x8k 26 4k23. 由题意得 xB8k 26 4k23，从而 yB 12k 4k23. 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH (1，yH)
7、，BF 94k2 4k23， 12k 4k23 . 由 BFHF，得BF FH 0， 所以4k 29 4k23 12kyH 4k230，解得 yH 94k2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y1 kx 94k2 12k . 设 M(xM，yM)，由方程组 ykx2， y1 kx 94k2 12k ， 消去 y，解得 xM 20k29 12k21. 在MAO 中，由MOAMAO，得|MA|MO|， 即(xM2)2y2Mx2My2M， 化简，得 xM1，即 20k29 12k211， 解得 k 6 4 或 k 6 4 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 ， 6 4 6 4 ， . 思维升华
8、 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取 值范围 跟踪训练 (2018 开封质检)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 x2 3y 21 的离心率互为倒 数，且直线 xy20 经过椭圆的右顶点 (1)求椭
9、圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比 数列，求OMN 面积的取值范围 解 (1)双曲线的离心率为2 3 3 ， 椭圆的离心率 ec a 3 2 . 又直线 xy20 经过椭圆的右顶点， 右顶点为点(2,0)，即 a2，c 3，b1， 椭圆方程为x 2 4y 21. (2)由题意可设直线的方程为 ykxm(k0，m0)， M(x1，y1)，N(x2，y2) 联立 ykxm， x2 4y 21， 消去 y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0， 则 x1x2 8km 14k2，x1x2 4m21 14
10、k2 ， 于是 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2. 又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列， 故y1 x1 y2 x2 k2x1x2kmx1x2m2 x1x2 k2， 则 8k2m2 14k2m 20. 由 m0 得 k21 4，解得 k 1 2. 又由 64k2m216(14k2)(m21) 16(4k2m21)0，得 0m22， 显然 m21(否则 x1x20， x1， x2中至少有一个为 0， 直线 OM， ON 中至少有一个斜率不存在， 与已知矛盾) 设原点 O 到直线的距离为 d， 则 SOMN1 2|MN|d 1 2 1k 2 |x 1x2
11、| |m| 1k2 1 2|m| x1x2 24x 1x2 m2121. 故由 m 的取值范围可得OMN 面积的取值范围为(0,1) 题型二题型二 最值问题最值问题 命题点 1 利用三角函数有界性求最值 典例 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则|AF| |BF| 的最小值是( ) A2 B. 2 C4 D2 2 答案 C 解析 设直线 AB 的倾斜角为 ，可得|AF| 2 1cos ，|BF| 2 1cos ，则|AF| |BF| 2 1cos 2 1cos 4 sin24. 命题点 2 数形结合利用几何性质求最值 典例 在平面直角坐标系 x
12、Oy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直线 x y10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_ 答案 2 2 解析 双曲线 x2y21 的渐近线为 x y0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两 平行线的距离d |10| 1212 2 2 .由点P到直线xy10的距离大于c恒成立， 得c 2 2 ， 故 c 的最大值为 2 2 . 命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 典例 (2017 山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，焦 距为 2. (1)求椭圆 E 的方程； (
13、2)如图，动直线 l：yk1x 3 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的斜率 为 k2，且 k1k2 2 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|AB|23，M 的半径为|MC|， OS，OT 是M 的两条切线，切点分别为 S，T.求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率 解 (1)由题意知 ec a 2 2 ，2c2，所以 c1， 所以 a 2，b1， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2y 21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 x2 2y 21， yk1x 3 2 ， 得(4k212)x24 3k1x10. 由
14、题意知 0， 且 x1x2 2 3k1 2k211，x1x2 1 22k211， 所以|AB| 1k21|x1x2| 2 1k21 18k21 12k21 . 由题意可知，圆 M 的半径 r 为 r2 3|AB| 2 2 3 1k21 18k21 2k211 ， 由题设知 k1k2 2 4 ，所以 k2 2 4k1， 因此直线 OC 的方程为 y 2 4k1x. 联立方程 x2 2y 21， y 2 4k1x， 得 x2 8k21 14k21，y 2 1 14k21， 因此|OC| x2y2 18k21 14k21. 由题意可知，sinSOT 2 r r|OC| 1 1|OC| r . 而|O
15、C| r 18k21 14k21 2 2 3 1k21 18k21 12k21 3 2 4 12k21 14k21 1k21， 令 t12k21，则 t1，1 t(0,1)， 因此|OC| r 3 2 t 2t2t1 3 2 1 21 t 1 t2 3 2 1 1 t 1 2 29 4 1， 当且仅当1 t 1 2，即 t2 时等号成立，此时 k1 2 2 ， 所以 sin SOT 2 1 2，因此 SOT 2 6， 所以SOT 的最大值为 3. 综上所述，SOT 的最大值为 3，取得最大值时直线 l 的斜率为 k1 2 2 . 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类
16、型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何 法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用 代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解 跟踪训练 (2018 邢台模拟)已知椭圆x 2 2y 21 上两个不同的点 A，B 关于 直线 ymx1 2对称 (1)求实数 m 的取值范围； (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1 mxb.由 x2 2y 21， y1 mxb， 消去 y，得 1 2 1 m2 x22
17、b mxb 210. 因为直线 y1 mxb 与椭圆 x2 2y 21 有两个不同的交点，所以 2b224 m20， 将 AB 的中点 M 2mb m22， m2b m22 代入直线方程 ymx1 2，解得 b m22 2m2 ， 由得 m 6 3 或 m 6 3 . (2)令 t1 m 6 2 ，0 0， 6 2 ，则 t2 0，3 2 . 则|AB| t21 2t42t23 2 t21 2 ， 且 O 到直线 AB 的距离为 d t21 2 t21. 设AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)1 2|AB| d 1 2 2 t21 2 22 2 2 ， 当且仅当 t21 2时，等号成立，此时满足 t 2 0，3 2 . 故AOB 面积的最大值为 2 2 .
