1、高考专题突破二高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题高考中的三角函数与平面向量问题 【考点自测】 1(2016 全国)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴 为( ) Axk 2 6(kZ) Bxk 2 6(kZ) Cxk 2 12(kZ) Dxk 2 12(kZ) 答案 B 解析 由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y 2sin 2x 6 ，由 2x 6k 2(kZ)得函数的对称轴为 x k 2 6(kZ)，故选 B. 2(2016 全国)在ABC 中，B 4，BC 边上的高等于 1 3BC，则
2、 cos A 等于( ) A.3 10 10 B. 10 10 C 10 10 D3 10 10 答案 C 解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D， 由题意 B 4， 可知 BD 1 3BC， DC 2 3BC， tanBAD 1，tanCAD2，tan Atan(BADCAD) 12 1123， 所以 cos A 10 10 . 3在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则PA 2PB2 PC2 等 于( ) A2 B4 C5 D10 答案 D 解析 将ABC 的各边均赋予向量， 则PA 2PB2 PC2 PA 2PB2 PC 2 P
3、C CA2PCCB2 PC 2 2PC 22PC CA2PC CBCA2CB2 PC 2 2|PC |22PC CACB|AB|2 |PC |2 2|PC |28|PC|2|AB|2 |PC |2 |AB |2 |PC |26 42610. 4(2016 全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A4 5，cos C 5 13，a 1，则 b_. 答案 21 13 解析 在ABC 中，由 cos A4 5，cos C 5 13，可得 sin A 3 5，sin C 12 13，sin Bsin(AC) sin Acos Ccos A sin C63 65，由正弦定
4、理得 b asin B sin A 21 13. 5.若函数 yAsin(x) A0，0，| 2 在一个周期内的图象如图所示，M，N 分别是这 段图象的最高点和最低点，且OM ON 0(O 为坐标原点)，则 A_. 答案 7 12 解析 由题意知 M 12，A ，N 7 12，A ， 又OM ON 12 7 12A 20，A 7 12. 题型一题型一 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 例 1 (2016 山东)设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不
5、变)，再把得到的图象向左 平移 3个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g 6 的值 解 (1)由 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2 2 3sin2x(12sin xcos x) 3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x 3cos 2x 31 2sin 2x 3 31. 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 得 k 12xk 5 12(kZ) 所以 f(x)的单调递增区间是 k 12，k 5 12 (kZ) 或 k 12，k 5 12 kZ . (2)由(1)知 f(x)2sin 2x 3 31， 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
6、2 倍(纵坐标不变)， 得到 y2sin x 3 31 的图象， 再把得到的图象向左平移 3个单位长度， 得到 y2sin x 31 的图象， 即 g(x)2sin x 31. 所以 g 6 2sin 6 31 3. 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点， 通常先将三角函数化为 yAsin(x) k 的形式，然后将 tx 视为一个整体，结合 ysin t 的图象求解 跟踪训练 1 已知函数 f(x)5sin xcos x5 3cos2x5 2 3(其中 xR)，求： (1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间； (3)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心 解
7、(1)因为 f(x)5 2sin 2x 5 3 2 (1cos 2x)5 3 2 5 1 2sin 2x 3 2 cos 2x 5sin 2x 3 ， 所以函数的最小正周期 T2 2 . (2)由 2k 22x 32k 2(kZ)， 得 k 12xk 5 12 (kZ)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 k 12，k 5 12 (kZ) 由 2k 22x 32k 3 2 (kZ)， 得 k5 12xk 11 12 (kZ)， 所以函数 f(x)的单调递减区间为 k5 12，k 11 12 (kZ) (3)由 2x 3k 2(kZ)，得 x k 2 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)的对
8、称轴方程为 xk 2 5 12(kZ) 由 2x 3k(kZ)，得 x k 2 6(kZ)， 所以函数 f(x)的对称中心为 k 2 6，0 (kZ) 题型二题型二 解三角形解三角形 例 2 (2017 全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B 2. (1)求 cos B； (2)若 ac6，ABC 的面积为 2，求 b. 解 (1)由题设及 ABC，得 sin B8sin2B 2， 故 sin B4(1cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150， 解得 cos B1(舍去)或 cos B15 17.故 cos B
9、 15 17. (2)由 cos B15 17，得 sin B 8 17， 故 SABC1 2acsin B 4 17ac. 又 SABC2，则 ac17 2 . 由余弦定理及 ac6， 得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B) 36217 2 115 17 4. 所以 b2. 思维升华 根据三角形中的已知条件， 选择正弦定理或余弦定理求解； 在解决有关角的范围问 题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍 跟踪训练 2 (2017 北京)在ABC 中，A60 ，c3 7a. (1)求 sin C 的值； (2)若 a7，求ABC 的面积 解 (1)在ABC
10、 中，因为A60 ，c3 7a， 所以由正弦定理得 sin Ccsin A a 3 7 3 2 3 3 14 . (2)因为 a7，所以 c3 773. 由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 72b2322b31 2， 解得 b8 或 b5(舍去) 所以ABC 的面积 S1 2bcsin A 1 283 3 2 6 3. 题型三题型三 三角函数和平面向量的综合应用三角函数和平面向量的综合应用 例 3 已知向量 a sin x，3 4 ，b(cos x，1) (1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值； (2)设函数 f(x)2(ab) b，已知在ABC 中，内角 A，B，C
11、的对边分别为 a，b，c.若 a 3， b2，sin B 6 3 ，求 f(x)4cos 2A 6 x 0， 3 的取值范围 解 (1)因为 ab， 所以3 4cos xsin x0， 所以 tan x3 4. cos2xsin 2xcos 2x2sin xcos x sin2xcos2x 12tan x 1tan2x 8 5. (2)f(x)2(ab) b 2 sin xcos x，1 4 (cos x，1) sin 2xcos 2x3 2 2sin 2x 4 3 2. 由正弦定理 a sin A b sin B，得 sin Aasin B b 3 6 3 2 2 2 ， 所以 A 4或 A
12、 3 4 . 因为 ba，所以 A 4. 所以 f(x)4cos 2A 6 2sin 2x 4 1 2， 因为 x 0， 3 ，所以 2x 4 4， 11 12 ， 所以 3 2 1f(x)4cos 2A 6 21 2. 所以 f(x)4cos 2A 6 x 0， 3 的取值范围是 3 2 1， 21 2 . 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质 转化成三角函数问题 (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响 跟踪训练 3 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 m(cos
13、A2cos C,2ca)，n(cos B，b)平行 (1)求sin C sin A的值； (2)若 bcos Cccos B1，ABC 的周长为 5，求 b 的长 解 (1)由已知得 b(cos A2cos C)(2ca)cos B， 由正弦定理，可设 a sin A b sin B c sin Ck0， 则(cos A2cos C)ksin B(2ksin Cksin A)cos B， 即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B， 化简可得 sin(AB)2sin(BC)， 又 ABC， 所以 sin C2sin A，因此sin C sin A2. (2)由余弦定理可知， bcos Cccos Bb a2b2c2 2ab c a2c2b2 2ac 2a 2 2aa1， 由(1)知c a sin C sin A2，则 c2， 由周长 abc5，得 b2.
