1、 2.1 函数及其表示函数及其表示 最新考纲 考情考向分析 1.了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的 定义域和值域，了解映射的概念 2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、 列表法、 解析法)表示函数 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数 分段不超过三段). 以基本初等函数为载体，考查函数的表示 法、定义域；分段函数以及函数与其他知 识的综合是高考热点，题型既有选择、填 空题，又有解答题，中等偏上难度. 1函数与映射 函数 映射 两个集合 A，B 设 A，B 是两个非空数集 设 A，B 是两个非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f，使对
2、于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在 集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应 名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射 函数记法 函数 yf(x)，xA 映射：f：AB 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定
3、义域、对应关系和值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 3分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段 函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 知识拓展 简单函数定义域的类型 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合； (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合； (4)若 f(x)x0，
4、则定义域为x|x0； (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1； (6)正切函数 ytan x 的定义域为 x xk 2，kZ . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)对于函数 f：AB，其值域就是集合 B.( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( ) (3)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点( ) (4)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的( ) 题组二 教材改编 2P74T7(2)函数 f(x) x3log2(6x)的定义域是_ 答案 3
5、,6) 3 P25B组T1函数yf(x)的图象如图所示， 那么， f(x)的定义域是_； 值域是_； 其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_ 答案 3,02,3 1,5 1,2)(4,5 题组三 易错自纠 4已知函数 f(x)x|x|，若 f(x0)4，则 x0的值为_ 答案 2 解析 当 x0 时，f(x)x2，f(x0)4， 即 x204，解得 x02. 当 x0， 4a24a21， 且 f(a)3， 则 f(6a)等于( ) A7 4 B5 4 C3 4 D1 4 答案 A 解析 函数 f(x) 2x 12，x1， log2x1，x1 且 f(a)3， 若 a1，则 2a 1
6、23，即有 2a111，则log2(a1)3，解得 a7， 则 f(6a)f(1)2 1127 4. (2)(2017 广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数 f(x) x2x，x0， 则使 f(x)1 2的 x 的集合为_ 答案 1， 2， 2 2 解析 由题意知，若 x0，则 2x1 2，解得 x1；若 x0，则|log2x| 1 2，解得 x 1 2 2或 x 1 2 2 .故 x 的集合为 1， 2， 2 2 . 分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)设函数 f(x) 3x1，x1， 2x，x1， 则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是( ) A. 2 3，1 B0,1 C
7、. 2 3， D1, ) (2)(2017 全国)设函数 f(x) x1，x0， 2x，x0， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取值范围是 _ 思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解 析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取 值范围 解析 (1)令 f(a)t，则 f(t)2t， 当 t0， g(t)g(1)0，3t12t无解 当 t1 时，2t2t成立，由 f(a)1 可知， 当 a1 时，有 3a11，a2 3， 2 3a1； 当 a1 时，有 2a1，a0，a1. 综上，a2 3，故选 C. (2)当 x1 2时，f(x)f x1 2 2x 1 2 2 x 2x 21； 当 0x1 2时，f(x)f x1 2 2x x1 2 12xx1 22 x1； 当 x0 时，f(x)f x1 2 x1 x1 2 12x3 2， 由 f(x)f x1 2 1，得 2x3 21，即 x 1 4，即 1 4x0. 综上，x 1 4， . 答案 (1)C (2) 1 4，
