高考数学一轮复习学案:6.2 等差数列及其前n项和(含答案)

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1、 6.2 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系,并能用等差数列的有关知识解决相应的 问题 4.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为 主,等差数列的证明也是考查的热点本节 内容在高考中既可以以选择、填空的形式进 行考查, 也可以以解答题的形式进行考查 解 答题往往与等比数列、数列求和、不等式等 问题综合考查. 1等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数 列

2、就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 ana1(n1)d. 3等差中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时,A 叫做 a 与 b 的等差 中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*) (2)若an为等差数列,且 klmn(k,l,m,nN*),则 akalaman. (3)若an是等差数列,公差为 d,则a2n也是等差数列,公差为 2d. (4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差

3、数列,公差为 d,则 ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为 md 的等差数列 (6)数列 Sm,S2mSm,S3mS2m,构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d,其前 n 项和 Snna1an 2 或 Snna1nn1 2 d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Snd 2n 2 a1d 2 n. 数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B 为常数) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列an中,a10,d 8 75 Bd 3 25 C. 8 751, 1 258d1, 所以 8 750,a7a100,则当 n_时,an的前 n 项和最 大

4、答案 8 解析 因为数列an是等差数列,且 a7a8a93a80,所以 a80.又 a7a10a8a90, 所以 a90.故当 n8 时,其前 n 项和最大 6 一物体从 1 960 m 的高空降落, 如果第 1 秒降落 4.90 m, 以后每秒比前一秒多降落 9.80 m, 那么经过_秒落到地面 答案 20 解析 设物体经过 t 秒降落到地面 物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为 4.90,公差为 9.80 的等差数列 所以 4.90t1 2t(t1)9.801 960, 即 4.90t21 960,解得 t20. 题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算 1(2017

5、 全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524,S648,则an的公差为 ( ) A1 B2 C4 D8 答案 C 解析 设an的公差为 d, 由 a4a524, S648, 得 a13da14d24, 6a165 2 d48, 解得 d4.故选 C. 2(2016 全国)已知等差数列an前 9 项的和为 27,a108,则 a100等于( ) A100 B99 C98 D97 答案 C 解析 由等差数列性质,知 S99a1a9 2 92a5 2 9a527,得 a53,而 a108,因此公 差 da10a5 105 1, a100a1090d98,故选 C. 思维升华 等差数列

6、运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公式转 化为方程(组)求解 (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能 求另外两个,体现了用方程的思想解决问题 题型二题型二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 典例 已知数列an中,a13 5,an2 1 an1(n2,nN *),数列b n满足 bn 1 an1(nN *) (1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由 (1)证明 因为 an2 1 an1(n2,nN *), bn 1

7、an1(nN *), 所以 bn1bn 1 an11 1 an1 1 2 1 an 1 1 an1 an an1 1 an11. 又 b1 1 a11 5 2. 所以数列bn是以5 2为首项,1 为公差的等差数列 (2)解 由(1)知 bnn7 2,则 an1 1 bn1 2 2n7. 设 f(x)1 2 2x7, 则 f(x)在区间 ,7 2 和 7 2, 上为减函数 所以当 n3 时,an取得最小值1,当 n4 时,an取得最大值 3. 引申探究 本例中,若将条件变为 a13 5,nan1(n1)ann(n1),试求数列an的通项公式 解 由已知可得 an1 n1 an n 1,即 an1

8、 n1 an n1,又 a1 3 5, an n 是以a1 1 3 5为首项,1 为公差的等差数列, an n 3 5(n1) 1n 2 5,ann 22 5n. 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an1an等于同一个常数 (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an1anan2. (3)通项公式法:得出 anpnq 后,再根据定义判定数列an为等差数列 (4)前 n 项和公式法:得出 SnAn2Bn 后,再使用定义法证明数列an为等差数列 跟踪训练 若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2SnSn10(n2),a11 2. (1)求证

9、: 1 Sn 是等差数列; (2)求数列an的通项公式 (1)证明 当 n2 时,由 an2SnSn10, 得 SnSn12SnSn1, 1 Sn 1 Sn12, 又 1 S1 1 a12, 故 1 Sn 是首项为 2,公差为 2 的等差数列 (2)解 由(1)可得 1 Sn2n,Sn 1 2n. 当 n2 时, anSnSn1 1 2n 1 2n1 n1n 2nn1 1 2nn1. 当 n1 时,a11 2不适合上式 故 an 1 2,n1, 1 2nn1,n2. 题型三题型三 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 命题点 1 等差数列项的性质 典例 已知an,bn都是等差数列,若 a1b1

10、09,a3b815,则 a5b6_. 答案 21 解析 因为an,bn都是等差数列,所以 2a3a1a5,2b8b10b6,所以 2(a3b8)(a1 b10)(a5b6),即 2159(a5b6),解得 a5b621. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 典例 (1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S39,S636,则 a7a8a9等于( ) A63 B45 C36 D27 答案 B 解析 由an是等差数列,得 S3,S6S3,S9S6为等差数列,即 2(S6S3)S3(S9S6), 得到 S9S62S63S345,故选 B. (2)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和, 若

11、 a12 014, S2 014 2 014 S2 008 2 0086, 则 S2 018_. 答案 6 054 解析 由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列 设其公差为 d,则S2 014 2 014 S2 008 2 0086d6,d1. 故S2 018 2 018 S1 1 2 017d2 0142 0173, S2 01832 0186 054. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列an中,mnpq(m,n,p,qN*),则 amanapaq. (2)和的性质:在等差数列an中,Sn为其前 n 项和,则 S2nn(a1a2n)n(anan1); S2n1(2n1

12、)an. 跟踪训练 (1)在等差数列an中,已知 a4a816,则该数列前 11 项和 S11等于( ) A58 B88 C143 D176 答案 B 解析 S1111a1a11 2 11a4a8 2 1116 2 88. (2)等差数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,若Sn Tn 3n2 2n1,则 a7 b7等于( ) A.37 27 B.19 14 C.39 29 D.4 3 答案 A 解析 a7 b7 2a7 2b7 a1a13 b1b13 a1a13 2 13 b1b13 2 13 S13 T13 3132 2131 37 27. 等差数列的前 n 项和及其最值 考点分

13、析 公差不为 0 的等差数列,求其前 n 项和与最值在高考中时常出现,题型有小题, 也有大题,难度不大 典例 1 (1)在等差数列an中,2(a1a3a5)3(a7a9)54,则此数列前 10 项的和 S10等于 ( ) A45 B60 C75 D90 (2)在等差数列an中,S10100,S10010,则 S110_. 解析 (1)由题意得 a3a89, 所以 S1010a1a10 2 10a3a8 2 109 2 45. (2)方法一 设数列an的首项为 a1,公差为 d, 则 10a1109 2 d100, 100a110099 2 d10, 解得 a11 099 100 , d11 5

14、0. 所以 S110110a1110109 2 d110. 方法二 因为 S100S10a11a10090 2 90, 所以 a11a1002, 所以 S110a1a110110 2 a11a100110 2 110. 答案 (1)A (2)110 典例 2 在等差数列an中,已知 a120,前 n 项和为 Sn,且 S10S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值 规范解答 解 a120,S10S15, 1020109 2 d15201514 2 d, d5 3. 方法一 由 an20(n1) 5 3 5 3n 65 3 , 得 a130. 即当 n12 时,an0,当 n14 时,an0. 当 n12 或 n13 时,Sn取得最大值, 且最大值为 S12S1312201211 2 5 3 130. 方法二 Sn20nnn1 2 5 3 5 6n 2125 6 n 5 6 n25 2 23 125 24 . nN*,当 n12 或 n13 时,Sn有最大值,且最大值为 S12S13130. 方法三 由 S10S15,得 a11a12a13a14a150. 5a130,即 a130. 当 n12 或 n13 时,Sn有最大值,且最大值为 S12S13130.

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