1、 6.2 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用等差数列的有关知识解决相应的 问题 4.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为 主，等差数列的证明也是考查的热点本节 内容在高考中既可以以选择、填空的形式进 行考查， 也可以以解答题的形式进行考查 解 答题往往与等比数列、数列求和、不等式等 问题综合考查. 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列
2、就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d. 3等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差 中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差
3、数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列 (6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1an 2 或 Snna1nn1 2 d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Snd 2n 2 a1d 2 n. 数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列an中，a10，d 8 75 Bd 3 25 C. 8 751， 1 258d1， 所以 8 750，a7a100，则当 n_时，an的前 n 项和最 大
4、答案 8 解析 因为数列an是等差数列，且 a7a8a93a80，所以 a80.又 a7a10a8a90， 所以 a90.故当 n8 时，其前 n 项和最大 6 一物体从 1 960 m 的高空降落， 如果第 1 秒降落 4.90 m， 以后每秒比前一秒多降落 9.80 m， 那么经过_秒落到地面 答案 20 解析 设物体经过 t 秒降落到地面 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列 所以 4.90t1 2t(t1)9.801 960， 即 4.90t21 960，解得 t20. 题型一题型一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算 1(2017
5、 全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为 ( ) A1 B2 C4 D8 答案 C 解析 设an的公差为 d， 由 a4a524， S648， 得 a13da14d24， 6a165 2 d48， 解得 d4.故选 C. 2(2016 全国)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100等于( ) A100 B99 C98 D97 答案 C 解析 由等差数列性质，知 S99a1a9 2 92a5 2 9a527，得 a53，而 a108，因此公 差 da10a5 105 1， a100a1090d98，故选 C. 思维升华 等差数列
6、运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转 化为方程(组)求解 (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能 求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 题型二题型二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 典例 已知数列an中，a13 5，an2 1 an1(n2，nN *)，数列b n满足 bn 1 an1(nN *) (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 (1)证明 因为 an2 1 an1(n2，nN *)， bn 1
7、an1(nN *)， 所以 bn1bn 1 an11 1 an1 1 2 1 an 1 1 an1 an an1 1 an11. 又 b1 1 a11 5 2. 所以数列bn是以5 2为首项，1 为公差的等差数列 (2)解 由(1)知 bnn7 2，则 an1 1 bn1 2 2n7. 设 f(x)1 2 2x7， 则 f(x)在区间 ，7 2 和 7 2， 上为减函数 所以当 n3 时，an取得最小值1，当 n4 时，an取得最大值 3. 引申探究 本例中，若将条件变为 a13 5，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式 解 由已知可得 an1 n1 an n 1，即 an1
8、 n1 an n1，又 a1 3 5， an n 是以a1 1 3 5为首项，1 为公差的等差数列， an n 3 5(n1) 1n 2 5，ann 22 5n. 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数 n 都有 an1an等于同一个常数 (2)等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2an1anan2. (3)通项公式法：得出 anpnq 后，再根据定义判定数列an为等差数列 (4)前 n 项和公式法：得出 SnAn2Bn 后，再使用定义法证明数列an为等差数列 跟踪训练 若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a11 2. (1)求证
9、： 1 Sn 是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10， 得 SnSn12SnSn1， 1 Sn 1 Sn12， 又 1 S1 1 a12， 故 1 Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列 (2)解 由(1)可得 1 Sn2n，Sn 1 2n. 当 n2 时， anSnSn1 1 2n 1 2n1 n1n 2nn1 1 2nn1. 当 n1 时，a11 2不适合上式 故 an 1 2，n1， 1 2nn1，n2. 题型三题型三 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 命题点 1 等差数列项的性质 典例 已知an，bn都是等差数列，若 a1b1
10、09，a3b815，则 a5b6_. 答案 21 解析 因为an，bn都是等差数列，所以 2a3a1a5，2b8b10b6，所以 2(a3b8)(a1 b10)(a5b6)，即 2159(a5b6)，解得 a5b621. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 典例 (1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9等于( ) A63 B45 C36 D27 答案 B 解析 由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6为等差数列，即 2(S6S3)S3(S9S6)， 得到 S9S62S63S345，故选 B. (2)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和， 若
11、 a12 014， S2 014 2 014 S2 008 2 0086， 则 S2 018_. 答案 6 054 解析 由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列 设其公差为 d，则S2 014 2 014 S2 008 2 0086d6，d1. 故S2 018 2 018 S1 1 2 017d2 0142 0173， S2 01832 0186 054. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前 n 项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1
12、)an. 跟踪训练 (1)在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11等于( ) A58 B88 C143 D176 答案 B 解析 S1111a1a11 2 11a4a8 2 1116 2 88. (2)等差数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若Sn Tn 3n2 2n1，则 a7 b7等于( ) A.37 27 B.19 14 C.39 29 D.4 3 答案 A 解析 a7 b7 2a7 2b7 a1a13 b1b13 a1a13 2 13 b1b13 2 13 S13 T13 3132 2131 37 27. 等差数列的前 n 项和及其最值 考点分
13、析 公差不为 0 的等差数列，求其前 n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题， 也有大题，难度不大 典例 1 (1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前 10 项的和 S10等于 ( ) A45 B60 C75 D90 (2)在等差数列an中，S10100，S10010，则 S110_. 解析 (1)由题意得 a3a89， 所以 S1010a1a10 2 10a3a8 2 109 2 45. (2)方法一 设数列an的首项为 a1，公差为 d， 则 10a1109 2 d100， 100a110099 2 d10， 解得 a11 099 100 ， d11 5
14、0. 所以 S110110a1110109 2 d110. 方法二 因为 S100S10a11a10090 2 90， 所以 a11a1002， 所以 S110a1a110110 2 a11a100110 2 110. 答案 (1)A (2)110 典例 2 在等差数列an中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值 规范解答 解 a120，S10S15， 1020109 2 d15201514 2 d， d5 3. 方法一 由 an20(n1) 5 3 5 3n 65 3 ， 得 a130. 即当 n12 时，an0，当 n14 时，an0. 当 n12 或 n13 时，Sn取得最大值， 且最大值为 S12S1312201211 2 5 3 130. 方法二 Sn20nnn1 2 5 3 5 6n 2125 6 n 5 6 n25 2 23 125 24 . nN*，当 n12 或 n13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12S13130. 方法三 由 S10S15，得 a11a12a13a14a150. 5a130，即 a130. 当 n12 或 n13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12S13130.