1、63 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 【教材梳理】 1等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的_等于同一，那么这个 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母 q 表示(q0) 2等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G， 使 a， G， b 成等比数列， 那么 G 叫做 a 与 b 的_， 且 G2_或 G_. 3等比数列的通项公式 (1)若an是等比数列，则通项 an_或 an_.当 nm 为大于 1 的奇数 时，q 用 an，am表示为 q_；当 nm 为正偶数时，q_ (2)ana1qn 1 可变形为 anAqn，其中 A_；
2、点(n，an)是曲线_上 一群孤立的点 4等比数列的前 n 项和公式 等比数列an中，Sn _，q1， _ _，q1. 求和公式的推导方 法是：_，为解题的方便，有时可将求和公式变形为 SnBqnB(q1)，其中 B _且 q0，q1. 5等比数列的性质 (1)在等比数列中，若 pqmn，则 apaqaman； 若 2mpq，则 a2 mapaq(p，q，m，nN *) (2)若an， bn均为等比数列， 且公比分别为 q1， q2， 则数列 1 an ， p an(p0)， an bn， an bn 仍为等比数列且公比分别为_，_，_， _. (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成
3、一个等比数列，即 an，anm，an2m，仍 为等比数列，公比为_ (4)公比不为1 的等比数列前 n 项和为 Sn(Sn0)， 则 Sn， S2nSn， S3nS2n， 构成等比数列， 且公比为_ (5)对于一个确定的等比数列，在通项公式 ana1qn 1 中，an是 n 的函数，这个函数由正比例 函数 ana1 q u 和指数函数 uqn(nN*)复合而成 当 a10，_或 a10，_时，等比数列an是递增数列； 当 a10，_或 a10，_时，等比数列an是递减数列； 当_时，它是一个常数列； 当_时，它是一个摆动数列 【常用结论】 6SmnSnqnSmSmqmSn. 7若 a1a2an
4、Tn，则 Tn，T2n Tn ，T3n T2n，成等比数列 8若数列an的项数为 2n，则S 偶 S奇q；若项数为 2n1，则 S奇a1 S偶 q. 9当 q0，q1 时，Snkk qn(k0)是an成等比数列的充要条件，其中 k a1 1q. 【自查自纠】 1比 常数 公比 2等比中项 ab ab 3(1)a1qn 1 a mq nm nm an am nm an am (2)a1 q y a1 q qx 4na1 a1（1qn） 1q a1anq 1q 乘公比，错位相减 a1 q1 5(2) 1 q1 q1 q1q2 q1 q2 (3)q m (4)qn (5)q1 0q1 0q1 q1
5、q1 q0 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” ，错误的画“” (1)G 为 a，b 的等比中项G2ab. ( ) (2)一个等比数列的公比大于 1，则该数列单调递增 ( ) (3)任何等比数列前 n 项和都可以写成 Sna1（1q n） 1q . ( ) (4)如果数列an是等比数列，那么数列a2 n是等比数列 ( ) (5)已知数列an是等比数列，那么数列anan1一定是等比数列 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5). (2020全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a5a312，a6a4 24，则Sn an ( ) A2n1 B221 n C22n
6、1 D21n1 解：qa6a4 a5a32， Sn an a1（12n） 12 1 a12n 1221 n.故选 B. (2020届福建南安一中高三上第二次月考)已知数列an是等比数列， Sn为其前 n 项和，若 a1a2a34，a4a5a68，则 S12( ) A40 B60 C32 D50 解：由等比数列的性质可知，数列 S3，S6S3，S9S6，S12S9是等 比数列，即数列 4，8，S9S6，S12S9是等比数列，因此 S124816 3260.故选 B. (2019届内蒙古高三一模)九章算术第三章“衰分”介绍比例 分配问题： “衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分 比
7、)为“衰分比” 如：甲、乙、丙、丁衰分得 100，60，36，21.6 个单 位，递减的比例为 40%.今共有粮 m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序 进行“衰分”，已知丙衰分得 80 石，乙、丁衰分所得的和为 164 石，则 “衰分比”与 m 的值分别为( ) A20%，369 B80%，369 C40%，360 D60%，365 解：设“衰分比”为 a，甲衰分得 b 石， 由题意得 b（1a） 280， b（1a）b（1a）3164， b80164m， 解得 b125，a20%，m369.故选 A. (2018全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an1， 则 S6_. 解：
8、根据 Sn2an1，可得 Sn12an11，两式相减得 an12an12an， 即 an12an，当 n1 时，S1a12a11，解得 a11，所以数列an是以1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 S6（12 6） 12 63.故填63. 考点一考点一 等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算 (1)(2019届湖南长郡中学高三第一次月考)已知Sn是等比数列an的前n项 和，若存在 mN*，满足S2m Sm 9，a2m am 5m1 m1 ，则数列an的公比为_ 解：设等比数列的公比为 q， 当 q1 时，S2m Sm 29，不满足题意 当 q1 时，因为S2m Sm 9，所以 a1（1q2
9、m） 1q a1（1qm） 1q 9，化简得 qm8，又因为a2m am 5m1 m1 ， 所以a1q 2m1 a1qm 15m1 m1 ，化简得 qm5m1 m1 ，即 85m1 m1 ，解得 m3，所以 q38，即 q 2.故填 2. (2)(20192020 学年湖南湘东九校高二期末)已知数列an满足 a22， a3 6，且数列an2n为等比数列，则 a4的值为_ 解：因为数列an满足 a22，a36，且数列an2n为等比数列，所以公 比 qa36 a242，故 a48(a36)q12224，则 a416.故填 16. 【点拨】 在等比数列五个基本量 a1，q，n，an，Sn中，已知其中
10、三个 量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前 n 项和公式转化 为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根 据前 n 项和公式列方程还要注意对 q 是否为 1 进行讨论 (1)(2020届广西南宁百色市高三10月联考)设递增的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S440 3 ，3a410a33a20，则 a4 ( ) A9 B27 C81 D.8 3 解：设等比数列 an的公比为 q，由 3a410a33a20，得 3q210q30，解得 q 3 或 q1 3. 因为 S40，且数列an递增，所以 q3.又 S4a1（13 4） 13 40 3 ，解得
11、 a11 3，故 a4 1 33 39.故选 A. (2)(2020 届安徽省市示范高中高三模拟)记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若数列 Sn2a1也为等比数列，则S4 S3_. 解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 对于等比数列Sn2a1，其前三项为a1，a2a1，a3a2a1，则有(a1)(a3 a2a1)(a2a1)2，可得(q2q1)(q1)2，解得 q1 2或 0(舍)，则 S4 S3 a1（1q4） 1q a1（1q3） 1q 1q 4 1q3 15 14.故填 15 14. 考点二考点二 等比数列的等比数列的判定与证明判定与证明 (1)【多选题】已知数列an是等比数列
12、，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A. 1 an Ba2n C2an Danan1an2 解：21，22，24，不是等比数列，由等比数列的定义知 1 an ，a2n和anan1an2 都是等比数列故选 ABD. (2)(2019全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10，4an13an bn4，4bn13bnan4. ()证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列； ()求an和bn的通项公式 解：()证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn11 2(anbn) 又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为1 2的等比数列 由题设得 4(an1bn1
13、)4(anbn)8， 即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 ()由()知，anbn 1 2n 1，anbn2n1. 所以 an1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2， bn1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2. 【点拨】 等比数列的四种常用判定方法 定义法 若an 1 an q(q 为非零常数，nN*)或 an an1q(q 为 非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列 中项 公式法 若数列an中，an0 且 a2 n1anan2(nN *)， 则an是等比数列 通项 公式法 若数列an的通项公式可写成
14、 anc qn 1(c，q 均是不为 0 的常数， nN*)， 则an是等比数列 前 n 项和 公式法 若数列an的前 n 项和 Snk qnk(k 为常数且 k0，q0，1)，则an是等比数列 (1)【多选题】(2021届武汉部分学校高三起点质检)无穷数列an的前 n 项和 Snan2bnc，其中 a，b，c 为实数，则( ) Aan可能为等差数列 Ban可能为等比数列 Can中一定存在连续三项构成等差数列 Dan中一定存在连续三项构成等比数列 解：当 ac0 且 b1 时，Snn，an1，A，B 正确； 由 SnSn1a(2n1)ban(n2)，知 an1an2a(n2)，所以除第一项外，
15、 其他项构成等差数列，C 正确； 当 bc0 且 a1 时，Snn2，易知 an2n1， 由(2n1)(2n3)4n24n3(2n1)2知，D 错误 故选 ABC. (2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2ann. ()求证：an1为等比数列； ()求数列Sn的前 n 项和 Tn. 解：()证明：当 n1 时，S1a12a11，解得 a11. 因为 Sn2ann， 所以 Sn12an1(n1)，n2， 得：an2an2an11，整理得 an2an11， 所以 an12an122(an11)， 即 an1 an112(n2)， 又 a112，所以数列an1是以 2 为首项，2 为
16、公比的等比数列 ()由()知 an122n 12n，所以 a n2 n1，所以 S n22 22nn 2（12 n） 12 n2n 1n2， 所以 TnS1S2S3Sn (2223242n 1)345(n2) 4（12 n） 12 n（3n2） 2 2n 2n 25n 2 4. 考点三考点三 等比数列的性质等比数列的性质 命题角度 1 与项或和有关的性质 (1)已知各项均不为 0 的等差数列an，满足 2a3a2 72a110，数列bn是等 比数列，且 b7a7，则 b6b8_. 解： 因为an为等差数列， 所以 a3a112a7， 所以已知等式可化为 4a7a2 70， 解得 a74 或 a
17、70(舍去)，又bn为等比数列，所以 b6b8b2 7a 2 716.故填 16. (2)(2020 上海七宝中学高一期末)定义 n x1x2x3xn为数列xn的几何平均数，若an是 等比数列，a12 5，它的前 11 项的几何平均数为 25，若在前 11 项中抽去一项，剩下 10 项的几何平均数为 24，则被抽去的项是第_项 解：设等比数列an的公比为 q， 由题意， 11 a1a2a3a1125，则 a1a2a3a11255， 根据等比数列的性质可得， a1a2a3a11a11 6 255， 解得 a625， 又 a12 5， 所以 q5a6 a12 10， 则 q22， 设在前 11 项
18、中抽去第 m 项，依题意，剩下 10 项的乘积为 (24)10240，所以 am2 55 2402 152 5(22)m1，解得 m11.所以被抽去的项是第 11 项故填 11. (3) 【多选题】 等比数列an中， 公比为q， 其前n项积为Tn， 并且满足a11.a99 a100 10， a991 a10010，下列选项中，正确的结论有 ( ) A0q1 Ba99a10110 CT100的值是 Tn中最大的 D使 Tn1 成立的最大自然数 n 等于 198 解：对于 A，因为 a99a10010，所以 a2 1q 1971，所以(a 1q 98)2q1. 因为 a11，所以 q0.又因为 a
19、991 a10010，所以 a991，且 a1001.所以 0q1，故 A 正确； 对于 B，因为 a99a101a2 100， 0a1001， 所以 0a99a1011，即 a99a10110，故 B 正确； 对于 C，由于 T100T99a100，而 0a1001，故有 T100T99，故 C 错误； 对于 D，T198a1a2a198(a1a198)(a2a197)(a99a100)(a99a100)991， T199a1a2a199(a1a199)(a2a198)(a99a101) a1001，故 D 正确故选 ABD. (4)(2020全国卷)设an是等比数列，且 a1a2a31，a
20、2a3a42， 则 a6a7a8 ( ) A12 B24 C30 D32 解：设等比数列an的公比为 q，则 a1a2a3a1(1qq2)1，a2a3a4a1q a1q2a1q3a1q(1qq2)q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5(1qq2) q532.故选 D. 【点拨】 在等比数列中，若 Sn0，则 Sn，S2nSn，S3nS2n成等 比数列；等比数列中，依次 m 项积仍为等比数列，但公比发生变化； 性质“当 mnpq(m，n，p，qN*)时，有 amanapaq”常用来 转化条件 (1)已知数列an为等比数列，若 a4a610，则 a7(a12a3)a3a9 的值为
21、( ) A10 B20 C100 D200 解：a7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2 42a4a6a 2 6(a4a6) 2102 100.故选 C. (2)在等比数列an中，已知 a1a38，a5a74，则 a9a11a13a15 _. 解：设等比数列an的公比为 q，由已知，得 a1a1q28， a1q4a1q64，解得 q 41 2. 又 a9a11a1q8a3q8(a1a3)q88 1 2 2 2，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q12 8 1 2 3 1，所以 a9a11a13a15213.故填 3. (3)(2020届甘肃兰州一中高三月考)已知等比数
22、列an的各项均为正数且公比大于 1， 前 n 项积为 Tn，且 a2a4a3，则使得 Tn1 的 n 的最小值为 ( ) A4 B5 C6 D7 解：因为an是等比数列，设其公比为 q，所以 a2a4a2 3，又由题可得 a2a4 a3，所以 a2 3a3，解得 a31，a30(舍去)，又因为 q1，所以 a1a21， an1(n3)，所以 TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3 a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，T5a1a2a3a4a5a5 31，T6(a3a4) 31，所 以 n 的最小值为 6.故选 C. (4)(20192020学年广东清远高二期
23、末)设等比数列an的前n项和为Sn， 若S2 020 S1 0103， 则S3 030 S1 010 ( ) A9 B7 C5 D4 解：因为 S2 020 S1 0103，所以 S2 020S1 010 S1 010 2, 根据等比数列的性质可知 S3 030S2 020，S2 020S1 010，S1 010成等比数列，则S3 030S2 020 S1 010 4， 又 S2 0203S1 010，所以 S3 0303S1 010 S1 010 4，所以 S3 030 S1 0107.故选 B. 命题角度 2 等比数列中的最值(范围)问题 已知等比数列an中，a21，则其前 3 项的和 S
24、3的取值范围是 ( ) A(，1 B(，0)(1，) C3，) D(，13，) 解：设等比数列an的公比为 q，则 S3a1a2a3a2 1q1 q 1q1 q， 当 q0 时，S31q1 q12 q1 q3(当且仅当 q1 时取等号)； 当 q0 时， S31 q1 q 12（q） 1 q 1(当且仅当 q1 时取等号) 所 以 S3(，13，)故选 D. 【点拨】 等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量 a1，q 等，充分运用 方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、 单调性法等求值域 各项均为正数的等比数列an中，若 a2a3a4a2a3a4，则 a3 的最小值为_ 解：因为an是各项均为正数的等比数列，且 a2a3a4a2a3a4，所以 a3 3a3a2 a4，则 a3 3a3a2a42 a2a42a3，当且仅当 a2a4时取等号，即(a 2 33)a30，即 a 2 3 3，a3 3，即 a3的最小值为 3.故填 3.
