1、 9.4 直线与圆直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关 系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆 的位置关系的判断；根据位置关系 求参数的范围、最值、几何量的大 小等题型主要以选择、填空题为 主，要求相对较低，但内容很重要， 有时也会在解答题中出现. 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系 dr相离 (2)代数法： 判别式 b
2、24ac 0相交； 0相切； 0)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法： 联立两圆方程组成方程组 的解的情况 外离 dr1r2 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|1，而圆心 O 到直线 axby1 的距离 d|a 0b 01| a2b2 1 a2b21. 所以直线与圆相交 2圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR)的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 答案 C 解析 直线 2txy22t0 恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2
3、)在圆 x2y22x4y0 内， 直线 2txy22t0 与圆 x2y22x4y0 相交， 故选 C. 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 题型二题型二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 典例 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 外切，则 ab 的最大值为 ( ) A. 6 2 B.3 2 C. 9 4 D2 3 答案 C 解析 由圆 C1与圆 C2外切， 可得 ab2222213，即(ab)29，
4、根据基本不等式可知 ab ab 2 29 4， 当且仅当 ab 时等号成立，ab 的最大值为9 4. 引申探究 1若将本典例中的“外切”变为“内切”，求 ab 的最大值 解 由 C1与 C2内切得 ab22221. 即(ab)21，又 ab ab 2 21 4，当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为 1 4. 2若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程 解 由题意把圆 C1，圆 C2的方程都化为一般方程，得 圆 C1：x2y22ax4ya20， 圆 C2：x2y22bx4yb230， 由得(2a2b)x3b2a20， 即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直
5、线方程 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1r2，|r1r2|； (3)比较 d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论 跟踪训练 (2017 重庆调研)如果圆 C：x2y22ax2ay2a240 与圆 O：x2y24 总相 交，那么实数 a 的取值范围是_ 答案 (2 2，0)(0,2 2) 解析 圆 C 的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为 2. 依题意得 0 a2a222，0|a|2 2. a(2 2，0)(0,2 2) 题型三题型三 直线与圆的综
6、合问题直线与圆的综合问题 命题点 1 求弦长问题 典例 (2016 全国)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A， B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|2 3，则|CD|_. 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M， 由题意知，圆的半径 R2 3， |AB|2 3，所以|OM|3， 由|OM|3m 3| m21 3， 解得 m 3 3 ， 所以直线 l：x 3y60. 由 x 3y60， x2y212， 解得 A(3， 3)，B(0，2 3)， 则 AC 的直线方程为 y 3 3(x3)， BD 的直线方程为 y2 3 3x，令
7、 y0， 解得 C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4. 命题点 2 直线与圆相交求参数范围 典例 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 . (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (
8、1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x241k 1k2 ，x1x2 7 1k2. OM ON x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)1 4k1k 1k2 8. 由题设可得4k1k 1k2 812，解得 k1， 所以 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2. 命题点 3 直线与圆相切的问题 典例 已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线 l1：xy40 平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)过切点 A(4，1) 解 (1)设切线方程为 xyb0， 则|12b| 2 10，b1 2 5， 切线方程为
9、xy1 2 50. (2)设切线方程为 2xym0， 则|22m| 5 10，m 5 2， 切线方程为 2xy 5 20. (3)kAC21 14 1 3， 过切点 A(4，1)的切线斜率为3， 过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)， 即 3xy110. 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为_ 答案 2 2 解析 设 P(3,1)，
10、圆心 C(2,2)，则|PC| 2，半径 r2，由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 222 222 2. (2)过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为_ 答案 x2 或 4x3y40 解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线 与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时， 设直线方程为 y4k(x2)， 即 kxy42k0， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，即 d|k142k| k212 |3k| k211， 解得 k4 3， 所求切线方程为4 3xy42 4 30， 即 4x3y40.
11、综上，切线方程为 x2 或 4x3y40. 高考中与圆交汇问题的求解 考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有 关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相 关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆 的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何 性质 一、与圆有关的最值问题 典例 1 (1)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PA PB PC|的最大值为( ) A6 B7 C8 D9 (2)
12、过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面 积取最大值时，直线 l 的斜率等于( ) A. 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 解析 (1)A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，AC 为圆的直径，故PA PC2PO (4,0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x1,1，PB (x2，y)， PA PBPC(x6，y) 故|PA PBPC| 12x37， 当 x1 时有最大值 497，故选 B. (2)SAOB1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB 1 2. 当AOB 2时，AOB 的面积最大 此时 O 到
13、 AB 的距离 d 2 2 . 设 AB 的方程为 yk(x 2)(k0)， 即 kxy 2k0.由 d | 2k| k21 2 2 ，得 k 3 3 . 也可ktanOPH 3 3 . 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题 典例 2 (1)已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|等于( ) A2 B4 2 C6 D2 10 (2)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为( ) A.4 5
14、 B.3 4 C(62 5) D.5 4 解析 (1)由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴， 圆心 C(2,1)在直线 xay10 上， 2a10，a1，A(4，1) |AC|236440.又 r2，|AB|240436. |AB|6. (2)AOB90 ，点 O 在圆 C 上 设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离， 点 C 在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上， 当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|2004| 5 4 5 圆 C 的最小半径为 2 5， 圆 C 面积的最小值为 2 5 24 5. 答案 (1)C (2)A
