2022高考数学一轮总复习课件:6.2 等差数列及其前n项和

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1、62 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和 【教材梳理】 1等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的等于同一个_,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的_,通常用字母 d 表示,即_d(nN,且 n2)或 _d(nN) 2等差中项 三个数 a,A,b 成等差数列,这时 A 叫做 a 与 b 的_ 3等差数列的通项公式 若an是等差数列,则其通项公式 an_. an成等差数列anpnq, 其中 p_, q_, 点(n, an)是直线_ 上一群孤立的点 单调性:d0 时,an为_数列;d0 时,an为_数列;d0 时,an为 _ 4等差数列的前 n

2、项和公式 (1)等差数列前 n 项和公式 Sn_.其推导方 法是_ (2)an成等差数列,求 Sn的最值: 若 a10,d0,且满足 an_, an1_ 时,Sn最大; 若 a10,d0,且满足 an_, an_ 时,Sn最小; 或利用二次函数求最值;或利用导数求最值 5等差数列的性质 (1)aman_d,即 daman mn . (2)在等差数列中,若 pqmn,则有 apaqam_;若 2mpq,则 有_amapaq(p,q,m,nN*)但要注意:在等差数列 anknb 中,若 m pq,易证得 amapaq成立的充要条件是 b0,故对一般等差数列而言,若 mpq,则 amapaq并不一定

3、成立 (3)若an,bn均为等差数列,且公差分别为 d1,d2,则数列pan,anq,anbn 也为_数列,且公差分别为_,_,_. 【常用结论】 6在等差数列中,按序等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an,anm,an2m,为等差数列,公差为 md. 7等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2nSn,S3nS2n,为等差数列,公差为 n2d. 8等差数列偶数项、奇数项和的性质 (1)若等差数列的项数为 2n,则有 S偶S奇nd,S 奇 S偶 an an1. (2)若项数为 2n1,则 S偶(n1)an,S奇nan,S奇S偶an,S 奇 S偶 n n1. 9若公差 d0,则 (1)

4、Snd 2n 2 a1d 2 n,点(n,Sn)在一条抛物线上 (2)Sn n d 2n a1d 2 ,点 n,Sn n 在一条直线上,即 Sn n 也是等差数列 10两个等差数列an,bn的前 n 项和 Sn,Tn满足an bn S2n1 T2n1. 【自查自纠】 1差 常数 公差 anan1 an1an 2等差中项 3a1(n1)d d a1d ydx(a1d) 单调递增 单调递减 常数列 4(1)n(a1an) 2 na1n(n1)d 2 倒序相加法 (2)0 0 0 0 5(1)(mn) (2)an 2 (3)等差 pd1 d1 d1d2 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错

5、误的画“” (1)若数列an满足 a3a2a2a1,则an是等差数列 ( ) (2)已知数列an为等差数列,且公差 d0,则an是递增数列 ( ) (3)4 是 2 和 8 的等差中项 ( ) (4)若数列an是等差数列,则数列an2an1也是等差数列 ( ) (5)SnAn2Bn(A,B 为常数,A 不为 0,nN*)是an为等差数列的充要条件 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5). (2019开封高三定位考试)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1a510, S416,则数列an的公差为 ( ) A1 B2 C3 D4 解:设等差数列an的公差为 d,则由题

6、意,得 a1a14d10, 4a143 2 d16,解得 a11, d2. 另解:S42(a1a4)16a1a48.故 d(a1a5)(a1a4)2.故选 B. (20192020学年重庆七校高三三诊)在等差数列an中,前 n 项和 Sn满足 S9S235,则 a6的值是( ) A5 B7 C9 D3 解:因为 S9S235,所以 a3a4a5a6a7a8a935,即 7a635, a65.故选 A. (2021 届湖北四地六校高三起点联考)周髀算经是我国古老的天文学和 数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照 日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度)夏至、

7、小暑、大暑、立秋、处 暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记 录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处暑三个节气的晷 长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 解:依题意,设连续九个节气的晷长成等差数列an,首项为 a1,公 差为 d,前 n 项和为 Sn, 则 S949.5, a1a3a510.5 9a136d49.5, 3a16d10.5 a11.5, d1, 所以立秋的晷长为 a41.534.5.故选 D. (2020全国新高考卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得

8、到 数列an,则an的前 n 项和为_ 解:因为数列2n1是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,数列3n2是以 1 首 项,3 为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以 1 为首项, 6 为公差的等差数列,所以an的前 n 项和为 n1n(n1) 2 63n22n.故填 3n2 2n. 考点一考点一 等差数列基本量的计算等差数列基本量的计算 (1)(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S40,a55,则( ) Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn1 2n 22n 解:设公差为 d,则 4a16d0, a14d5, 解得 a13,

9、d2. 故 an2n5,Sn(2n53) n 2 n24n. 故选 A. (2)(2021 河南豫西名校高二 10 月联考)记等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a52, a2a4a58a6,则 S20( ) A180 B180 C162 D162 解:因为 a52,a22a48a6, 所以 a14d2, a1d2a16d8a140d,即 a14d2, a15d0, 解得 a110, d2,所以 a 201019(2)28, 所以 S2020(a1a20) 2 180.故选 B. (3)(2019山东德州模拟)已知 Sn是数列an的前 n 项和, 且 Sn1Snan3, a4a523,则

10、S8 ( ) A72 B88 C92 D98 解:因为 Sn1Snan3,所以 Sn1Snan3an1,所以 an1an3,所以 an是公差为 d3 的等差数列,又 a4a523,即 2a17d23,解得 a11,所以 S88a187 2 d92.故选 C. 【点拨】 在等差数列五个基本量 a1,d,n,an,Sn中,已知其中三个量, 可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的 方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用求解 等差数列基本量问题时,要注意多使用等差数列的性质进行转化,如an为等 差数列,若 mnpq,则 amanapaq. (

11、1)(2021届江西南昌高三摸底)Sn为等差数列an的前 n 项和,满 足 3a35a2,S10100,则 a1( ) A1 B2 C3 D4 解: 设等差数列an的公差为 d, 因为 3a35a2, S10100, 所以 3(a12d)5(a1d), 10a145d100, 解得 a11, d2. 故选 A. (2)(2020安徽太和中学期末)设 Sn是等差数列an的前 n 项和,a411, 且 S3,S5,a22成等差数列,则 S10( ) A145 B150 C155 D160 解: 设等差数列an的公差为 d, 因为 a411, 所以 S33(a1a3) 2 3a23(11 2d),S

12、55a35(11d),a221118d, 因为 S3, S5, a22成等差数列, 所以 3(112d)1118d10(11d), 所以 d3, a1a43d1192, 所以 S1010a145d20135155.故选 C. (3)(2020届四川天府名校高三上一联)已知数列an满足an2an1an 1an(nN*),且 a510,a714,则 a2 021a2 020 ( ) A2 B1 C2 D1 解:由题意可知,数列an为等差数列,故设数列an的公差为 d, 则 a7a542d,即 d2,所以 a2 021a2 020d2.故选 A. 考点二考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证

13、明 (1)【多选题】(2021 届福建福州一中高三上开学检测)设an是无穷数列,An anan1(n1,2,),则下列给出的四个判断中,正确的有 ( ) A若an是等差数列,则An是等差数列 B若An是等差数列,则an是等差数列 C若an是等差数列,则a3n是等差数列 D若An是等差数列,则a2n是等差数列 解:对于 A,若an是等差数列,设公差为 d,则 Ananan1a1(n 1)da1nd2a12ndd,则 n2 时,AnAn1(2a12ndd)2a12(n 1)dd2d,所以An是等差数列,故 A 正确; 对于 B,若An是等差数列,设公差为 d,当 n2 时, AnAn1anan1(

14、an1an)an1an1d, 即数列an的偶数项成等 差数列,奇数项成等差数列,故 B 不正确,D 正确;C 显然正确故选 ACD. (2)在数列an中,已知 a11 3,an1 1 3an 2 3n 1,nN*,设 Sn为an的前 n 项和 ()求证:数列3nan是等差数列; ()求an的通项公式 解:()证明:因为 an11 3an 2 3n 1, 所以 3n 1a n13 na n2, 又因为 a11 3,则 3 1a 11, 所以3nan是首项为 1,公差为2 的等差数列 ()由()知 3nan1(n1) (2)32n, 所以 an(32n) 1 3 n. 【点拨】 等差数列的四个判定

15、方法:定义法:证明对任意正整数 n 都有 an1an等于同一个常数;等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an1anan2;通项公式法:得出 anpnq(p,q 是常数); 前 n 项和公式法:得出 SnAn2Bn(A,B 是常数) (1)【多选题】(20202021 学年江苏海头高中高二上月考)已知数列an,bn均 为无穷等差数列,则下列说法正确的是 ( ) A数列an是等差数列 B数列 1 an 是等差数列 Canbn是等差数列 D若 km0,则kanmbn为等差数列 解:由等差数列概念知 A 对,B 错,C 对,D 对故选 ACD. (2)已知数列an中,a12,an2 1 an1(

16、n2,nN *),设 b n 1 an1(nN *) ()求证:数列bn是等差数列; ()求an的通项公式 解:()证明:因为 an2 1 an1,所以 an 12 1 an. 所以 bn1bn 1 an11 1 an1 1 2 1 an1 1 an1 an1 an11, 所以bn是首项为 b1 1 211,公差为 1 的等差数列 ()由()得 bnn,即 1 an1n,所以an的通项公式为 an1 1 n. 考点三考点三 等差数列的性质等差数列的性质 命题角度 1 与项有关的性质 (2021 浙江台州书生中学高二上期初)在等差数列an中,Sn为其前 n 项和,若 a2 a6a727,则 S9

17、的值为( ) A36 B45 C72 D81 解:因为 a2a6a7a4a6a53a527,所以 S99a581. 故选 D. 【点拨】 利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想, 应用时常将 anam2ap(mn2p,m,n,pN*)与 amanapaq(mnp q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量 (2020 甘肃临夏中学高二上第一次月考)在等差数列an中,已知 a3a5 a715,则 3a4a8_. 解:因为数列an是等差数列,且 a3a5a715, 所以 3a515,a55. 3a4a82a4a4a82a42a62(a4a6)4a520.故填 20. 命题角度 2

18、 与和有关的性质 (1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,最后 6 项的和为 180, Sn324(n6),则 n_;a9a10_. 解:由题意知 a1a2a636, anan1an2an5180, 得 (a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216, 所以 a1an36,又 Snn(a1an) 2 324, 所以 18n324,所以 n18. 因为 a1an36,n18,所以 a1a1836, 从而 a9a10a1a1836.故填 18;36. (2)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S1010,S2030,则 S30 _. 解:因为 S

19、10,S20S10,S30S20成等差数列,所以 2(S20S10)S10(S30 S20),所以 4010S3030,所以 S3060.故填 60. (3)已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn,且An Bn 7n45 n3 , 则使得an bn为整数的正整数 n 的个数是( ) A2 B3 C4 D5 解:由An Bn 7n45 n3 得: an bn A2n1 B2n1 14n38 2n2 7n19 n1 ,要使an bn为整数,则需 7n19 n1 7 12 n1为整数,所以 n1,2,3,5,11,共有 5 个故选 D. 【点拨】 在等差数列an中,依据题意应用

20、其前 n 项和的性质解题可以比 较简便地求出结果, 常用的性质有: 等差数列前 m 项与后 m 项的和等于 m(a1 an);Sn,S2nSn,S3nS2n,为等差数列;S2nn(a1a2n)n(an an1),S2n1(2n1)an;an bn A2n1 B2n1等 (1)(2020河北邢台高一期中)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3 18,Sn3180,Sn270,则 n_. 解:因为 S33a218,所以 a26,又 SnSn3an2an1an3an190, 所以 an130.故 Snn(a1an) 2 n(a2an 1) 2 270,解得 n15.故填 15. (2)(20

21、20届湖北高三入学调研)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,S65S30, 则S9 S3 ( ) A18 B13 C13 D18 解:由 S65S30,可设 S65a(a0),则 S3a.因为an为等差数列,所 以 S3,S6S3,S9S6为等差数列,即 a,6a,S9S6成等差数列,所以 S9S6 13a,即 S918a,所以S9 S318.故选 D. (3)(2020吉林四校高三联考)已知数列an, bn都是等差数列, 其前 n 项和 分别为 Sn和 Tn,若对任意的 nN*都有Sn Tn 7n1 4n5,则 a5 b3_. 解:根据等差数列前 n 项和的性质, 可设 Snkn(7n1

22、)(7n2n)k(kR,且 k0),则 Tn(4n25n)k.所以 a5 S5S4180k116k64k, b3T3T251k26k25k, 所以 a5 b3 64k 25k 8 5.故填 8 5. 命题角度 3 单调性与最值 等差数列an的首项 a10,设其前 n 项和为 Sn,且 S5S12,则当 n 为何值时,Sn 有最大值? 解法一:由题意知 d0,因为 Snd 2n 2 a1d 2 n, 设 f(x)d 2x 2 a1d 2 x,如图, 由 S5S12知,抛物线的对称轴为 x512 2 17 2 , 由图可知,当 1n8 时,Sn单调递增;当 n9 时,Sn单调递减,且 S8S9.

23、又 nN*,所以当 n8 或 9 时,Sn有最大值 解法二:设等差数列an的公差为 d,由 S5S12得 5a110d12a166d,d1 8a10. Snna1n(n1) 2 dna1n(n1) 2 1 8a1 1 16a1(n 217n)1 16a1 n17 2 2 289 64 a1, 因为 a10,nN*,所以当 n8 或 9 时,Sn有最大值 解法三:由解法二得 d1 8a10. 设此数列的前 n 项和最大,则 an0, an10, 即 ana1(n1) 1 8a1 0, an1a1n 1 8a1 0, 解得 n9, n8,即 8n9, 又 nN*,所以当 n8 或 9 时,Sn有最

24、大值 解法四:由解法二得 d1 8a10, 又 S5S12得 a6a7a8a9a10a11a120, 所以 7a90,所以 a90. 所以当 n8 或 9 时,Sn有最大值 【点拨】 求等差数列前 n 项和最值的主要方法: 利用等差数列的基本性质或 单调性求出其正负转折项,便可求得和的最值;将等差数列的前 n 项和 SnAn2 Bn(A,B 为常数)看作关于 n 的二次函数,根据二次函数的性质求最值无论用哪 种方法,都要注意 an0 的情形 (1)在等差数列an中,a129,S10S20,则数列an的前 n 项和 Sn的最大值为 ( ) AS15 BS16 CS15或 S16 DS17 解:因

25、为 a129,S10S20, 所以 10a1109 2 d20a12019 2 d,解得 d2, 所以 Sn29nn(n1) 2 (2)n230n (n15)2225. 所以当 n15 时,Sn取得最大值故选 A. (2)在等差数列an中,a120,且 a13|a12|,Sn为数列an的前 n 项和,则 使得 Sn0 的 n 的最小值为 ( ) A23 B24 C25 D26 解:因为 a120,则公差 d0,又 a13|a12|,所以 a12a130,则 S24 24(a1a24) 2 24(a12a13) 2 0, S2323(a1a23) 2 23a120,所以使得 Sn0 的 n 的最小值为 24.故选 B.

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